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第二讲 函数的概念



高一(上)期末复习二
班级:

函数的概念(解析式、定义域与值域)
学号:

姓名:

1.映射 (1)对应:R----数轴上的点 (2)映射: (特殊的对应)设 A、B 是两个集合,如果按照某种映射法则 f,对于集合 A 中的任一个 元素 a,在集合 B 中都有唯一的元素 b 和它对应,则这样的对应

(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对 应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B。b 叫做 a 的象,a 叫做 b 的原象。 注意点: (1)对映射定义的理解; (2)判断一个对应是映射的方法。 2.函数 (1)函数的定义:设 A、B 都是非空的数的集合,f:x→y 是从 A 到 B 的一个对应法则,那么从 A 到 B 的映射 f:A→B 就叫做函数,记作 y=f(x),其中 x ? A, y ? B ,原象集合 A 叫做函数的定义 域,象集合 C 叫做函数的值域。 C ? B (2)函数的三要素:①定义域②对应法则③值域 (3)函数的表示方法:①解析法②列表法③图象法 例 1.下列各组函数中,表示相同函数的是(D)

?A? f ?x? ? ln x 2 ,
?C ? f ?x ? ?
1? x2

g ?x? ? 2 ln x ; ?B? f ?x? ? a loga ?a ? 0, a ? 1? , g?x? ? x
x

, g ?x ? ? 1 ? x ( x ? ?? 1,1? ; ?D ? f ? x ? ? log a a ( a ? 0, a ? 1),
x

g ?x ? ? 3 x 3

强化 1:(1)下列各对函数中,相同的是(D )

? A? f ?x? ?

x 2 , g ?x ? ? 3 x 3

?B? f ?x? ? lg x 2 , g?x? ? 2 lg x
?D? f ?u ? ?
1? u 1? v , g ?v ? ? 1? u 1? v

?C ? f ?x ? ? lg x ? 1 , g ?x ? ? lg?x ? 1? ? lg?x ? 1?
x ?1

2 ? ?sin(?x ), (?1 ? x ? 0) 例 2.函数 f ( x) ? ? x ?1 若f (1) ? f (a) ? 2 则 a 的所有可能值为( D ) ? ?e , ( x ? 0)

A.1

B.1, ?

2 2

C. ?

2 2
a ?1

D.1,

2 2

分析:当 a≥0 时, f (1) ? 1, f (a) ? e

,?1 ? e a?1 ? 2, ∴a=1.

1 2 , 当 ? 1 ? a ? 0时, f (1) ? 1, f (a) ? sin(?a 2 ) ?1 ? sin(?a 2 ) ? 2,? a 2 ? , a ? ? 2 2
故选 B

1

强化 2: 已知n ? N ? , f ?n? ? ?

n ? 2(n ? 10) , 求f ?5?和f ?0?的值. ? f ? f ?n ? 5??(n ? 10) ?

解: f ?5? ? f ? f ?10?? ? f ?10 ? 2? ? f ?8? ? f ? f ?13?? ? f ?11? ? 9 ? f ?5? ? 9

f ?0? ? f ? f ?5?? ? f ? f ?11?? ? f ?9? ? f ? f ?14?? ? f ?12? ? 10? f ?0? ? 12
3.函数解析式: 函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式, 解析 式亦称“解析表达式”或“表达式”,简称“式”。 (注意分段函数) 求函数解析式的方法: ⑴ 定义法 ⑵变量代换法 ⑶待定系数法 ⑷函数方程法 ⑸参数法 ⑹实际问题法 例 3.根据下列条件,分别求出函数的解析式 (1)已知 f( x +1)=x+2 (2)已知 2f(x)+f(

x ,求 f(x),f(x+1),f(x2);

1 )=10x,求 f(x)。 x

(3)已知 f(x)=3x-1 f[h(x)]=g(x)=2x+3 ,求 h(x). 解: (1)设 μ=

x +1≥1,则 x =μ-1 ∴x=(μ-1)2

∴f(μ)=(μ-1)2+2(μ-1)=μ2-1(μ≥1) ∴f(x)=x2-1(x≥1) f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0) f(x2)=(x2)2-1=x4-1(x≤-1 或 x≥1) (2)由 2f(x)+f(

1 )=10x x
1



∴2f(

1 )+f(x)=10 x x
1


1

①× 2-②得:3f(x)=2× 10x-10 x

∴f(x)=

2 1 × 10x- × 10 x 3 3

(3)设 h(x)=ax+b(a≠0) ∵f(x)=3x-1 则由 f[h(x)]=g(x)=2x+3 得:3h(x)-1=2x+3 ∴3(ax+b)-1=2x+3 ∴3ax+3b-1=2x+3 ∴ 3a=2 3b-1=3 故 h(x)= ∴

