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方程的根与函数的零点


数形结合百般好,隔离分家万事休。 数缺形时少直观,形少数时难入微。 数缺形时少直观,形少数时难入微。 数形结合百般好,隔离分家万事休, 数缺形时少直观,形少数时难入微。

第三章 函数与方程
§3.1.1 方程的根与函数的零点

今天我们可以从教科书中了解各式各样 方程的解法,但在数学发展史上,方程的求 解却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家在约公元50--100年编 成的《九章术》中,给出了求一次方程、二 次方程和三次方程根的具体方法…
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。 第一个引进系统的代数符号,并对方程论做 了改进。韦达讨论了方程根的各种有理变换, 发现了方程根与系数之间的关系即“韦达定 理” 。



问题· 探究 问题1 求出表中一元二次方程的实数根,画出相应 的二次函数图像的简图,并写出函数的图象与x轴 的交点坐标 方程 函数
函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点



x2-2x-3=0 y= x2-2x-3
y
2 1
-1

x2-4x+4=0 y= x2-4x+4
y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y
5 4 3 2



0

-1 -2

1

2

3

x
-1

1

-3 -4

0

1

2

x

1
-1

0

1

2

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

x1=x2=2

无实数根
无交点



(2,0)

问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一 般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x 轴交点的关系,上述结论是否仍然成立?
△ =b2-4ac
判别式

△>0

△=0

△<0 没有实数根
y

两个不相等 有两个相等的 方程ax2 +bx+c=0 的实数根x1 、x2 实数根x = x2 1 (a>0)的根
y

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象

y
x1 0 x2 x 0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

结论

1.方程根的个数就是 函数图象与x轴交点的个数。

2.方程的实数根就是 函数图象与x轴交点的横坐标。

① 函数零点的定义


学 达

对于函数 y =f (x),我们把使f (x)=0的 实数x叫做函数y =f(x)的零点。
不能用公式求方程 的根时, 零点是一 f (x)=0 是函数图像与X

可转化为找函数 y = f (x)的零点.
② 方程的根与函数零点的关系

个点吗?

轴交点的横坐标

方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点.



函数y=f(x)有零点

问题· 探究

前 提

(Ⅰ)观察二次函数 f (x) =x 2-2x-3的图象 , ① 在区间 ??21 ? 上 有 零点(填“有”或“无”) f(-2)= 5 f(-2) · f(1)

-4 ,f(1)=___,

<

0,(填“<”或“>”)

?

y

?

测 ②在区间[2,4]上 有 零点, 评
f(2)= f(2) · f(4)

- 3 , f(4)=

5

, -2

-1

1 2 3

<

0

?

?

4

x

零点存在性定理(1)


学 达

如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线,并且 f(a) · f(b)<0,则函数在(a,b)内有零点。
注:只有上述两个条件同时满足,才能判 断函数在指定区间内存在零点。




学 达

端点函数值异号, 则函数有零点
y

函数图象连续

a
0

?
b
x

?
a
y

?
a

?
a

b

y

?
b



?0

?
b
x 0

?

x

问题· 探究


学 达

下图中在区间 ? a, b? 内有几个零点? 五个
什么情况下只有唯一一个零点? 端点函数值异号的
y

单调函数

0

a

bx





零点存在性定理—唯一性(2) 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线,并且 f(a) ·f(b)﹤0,且是单调函数,那么这 个函数在(a,b)内必有唯一的一个零 点。


学 达



温 馨 提 示

函数零点方程根, 数形本是同根生。 函数零点端点判, 图象连续不能忘。

例1.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在区间及个数?

导 解:计算出x、f(x)的对应值表
x
1 2

增函数
6 7

3

4

5

8

9

学 达

f ? x?

负 负 正

由上表可知 f(2)<0, f(3) >0,

即f(2)· f(3)<0, ∴这个函数在区间[2,3]有零点。



又∵函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数, ∴它仅有一个零点。


学 达

应用研究
求函数 f ( x) ? ln x ? 2x ? 6 的零点个数.
6

解法二、函数 f ( x) ? ln x ? 2x ? 6 的零点个数
4

? 方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 的解的个数 ? 方程 ln x ? 6 ? 2 x 的解的个数 ? 函 数 f ( x) ? ln x 与 函 数 f ( x) ? 6 ? 2 x 图 象
-5 -2 2

f?x? = ln?x?

5

交点个数

g?x? = 6-2?x

-4




标 测

x 1 函数 y ? 2 ? 1 的零点是 ??

?
C. 0

?
D.1

A. ? 0, 0 ?

B. ?1,1?

(2) 函数f ? x ? ? ax ? 2只有一个零点2,则a ? ? A.1 B. ? 1 C. 0 D. 无法确定
(3) 已知函数的图象是连续不断的,对应关系见下 表,则函数在区间 ?1,6?上的零点至少有( )

?

x
y

1
12
A. 2个

2
21

3
?7.8

4
11
C. 4个

5
?5
D. 5个

6
?2



B. 3个

总结交流
? 1、能否从知识内容和掌 握的数学思想方法的角 度谈谈对本节学习的收 获? ? 2、学习过程中还有哪些 不明白的,请提出。 ? 3、本节课你自己的学习 表现如何,体会是什么?

函数零点方程根, 形数本是同根生。 函数零点端点判, 图象连续不能忘。

必做题

作业布置

1.教材 P92 习题 3.1(A 组)第 2 题; 2.已知 f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4m ? 2m ? 1 . (1) m 为何值时,函数有两个零点; (2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 的值. 3. 以 零 点 作 为 出 发 点 整 理 y ? ax2 ? bx ? c , ax2 ? bx ? c ? 0 ,

ax2 ? bx ? c ? 0 , ax2 ? bx ? c ? 0 的相互关系, 并将结果尝试用一种系统的、

简洁的方式总结表达.



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