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专题2:角平分线的性质


专题训练

人的差异在于业余时间。 专题 2 角平分线的性质

姓名: 姓名:

知识归纳 1.画法:依据是 SSS。 2.性质: ①角的平分线上的点到角的两边的距离相等;②△的三条角平分线相交于一点,这一点到△的三 条边的距离相等。 3.判定: 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 4.重要辅助线:翻折法、作距离。 特别提示 性质是证“线段相等”的又一重要方法;判定是证“角相等”的又一重要方法。 线段相 线段 角 典例精析 1.如图 1,在△ABC 中,AD 平分∠CAE,∠B= 30 ,∠CAD= 65 ,则∠ACD 等于 B. 65 C. 80 D. 95 A. 50 2.如图 2,在△ABD 中,AD=4,AB=3,AC 平分∠BAD,则 S ABC : S ACD = A. 3 : 4 B. 4 : 3
°
° ° ° ° ° °

( (

) )

C. 16 :19

D.不能确定

3.如图 3,在△ABC 中,∠C= 90 ,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于 E,则下列结论:①AD 平分∠CDE; ②∠BAC=∠BDE;③DE 平分∠ADB;④BE+AC=AB。其中正确的有 ( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.1 个 4.如图 4,AD∥BC,∠D= 90 ,AP 平分∠DAB,PB 平分∠ABC,点 P 恰好在 CD 上,则 PD 与 PC 的大小关系是 ( ) A.PD>PC B.PD<PC C.PD=PC D.无法判断
°

A B C
图1

E D D
° °

A

B D

E A B

A

D P

C

图2

B C

图3

图4

C


5.如图 5,在△ABC 中,∠C= 90 ,AD 平分∠BAC,CD=6cm,AB=15cm,则 S ABD =

6.如图 6,在△ABC 中,∠C= 90 ,BC=16cm,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D,且 CD : DB = 3 : 5 ,则 D 到 AB 的距离等于 。 。 7.如图 7,AB∥CD,点 P 到 AB、BC、CD 的距离相等,则∠P= 8.如图 8,OB 与 OC 分别是△ABC 的∠B 与∠C 的平分线,那么∠BAO 与∠CAO 大小关系为 。 9.如图 9,在△ABC 中,∠ACB= 90 ,CD⊥AB 于 D,AE 是∠BAC 的平分线,CD 交 AE 于点 F。点 E 到 AB 的距离等于 3cm,则 CF= 。
°

C A

D B A
图5

C

D B
图6

A D

P C
图7

B B

A O
图8

B

E C C

D F
图9

A

10.如图 10,BD 是∠ABC 的平分线,AB=BC,点 P 在 BD 上,PM⊥AD 于 M,PN⊥CD 于 N。求证:PM=PN。

B
1

D

A M N

P

图 10

C

专题训练

人的差异在于业余时间。

姓名: 姓名:

11.如图 11,∠B=∠C= 90 ,M 是 BC 的中点,DM 平分∠ADC。求证:AM 平分∠DAB。
A B M D C

°

图 11

12.如图 12,PA=PB,∠1+∠2= 180 。求证:OP 平分∠AOB。

°

1 A )

P
2

O

图 12

B

13.如图 13,△ABC 中,P、Q 分别是 BC、AC 上的点,PR⊥AB 于 R,PS⊥AC 于 S,若 AQ=PQ,RP=PS。 则 PQ 与 AB 是否平行?请说明理由。 B

R

P A Q
图 13

S C

☆14.如图 14,△ABC 中,AB=AC,∠A= 90 ,∠B 的平分线交 AC 于 D,过 C 作 BD 的垂线,交 BD 的延长线 于 E。求证:BD=2CE。

°

A D E B
图 14
2

C

专题训练

人的差异在于业余时间。

姓名: 姓名:

☆15.如图,在△ABC 中,AB=2AC,AD 平分∠BAC,且 AD=BD。求证:CD⊥AC。

A C B
图 15

D

3

专题训练

人的差异在于业余时间。 专题 1 全等三角形

姓名: 姓名:

1.C 2.D 3.C 4.C 5.A 6.C 点拨:由△BDF≌△CED 得∠BFD=∠CDE,又由∠B+∠BFD=∠FDC=α+∠CDE 得∠ B=α。 7.3。 8.①②④。 9.AD 垂直且平分 BC,AD 平分∠BAC,△ABD≌△ACD 等。 10.①②③。 11.12cm。 12.略。 13.略。 14.点拨:作倍长中线,即延长 AM 到 D,使 MD=AM,连结 BC,从而把 AB、AC、AD(2AM) 转化在一个三角形中。特别提醒:已知中线常作“倍长中线” 特别提醒:已知中线常作“倍长中线” 。 特别提醒 15. 30° 。点拨:在 AC 上截取 AE=AB,连结 DE。特别提醒:关于线段的和差问题常采用“截 特别提醒:关于线段的和差问题常采用“ 特别提醒 长补短”作辅助线,通常有多种解法, 补长。 长补短”作辅助线,通常有多种解法,如本题也可以把 AB 补长。
16.点拨:连结 E、M,F、M。证∠EMB+∠BMF=180° 。特别提醒:这是证三点共线的一般方 特别提醒:这是证三点共线的一般方

法。

专题 2 角平分线的性质
1 .C C 4. 2 .A 3 .B

点拨:①②③正确

点拨: PE⊥AB 于 E。 作 温馨提示: 温馨提示: 已知角平分线常考虑 翻折” “作距离” 5. cm 2 “翻折” 作距离” 或 。 45
7. 90°

6.6 cm

8.相等 点拨:三角形的三条角平分线相交于一点。 9.3 cm 点拨:作 EG⊥AB 于 G。则 CF=CE=EG=3 10.点拨:只需证 DP 平分∠ADC。 11.点拨:作 MN⊥AD 于 N。只需证 MN=BM。 12.点拨:作 PE⊥OB 于 E, PF⊥OA 于 F,由△PAF≌△PBE 得 PF=PE 即可得证。 13.点拨:PQ∥AB。连结 AP,由内错角相等即可得证。 14.点拨:延长 BA、CE 交于 F。由△BCE≌△BFE 得 CE=EF,CF=2CE。 再由△BAD≌△CAF 得 BD=CF。 15.点拨:延长 AC 到 E,使 CE=AC,连结 DE。

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