2 3 4 b= 3
a=

2 4 x+ (x∈R) 3 3

说明: (1)本题通过换元,把 f(

x +1)=x+2 x 化为 f(u)=u2-1,要注意 f(u)的定义域是{u|u≥1},这样

才能保证转化的等价性,在求 f(x+1)与 f(x2)时,也要注意定义域,例如,f(x+1)与 f(x2)的定义域分别
2

是{x|x+1≥1}与{x|x2≥1},即{x|x≥0}与{x|x≤-1 或 x≥1} (2)消参法:对于在已知式中,含有两个不同变量的函数关系式时,常常采用“消参法”解决,即 依据两个变量的关系,重新产生一个关于两个变量的不同等式,再联立消去而得。 (3)已知某类函数,可用待定系数法求解析式。 强化 3:已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式 解:因为 f(x)是奇函数,可得 f(0)=0,当 x>0 时,-x<0,由已知 f(-x)=xlg(2+x),所以-f(x)=xlg(2+x) f(x)= -xlg(2+x)(x≥0),所以 f ( x) ? ?

?? x lg(2 ? x)(x ? 0) ) 即 f(x)=-xlg(2+|x|) ?? x lg(2 ? x)(x ? 0

4.函数的定义域 ⑴未加特殊说明,函数的定义域就是指使函数有意义的自变量 x 的取值的集合. 求函数定义域的主要依据: ①分式的分母不为零;②偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; ③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1; ⑤如果函数是有实际意义确定的解析式,应根据自变量的实际意义确定其取值范围。 注意点:如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的,那么它的定义域是由各基本函数 定义域的交集. ⑵复合函数定义域:① f ?g ( x)? 的定义域的定义域为 ? a, b? ,指的是 x ? ? a, b? , ②已知 f(x)的定义域为 x ? ? a, b? ,其复合函数 f ?g ( x)? 的定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出。

x? 例 4.已知函数 f(x)的定义域为 ?? 1,1? ,求函数 f ?ax? ? f ? ? ? 的定义域(其中 a 为正常数). ?a?
??1 ? ax ? 1 ?? ? x ? x 解:要使 f (ax ) ? f ( ) 由意义,则 ? 即? a a ? x a ?1 ? ? 1 ? ? ? a

? 1

1

??a ? x ? a

(1)若 0<a<1 时,则 a ? (3)若 a=1,则 x∈[-1,1],

1 1 , ? a ? ? ,x∈[-a,a] a a

(2)a >1 时,则 a ? 1 , ? a ? ?
a

1 1 1 x ? [? , ] , a a a

综上所述,原函数的定义域为(1)0<a≤1 时, x∈[-a,a],(2) a >1 时, x ? [? 1 , 1 ]
a a

强化 4:求下列函数的定义域 (1) y ? ? x ? 1?
0

6 ? 5x ? x2 x ?x

(2) y ?

1 a ? kb x
x

? a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1?

解⑴由 ?6 ? 5 x ? x 2 ? 0 得 ??6 ? x ? 1 ,所以 {x|-6≤x<0,且 x≠-1} ? ?
?| x | ? x ? 0 ?

?x ? 1 ? 0

? x ? ?1 ?x ? 0 ?

3

a (2)解:因为 a x ? kb x ? 0, 所以( ) x ? k b
①当 k≤0 时,定义域为 R; ②当 k.>0 且 a>b>0 时,定义域为 {x | x ? log a k}
b

③当 k>0 且 b>a.>0 时,定义域为 {x |? 0 x ? log a k}
b

④当 0<k<1 且 a=b 时,定义域为 R 5.函数的值域 ⑴定义:在函数 y=f(x)中,与自变量 x 的值对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 ⑵ 基本初等函数的值域 ① y ? kx ? b(k ? 0) 的值域为 R. ② y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 当 a>0 时,值域为 [ ③y ?

4ac ? b 2 4ac ? b 2 ,??) ;当 a<0 时,值域为 (?? ]. 4a 4a

k (k ? 0) 值域为 {y | y ? R, 且y ? 0}. x
x

④ y ? a (a ? 0且a ? 1) 值域为 (0,??) .

⑤ y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 值域为 R.

