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高三数学第一轮复习单元讲座第09讲 空间几何体的表面积和体积


高三新数学第一轮复习

第九讲—空间几何体的表面积和体积
一.知识整合:
1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l 全面积(S 全) 体 积(V)

S 底·h=S 直截面·h S 侧+2S 底 S 底·h S 侧+S 底
1 S 底·h 3 1 h(S 上底+S 下底 3

ch 各侧面积之和

棱 锥

1 ch′ 2
各侧面面积之和

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

+ S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表 示侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

圆锥 π rl π r(l+r)

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2)
2 2



S侧 S全
V

4π R

2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆 台 上、下底面半径,R 表示半径。

二.典例解析
题型 1:柱体的体积和表面积 例 1.一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长.

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例 2. 如图 1 所示, 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, 已知 AB=5, AD=4, 1=3, AA AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=

? 。 3

(1)求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。

图1 题型 2:柱体的表面积、体积综合问题

图2

例 3. (2000 全国,3)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 ,这个长 方体对角线的长是( A.2 )

3

B.3

2

C.6

D.

6

例 4.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1 将三 棱柱分成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1∶V2= ____ _。

题型 3:锥体的体积和表面积 例 5. (2006 上海,19)在四棱锥 P-ABCD 中, 底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ,求四棱锥 P-ABCD 的体
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? ?

P

E A B O

D C

积?

例 6. (2002 京皖春文,19)在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,且 AC=BC=5,SB=5

5。 (如图所示)

(Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ)求三棱锥的体积 VS-ABC。



题型 4:锥体体积、表面积综合问题 例 7.ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GB 垂直于正方 形 ABCD 所在的平面,且 GC=2,求点 B 到平面 EFC 的距离?

例 8. (2006 江西理,12)如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与 四个面都相切的球)球心 O,且与 BC,DC 分别截 A 于 E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部 分,设四棱锥 A-BEFD 与三棱锥 A-EFC 的表面积 分别是 S1,S2,则必有( ) O D A.S1?S2 B.S1?S2 F C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确定
B E C

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题型 5:棱台的体积、面积及其综合问题 例 9. (2002 北京理,18)如图 9—24,在多面体 ABCD—A1B1C1D1 中,上、下底面 平行且均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于 E, F 两点,上、下底面矩形的长、宽分别为 c,d 与 a,b,且 a>c,b>d,两底面间的距离 为 h。 (Ⅰ)求侧面 ABB1A1 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (Ⅱ)证明:EF∥面 ABCD; (Ⅲ)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式 V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的 体积公式是 V=

h (S 上底面+4S 中截面+S 下底面) ,试判断 V 估与 V 的大小关系,并加以证明。 6

(注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面)



例 10. (1998 全国,9)如果棱台的两底面积分别是 S、S′,中截面的面积是 (1) S0,那么( ) A. 2

S0 ? S ? S ?

B. S 0

? S ?S

C.2S0=S+S′ D.S02=2S′S

(2) (1994 全国,7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其 体积为( ) A.32

3

B.28

3

C.24

3

D.20

3

题型 6:圆柱的体积、表面积及其综合问题 例 11. (2000 全国理,9)一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面 积与侧面积的比是( ) A.

1? 2? 2?

B.

1? 4? 4?

C.

1? 2?

?

D.

1? 4? 2?

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例 12. (2003 京春理 13,文 14)如图 9—9,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装 有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰好升高 r,则

R = r



题型 7:圆锥的体积、表面积及综合问题 例 13. (2002 京皖春,7)在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ (1) ABC=120°(如图所示) ,若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成 的旋转体的体积是( ) A.

9 π 2

B.

7 π 2

C.

5 π 2

D.

3 π 2



(2) (2001 全国文,3)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 的全面积是( A.3π ) B.3

3 ,则这个圆锥



C.6π

D.9π

例 14. (2000 全国文,12)如图所示,OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线,OA 绕 轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分,则母线与轴的夹角的余弦值为( ) A.

3

1 2

B.

1 2

C.

1 2

D.

4

1 2



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题型 8:球的体积、表面积 例 15 . 已 知 过 球 面 上 A, B, C 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 , 且

AB ? BC ? CA?2 ,求球的表面积。

例 16.如图所示,球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA,PB,PC 两两互相垂直, 且 PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。

题型 9:球的面积、体积综合问题 例 17. (2006 四川文,10) 如图, 正四棱锥 P ? ABCD 底面的四个顶点 A, B, C, D 在 球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上,如果 VP ? ABCD ? A. 4? B. 8? C. 12?

16 ,则球 O 的表面积是( 3 D. 16?



(2) 半球内有一个内接正方体, 正方体的一个面在半球的底面圆内, 若正方体棱长为 6 , 求球的表面积和体积。

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例 18. (1)表面积为 324? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表 面积。 (2)正四面体 ABCD 的棱长为 a,球 O 是内切球,球 O1 是与正四面体的三个面和球 O 都相切的一个小球,求球 O1 的体积。

题型 10:球的经纬度、球面距离问题 例 19. (1)我国首都靠近北纬 40 纬线,求北纬 40 纬线的长度等于多少 km ?(地 球半径大约为 6370km ) (2)在半径为 13cm 的球面上有 A, B, C 三点, AB ? BC ? AC ? 12cm ,求球心到经 过这三点的截面的距离。
? ?

例 20. 在北纬 45 圈上有 A, B 两点, 设该纬度圈上 A, B

?

两点的劣弧长为 的球面距离。

2 ? R ( R 为地球半径) A, B 两点间 ,求 4

三.思维总结
1.正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全= 3 a ;
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2

(2)体积:V=

2 3 a; 12 2 a; 2

(3)对棱中点连线段的长:d=

(4)内切球半径:r=

6 a; 12
R=

(5)外接球半径

6 a; 4

(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 2.直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 直角四面 体有下列性质: 如图,在直角四面体 AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=a,OB=b,OC=c。 则:①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形; ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心; ③体积 V=

1 abc; 6
a 2b2 ? b2c2 ? c2a 2 ;

④底面△ABC=
2

1 2

⑤S △ABC=S△BHC·S△ABC; 2 2 2 2 ⑥S △BOC=S △AOB+S △AOC=S △ABC

1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 ; 2 OH a b c 1 a 2 ? b2 ? c2 ; ⑧外切球半径 R= 2
⑦ ⑨内切球半径 r=

S ?AOB ? S ?BOC - S ?ABC a?b?c

3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. ①如图,圆锥的顶角为β ,母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,底面半径 为 r,则 sinα =cos α +

? =90° ? 2

? h = , l 2

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cosα =sin

? r = . 2 l

②圆台 如图,圆台母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,上、下底面半径 分别为 r ′、r,则 h=lsinα ,r-r′=lcosα 。 ③球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面. (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小 圆; (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面; (3)球心和截面距离 d,球半径 R,截面半径 r 有关系: r= R - d .
2 2

4.经度、纬度: 经线:球面上从北极到南极的半个大圆;

纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;

经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的半 平面所成的二面角的度数。 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

?

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5. 两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度, 我们把这个弧长叫做两点的球面距离 两点的球面距离公式: (其中 R 为球半径, ? 为 A,B 所对应的球心角的弧度数)
王新敞
奎屯 新疆

四,重点题型强化

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