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北师大版选修2-1课件 第2章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量的运算 第1课时



成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1

第二章
空间向量与立体几何

第二章

空间向量与立体几何

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第二章

2.2 空间向量的运算

第1课时 空间向量的线性运算

第二章

空间向量与立体几何

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平面向量的加法、减法与数乘运算

b a
向量加法的三角形法则

b a
向量加法的平行四边形法则

a
b a
向量减法的三角形法则

ka

(k>0) (k<0)
空间向量与立体几何

ka
向量的数乘
第二章

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F2

F1=10N F2=15N F3

F1

F3=15N

第二章

空间向量与立体几何

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1.空间向量加减法的定义 如图,设 a 和 b 是空间两个向 → 量, 过一点 O 作 a 和 b 的相等向量OA和 → OB,根据平面向量加法的平行四边形法 则,平行四边形的对角线 OC 对应的向 → 量OC就是 a 与 b 的和,记作 a+b.

a 与 b 的差定义为 a+(-b),记作 a-b,其中-b 是 b 的相 反向量.
第二章 2.2 第1课时

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C

a b
O

+
A

b

B

OB ? OA ? AB

a

CA ? OA ? OC
空间向量的加减法

第二章

空间向量与立体几何

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空间中任意两个向量都可以平移到同一个

平面内,成为同一个平面内的两个向量,因此
它们的加减法运算类似于平面向量的加减法.

第二章

2.2

第1课时

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向量的加减运算 如图,已知长方体ABCD—A′B′C′D′,化简下列向
量表达式,并在图中标出化简结果的向量.
→ → (1)AA′-CB; → → → (2)AA′+AB +B′C′.

第二章

2.2

第1课时

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→ → [分析] (1) 分析题意 → 将CB等价转化为DA → → → DA转化为-AD → 平行四边形法则 → 得出结论 → → (2) 应用平行四边形法则先求AA′+AB → → → 应用三角形法则求AB′+B′C′ → 得出结论

第二章

2.2

第1课时

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→ → → → → → → [解析] (1)AA′-CB=AA′-DA=AA′+AD=AD′. → → → (2)AA′+AB+B′C′ → → → =(AA′+AB)+B′C′ → → =AB′+B′C′=AC′. → → 向量AD′、AC′如图所示.

第二章

2.2

第1课时

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[ 总结反思 ]

化简向量表达式主要是利用平行四

边形法则或三角形法则进行化简,在化简过程中遇到 减法时可灵活应用相反向量转化成加法,也可按减法 法则进行运算,加减法之间可相互转化.

第二章

2.2

第1课时

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如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运算 → 的结果为向量AC1的共有( → → → ①AB+BC+CC1 → → → ③AB-C1C+B1C1 A.1 个 C.3 个 ) → → → ②AA1+B1C1+D1C1 → → → ④AA1+DC+B1C1 B.2 个 D.4 个

[答案] D
第二章 2.2 第1课时

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[解析] 根据空间向量的加法法则以及正方体的性质, 逐一进 → → → → → → 行判断:①AB+BC+CC1=AC+CC1=AC1; → → → → → → ②AA1+B1C1+D1C1=AD1+D1C1=AC1; → → → → → → ③AB-C1C+B1C1=AB1+B1C1=AC1; → → → → → → ④AA1+DC+B1C1=AB1+B1C1=AC1; → 所以,所给四个式子的运算结果都是AC1.

第二章

2.2

第1课时

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→ → → 2. 已知空间四边形 ABCD, 连接 AC, 则AB+BC+CD为( → A.AD → B.BD

)

→ C.AC D.0 [答案] A → → → → → → [解析] AB+BC+CD=AC+CD=AD,故选 A.

第二章

2.2

第1课时

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2.空间向量加减法的运算律 a+(b+c) ; (1)结合律(a+b)+c=_____________
b+a (2)交换律a+b=_____________ . 3.空间向量的数乘的定义 空间向量 a 与一个实数 λ 的乘积是一个向量,记作 λA . 满

足:
|λ||a| (1)|λa|=_____________ ; 方向相同 (2)当λ>0时,λa与a________ ; 方向相反 当λ<0时,λa与a________ ; 0 当λ=0时,λa=_____________.
第二章 2.2 第1课时

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4.空间向量的数乘运算律

(1)λa=aλ(λ∈R);
(2)λ(a+b)=λa+λb,

(λ+μ)a=λa+μa(λ∈R,μ∈R);
(3)(λμ)a=λ(μa)(λ∈R,μ∈R).