⑶求函数值域的方法 ①直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y=f(x)的取值范围. ②配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如 F(x) ?? af (x) 2 ? bf (x) ? c 的函数的值 域问题,均可使用配方法;对于有范围限制的,往往是配方、画图、取段、看值域. ③反表示法:对形如 y ?

af ( x ) ? b 的函数,可先用 y 反表示 f(x),再利用 f(x)本身的有界性求 y 的取 cf ( x ) ? d

值范围;此种类型较简单时也可采用“分离常数”的办法直接看值域. ④判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F(x,y)=0,通过方程有实根, ? ? 0 ,从而求得原函数 的值域,对形如 y ?

ax 2 ? bx ? c (a、d 不同时为 0)的函数求值域常用此法,但前提是定义域 dx 2 ? ex ? f

是 R,且分子分母无公因子可约. ⑤换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值 域.一般的无理函数常用此法求值域. ⑥单调性法:确定函数在定义域上的单调性求出函数的值域. 例 5.求下列函数的值域

4

① y ? 4 ? 3 ? 2x ? x 2

② y ? 2x ? 1 ? 2x

③ y ? x ? 1? x2

解:①配方法:由 3 ? 2 x ? x 2 ? 0, 得 ? 1 ? x ? 3.

? y ? 4 ? ? ( x ? 1) 2 ? 4 ,? 当 x ? 1 时, y min ? 4 ? 2 ? 2 .
当 x ? ?1 或 3 时, y max ? 4 ②换元法:令 t ? 1 ? 2 x (t ? 0) ,则 x ?

1 ? 2t 2 2

1 5 1 3 5 ? y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? ) 2 ? ,? 当 t ? 即 x ? 时, y max ? ,无最小值. 2 4 8 4 2
③三角换元法:函数的定义域是 {x | ?1 ? x ? 1} , 设 x ? sin t ,?

?
2

?t?

?
2

,则 y ? x ? 1 ? x 2 化为 y ? sin t ? cos t , y ?

2 sin( t ?

?
4

).

??

?
2

?t ?

?
2

??

?
4

?t?

?
4

?

3? 2 ? ,? ? ? sin(t ? ) ? 1 ,? ?1 ? y ? 2 4 2 4

? 原来的函数的值域是 [?1, 2 ] .
ax ? 1 的值域为[-1,5],求实数 a,c. x2 ? c

例 6.若函数 f ( x ) ? 解 : 由 f ( x) ?

ax ? 1 得 ,x2y-ax+cy-1=0, 当 y=0 时 ,ax=1, 所 以 a≠0, 当 y≠0 时 , 因 为 x∈R, 所 以 x2 ? c

△=a2-4y(cy-1)≥0, 所 以 4cy2-4y-a2≤0, 因 为 -1≤y≤5, 所 以 -1,5 是 方 程 4cy2-4y-a2=0 的 两 根 , 所 以
?1 ?a ? ? 5 ?4 ? ? ?c ? ? 1 ? 2 c? a ?? ? ?5 ? 4 ? ? 4c ?

注意:求形如 y ?

ax 2 ? bx ? c (a、d 不同时为 0)的函数的值域时,常利用函数的定义域非空 dx 2 ? ex ? f

这个隐含的条件,将函数转化为方程,利用△≥0 转化为关于函数值的不等式,求解时,要注意二次项系数 为字母时要讨论. 强化:求下列函数的值域 ①y?

1? x 2x ? 5

②y ?

1 ? 2x 1 ? 2x
5

③y?

3x x ?4
2

7 7 1 1 解:①分离常数法:? y ? ? ? 2 , 2 ? 0. ? y ? ? 2 2x ? 5 2x ? 5 2 1 ? 函数的值域为 { y y ? ? 且y ? R} 2
②反表示法: 2 ?
x

1? y 1? y x ,? 2 ? 0,? ? 0,? ?1 ? y ? 1. ? 1? y 1? y
2

函数的值域为(-1,1)

3x 得 yx 2 ? 3x ? 4 y ? 0 , x ?4 3 3 当 y ? 0 时, x ? 0 ,当 y ? 0 时,由 ? ? 0 得 ? ? y ? ,? 函数定义域为 R, 4 4 3 3 ? 函数的值域为 [? , ] 4 4
③判别式法:由 y ? 当 x ? ?1 或 3 时, y max ? 4 ②换元法:令 t ? 1 ? 2 x (t ? 0) ,则 x ?

