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第三讲一二维形式的柯西不等式



第三讲

柯西不等式与排序不等式
陵水民族中学 刘滨华



二维形式的柯西不等式

一 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式

学习目标

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

/> 学习目标 1.认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几 何意义; 2.会证明二维柯西不等式及向量形式.

课前自主学案

代数形式 、 __________ 向量形式 和 1 . 柯 西 不 等 式 有 __________ 三角形式 三种形式. __________

2.柯西不等式的代数形式:设a1、a2、b1、b2均
2 为实数,则 (a + a)(b + b)≥(a___________ ,当且 1b1+a2b2)

a1___________ b2=a2b1 仅当 等号成立.

3.柯西不等式的向量形式:设 α、β 是两个向量,

|α·β| ,当且仅当__________________ β是零向量或存在实 则|α||β|≥______ 数k,使α=kβ 等号成立. ________________
4.柯西不等式的三角形式:设 x1、y1、x2、y2∈R, 那么
2 x2 + y 1 1+

2 2 2 2 ? x - x ? + ? y - y ? 1 2 1 2 ,当 x2+y2≥__________________

x1y2=x2y1 等号成立. 且仅当____________

思考感悟 在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取得等 a c 号的条件可以写成b=d吗?
提示:不可以.当b· d=0时上述式子不成立.

课堂互动讲练

考点突破 利用柯西不等式求函数最值
例1

已知3x2+2y2≤6,求w=2x+y的最大值.

【思路点拨】 逆用柯西不等式: 2 1 2 (2x+y) =[( 3x)· ( )+( 2y)· ] . 3 2
2

2 1 2 【证明】 (2x+y) =[ 3x· ( )+( 2y)· ] 3 2 2 2 1 2 2 2 ≤[( 3x) +( 2y) ][( ) +( ) ] 3 2 1 11 2 2 4 =(3x +2y )( + )≤6× =11. 3 2 6 ∴2x+y≤ 11, ∴w 的最大值为 11.
2

【名师点评】

要证的不等式是利用了

(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)的形式.

变式训练 1 大值.

求函数 y=3 x-1+ 10-2x的最

?x-1≥0 解:定义域要求? ,即 x∈[1,5], ?10-2x≥0

而 y=3 x-1+ 10-2x=3· x-1+ 2· 5-x ≤ 32+? 2?2· ? x-1?2+? 5-x?2 = 11· x-1+5-x=2 11, 当且仅当 3 5-x= 2 x-1, 47 即 x= 时,取“=”号. 11 ∴y 的最大值为 2 11.

利用柯西不等式求代数式的最值

a b 例2 已知 x、y、a、b∈R+,且 + =1. x y 求 x+y 的最小值. a b 【思路点拨】 可以整体代换: x+y=(x+y)(x+y ), 也可以用柯西不等式.

a b 【解】 法一:x+y=(x+y)( + ) x y ya xb =a+b+ + ≥a+b+2 ab x y =( a+ b)2, ay bx 当且仅当 = , x y 即 ay2=bx2 时,取“=”号. ∴x+y 的最小值为( a+ b)2.

法二:构造两组实数 x、 y, a b ∵x、y、a、b∈R+, + =1, x y 2 2 ∴x+y=[( x) +( y) ] a2 b2 [( ) +( ) ]≥( a+ b)2. x y a b 当且仅当 x∶ = y∶ , x y x a 即 = 时取等号. y b ∴(x+y)min=( a+ b)2.

a 、 x

b . y

【名师点评】

运用柯西不等式证明不等式的关

键在于构造两组数,并依照柯西不等式的形式进

行探索.法一用重要不等式求解.

1 变式训练 2 已知 x、y∈R+,且 x+y=2.求证:x 1 +y≥2. 1 1 1 1 1 证明: + = (x+y)( + ) x y 2 x y 1 1 2 1 2 2 2 = [( x) +( y) ][( ) +( ) ] 2 x y 1 1 1 2 ≥ ( x· + y· ) =2, 2 x y 1 1 ∴ + ≥2. x y

用柯西不等式证明不等式

已知 a1, a2, b1, b2 为正实数, 求证: (a1b1 a1 a2 +a2b2)· ( + )≥(a1+a2)2. b 1 b2
例3

【思路点拨】 可取为: a1b1, a2b2;

对比柯西不等式的原型,两组数 a1 , b1 a2 . b2

a1 a2 【证明】 (a1b1+a2b2)( + ) b1 b2 a1 2 a2 2 2 2 =[( a1b1) +( a2b2) ][( ) +( )] b1 b2 a1 a2 2 ≥( a1b1· + a2b2· ) =(a1+a2)2. b1 b2
【名师点评】 利用柯西不等式时关键问题是找 出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需 分析、增补 ( 特别对数字 1 的增补: a = 1· a) 变形 等.

1 1 4 变式训练 3 若 a>b>c,求证: + ≥ . a-b b-c a-c 1 1 证明:(a-c)( + ) a-b b-c 1 1 =(a-b+b-c)( + ) a-b b-c 1 2 1 2 2 2 ≥[( a-b) +( b-c) ][( ) +( )] a-b b-c 1 1 2 ≥[ a-b· + b-c· ] =(1+1)2=4, a-b b-c 又∵a-c>0, 1 1 4 ∴ + ≥ . a-b b-c a-c

误区警示


已知3x+2y=1,求x2+y2的最小值.
2 2 2 2

1 【错解】 x +y =(x +y )(3+2)× 5 1 1 2 ≥ (3x+2y) = , 5 5 1 2 2 ∴x +y 的最小值为 . 5
【错因】 理形式. 柯西不等式的构造形式出错不符合定

1 2 2 2 2 【自我校正】 x +y = (x +y )(3 +2 ) 13 1 1 2 ≥ (3x+2y) = 13 13 3 2 当且仅当 3y=2x.即 x= ,y= 时,取“=”. 13 13 1 2 2 ∴x +y 的最小值为 . 5
2 2

方法感悟

柯西不等式的两个主要应用是证明不等式和求最值,
利用柯西不等式证明不等式,先使用拆项、重组、

添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件,再
处理,利用柯西不等式求最值一定要注意检验等号

成立的条件.



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