1 ? 2t 2 2

1 5 1 3 5 ? y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? ) 2 ? ,? 当 t ? 即 x ? 时, y max ? ,无最小值. 2 4 8 4 2
③反表示法: 2 ?
x

1? y 1? y x ? 0,? ?1 ? y ? 1. ? 函数的值域为(-1,1) ,? 2 ? 0,? 1? y 1? y

1.下列各对函数中,相同的一组是( D ) A.f(x)=x,g(x)=(

x )2

B.f(x)= 1-x2,g(x)=1-|x|,x∈[-1,1] D.f(x)= | lg( ) | ,g(x)=|x|lg2

C.y=f(x),g(x)=f(x+1),x∈R

1 2

x

2.已知 A ? {0,1, 2, 4}, B ? { ,0,1, 2,6,8} ,下列对应关系能构成从 A 到 B 的映射的是(C A . f : x ? x ?1
3

1 2

)

B. f : x ? ( x ? 1)

2

C . f :x?2

x ?1

D. f : x ? 2 x

3.若 f ( x) ?

e x ? e? x e x ? e? x , g ( x) ? ,则 f (2 x) ? ( D ) 2 2 A. 2 f ( x) B. 2[ f ( x) ? g ( x)] C. 2 g ( x) D. 2[ f ( x) ? g ( x)]
1 的定义域为( A log0.5?4x-3? 3 ? B.? ?4,+∞? ) 3 ? D.? ?4,1?∪(1,+∞)

4.函数 y= 3 ? A.? ?4,1?

C.(1,+∞)
6

?2ex 1, x<2, ? 5.设 f(x)=? 则 f[f(2)]的值为( 2 ?log3?x -1?, x≥2, ?


C )

A.0

B .1
x

C.2

D.3

x 6. (1)若函数 y ? f (2 ) 的定义域为[-1,1],求 y ? f (log2 ) 的定义域 [ 2 ,4]

(2)函数 y ?

2 lg( x ? x 2 ) ? (3x ? 2) 0 的定义域是 {x | 0 ? x ? 1且x ? } 3 | x ? 3 | ?3

(3)如果函数 y ? 1

mx2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R,求 实数 m 的取值范围是[0,1]
1 1? 3 , 定义 fn(x)=f(fn-1(x)), 其中 f1(x)=f(x), 则 f2012? = ___ _____. ?5? 5

? ?x+2,x∈? ?0,2? 7. 已知 f(x)=? 1 ? ?2?1-x?,x∈? ?2,1?

1? 7 ?1? 3 ?1? 4 ?1? 2 ?1? 9 ?1? 1 [解析] 依次计算:f1? ?5?=10,f2?5?=5, f3?5?=5,f4?5?=5,f5?5?=10,f6?5?=5, 1? 7 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 3 f7? ?5?=10,可知 fn?5?的最小正周期为 6,即得 fn+6?5?=fn?5?,所以 f2012?5?=f2?5?=5. 8. (1)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,则 f ( x ) = 解:由题可设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 所以 3 ? [a( x ? 1) ? b] ? 2[a( x ? 1) ? b] ? 2 x ? 17 化简得 (a ? 2) x ? 5a ? b ? 17 ? 0 所以 a ? 2 b ? 7

?a ? 2 ? 0 ?? ?5a ? b ? 17 ? 0

所以 f ( x) ? 2 x ? 7

(2)已知 f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),则 f(x)=____ x2+x+1____. 解:令 a=0,则 f(-b)=f(0)-b(-b+1)=1+b(b-1)=b2-b+1 再令-b=x,即得:f(x)=x2+x+1. [点评] 赋值法的关键环节是“赋值”, 赋值的方法灵活多样, 既要照顾到已知条件的运用和待 求结论的产生,又要考虑所给关系式的结构特点. 如本题另解:令 b=a,则 1=f(0)=f(a)-a(2a-a+1) =f(a)-a(a+1)=f(a)-a2-a, ∴f(a)=a2+a+1,∴f(x)=x2+x+1.
7

?2 ? x , x ? (??,1] 1 9.设函数 f(x)= ? ,则满足 f(x)= 的 x 值为 4 ?log 81 , x ? (1,?? )
10. 已知函数 f ( x) ?

3 0≤m< 3 4 。

mx ? 1

mx ? 4mx ? 3
2

的定义域为 R, 则实数 m 的取值范围是

11.函数 f(x)的定义域为 R,且满足下面两个条件:①存在 x1≠x2,使 f(x1)≠f(x2);②对任意的 x、y ∈R,有 f(x+y)=f(x)· f(y). (1)求 f(0); (2)证明对任意的 x、y∈R,f(x)>0 恒成立. [解析] (1)∵f(0+0)=f(0)· f(0),∴f(0)=0 或 f(0)=1.若 f(0)=0,则存在 x≠0,使对任意的 x∈R 有 f(x+0)=f(x)· f(0)=0,即 f(x)=0,与条件矛盾,∴f(0)=1. x x? ? ?x??2 (2)f(x)=f? f(x ?2+2?=?f?2?? ≥0,若存在 x0 使 f(x0)=0,则对任意的 x∈R,f(x)=f[(x-x0)+x0]=f(x0)· -x0)=0,与条件矛盾,∴f(x)>0 恒成立. 12.等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a,BC=a,∠BAD=45° ,作直线 MN⊥AD 交 AD 于 M, 交折线 ABCD 于 N,记 AM=x,试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数,并写 出函数的定义域. [解析] 作 BH⊥AD,H 为垂足,CG⊥AD,G 为垂足, a 3 依题意,则有 AH= ,AG= a. 2 2 (1)当 M 位于点 H 的左侧时,N 在 AB 上,由于 AM=x,∠BAD=45° . 1 ∴MN=x.∴y=S△AMN= x2 2

?0≤x≤a?. 2? ?

a a (2)当 M 位于 H、G 之间时,由于 AM=x,∴MN= ,BN=x- . 2 2 1 a? ? a?? 1 a2 x - ∴y=S 直角梯形 AMNB= ·?x+? 2??= ax- 22 2 8

?a<x≤3a?. 2 ? ?2

(3)当 M 位于点 G 的右侧时,由于 AM=x,MN=MD=2a-x. 1a 1 ∴y=S 梯形 ABCD-S△MDN= ·(2a+a)- (2a-x)2 22 2 = 3a2 1 2 1 5a2 - (4a -4ax+x2)=- x2+2ax- 4 2 2 4 1 2 x 2 a? x∈? ?0,2?

?3a<x≤2a?. ?2 ?

? ?1 a a 3 ? 综上:y=?2ax- 8 x∈? ?2,2a? 3 5a ? ? x +2ax- x∈? ?-1 ?2a,2a? 2 4
2 2 2

8

13.已知函数 f ( x) ? 1 ?

2 ( t 是常实数) 2 ?t
x

⑴若函数的定义为 R ,求 y ? f ( x) 的值域; ⑵若存在实数 t 使得 y ? f ( x) 是奇函数,证明 y ? f ( x) 的图像在 g ( x) ? 2x?1 ? 1 图像的下方。
x 解: (1)∵ 2 ? t ? 0 恒成立,∴ t ? 0

当 t ? 0 时, y ? f ( x) 的值域为: (??,1)

2 2 ? t ? ty x ? 0, 当 t ? 0 时,由 y ? 1 ? x ,2 ? 2 ?t 1? y 2 y ? f ( x) 的值域为: (1 ? ,1) t
(2)∵ y ? f ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ? 0 ,

2 y ? (1 ? ) t ?0 y ?1

2 ? ? 2 ? ? ?1 ? ? x ? ? ?1 ? x ? ? 0 , x ? D 时恒成立 ? 2 ?t ? ? 2 ?t ?
整理得: (t ?1)22 x ? (t ?1)2 2x ? (t ?1) ? 0 ,
2x x (t ? 1) ? ? 2 ? (t ? 1)2 ? 1? ? ? 0 , x ? D 时恒成立

得: t ? 1 ,∴ f ( x) ? 1 ?

2 2 ?1
x

2 ? ? ? 1 ? f ( x) ? g ( x) ? ?1 ? x ? ? ? 2 x ?1 ? 1? ? 4 ? 2 ? x ? (2 x ? 1) ? ? 4 ? 2 ? 2 ? 0 ? 2 ?1 ? ? 2 ?1 ?
当且仅当

1 ? 2 x ? 1 ,即 2 x ? 0 等号成立,此式显然不成立 2 ?1
x

∴对任意实数 x 都有 f ( x) ? g ( x)
x ?1 即 y ? f ( x) 的图像在 g ( x) ? 2 ? 1 图像的下方

14.设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R) 满足下列条件:
2

①当 x ∈R 时, f ( x ) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x ) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f ( x ) 的解析式;
9

(2)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ ?1, m? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立. (1)当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x ) ≤2 x ? 1 +1 恒成立

x ? 1,1 ? f (1) ? 1 ,所以 f (1) ? 1
(2) f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a, b, c ? R) 当 x ∈R 时, f ( x ) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立 所以 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? c 而且 4a ? 4ac ? 0
2

因为 f (1) ? 1 , 3a ? c ? 0 解得 a ?

1 1 1 1 ? c ,所以 f ( x) ? x 2 ? x ? 4 4 2 4

(3)只要当 x ∈ ?1, m? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立

10



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