第二章

2.2

第1课时

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(3) 首尾相接的向量之和等于由起始向量 的始点指向末尾向量的终点,因此,求空间 中若干向量之和时,可通过平移将它们转化 → → → 为首尾相接的向量,如图:A1A2+A2A3+A3A4 → +…+An-1An=A1An

第二章

2.2

第1课时

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2.对空间向量数乘运算的认识 (1)类比平面向量,空间中任意实数λ与向量a的乘积λa仍然 是一个向量,所以它既有大小又有方向,大小为|a|的|λ|倍,方 向取决于λ的正负.

(2)注意,实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,
如λ+a,λ-a无意义.

第二章

2.2

第1课时

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空间向量的数乘运算
如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 → → → A1C1 与 B1D1 的交点,若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中 → 与BM相等的向量是( 1 1 A.-2a+2b+c 1 1 C.-2a-2b+c ) 1 1 B.2a+2b+c 1 1 D.2a-2b+c

第二章

2.2

第1课时

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[分析]

空间向量的数乘运算是线性运算的一种,其实质

是空间向量的加减运算.

[解析]

1 → → → → BM=BB1+B1M=c+2B1D1

1 → 1 → =c+2(A1D1-A1B1)=c+2(b-a) 1 1 =-2a+2b+c,故选 A.

第二章

2.2

第1课时

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[总结反思] 量.

利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利

用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向 (2)运用空间向量的数乘运算律可使运算简便,注意与实数

的有关运算律区别清楚.运算律中是实数与向量的乘积,不是
向量与向量的乘法运算.

第二章

2.2

第1课时

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5.共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存 a=λB 在实数λ,使得_____________ .
6.单位向量的求法. a 对于任意一个非零向量 a,我们把|a|叫作向量 a 的单位向量, 记作 a0,a0 与 a 同方向.

第二章

2.2

第1课时

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→ → → 3.已知向量 a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a -2b,则一定共线的三点是( A.A、B、D C.B、C、D ) B.A、B、C D.A、C、D

[答案] A → → → → [ 解析 ] AD = AB + BC + CD = a + 2b - 5a + 6b + 7a - 2b = 3a
→ +6b=3AB,A 为两向量的公共点,所以 A、B、D 三点共线.

第二章

2.2

第1课时

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4.下列条件,能说明空间不重合的 A、B、C 三点共线的是 ( ) → → → A.AB+BC=AC → → C.AB=BC
[答案]

→ → → B.AB-BC=AC → → D.|AB|=|BC|

[解析] 线.

C → → AB与BC两向量平行,且有一个公共点,所以三点共

第二章

2.2

第1课时

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向量共线
如图所示,四边形 ABCD,ABEF 都是平行四边形, → → 且不共面, M、 N 分别是 AC、 BF 的中点, 判断CE与MN是否共线?

→ → [分析] 要判断CE与MN是否共线, 只需判断是否存在实数 x, → → → → → → 使CE=xMN,若存在,则CE与MN共线,否则MN与CE不共线.
第二章 2.2 第1课时

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[解析] M, N 分别是 AC, BF 的中点, 而四边形 ABCD, ABEF 都是平行四边形, → → → → 1→ → 1→ 所以MN=MA+AF+FN=2CA+AF+2FB. 1→ → → 1→ → → → → → 又因为MN=MC+CE+EB+BN=-2CA+CE-AF-2FB, → 1→ → 1→ → → CE-(2CA+AF+2FB)=CE-MN. → → 所以CE=2MN. → → 所以CE与MN共线.
第二章 2.2 第1课时

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[总结反思]

本题考查了共线向量定理以及空间向量的加法、

减法、数乘运算.判定两向量共线就是找出 λ 使 a=λb,要充分运 用空间向量的运算法则,并结合图形,化简得出 a=λb,从而得出 → → a∥B.本题的最终目的是化简出CE=2MN.

第二章

2.2

第1课时

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向量的分解问题
如 图 , ABCD - A′B′C′D′是平行六面体. 1 → → 2→ (1)化简 AA′+BC+ AB,并在 2 3 图中标出其结果; (2)设 M 是底面 ABCD 的中心, N 是侧面 BCC′B′对角线 BC′上 3 3 → → 的 4分点 (BN=4 BC′) ,设MN= αAB → → +βAD+γAA′,试求 α、β、γ 的值.
第二章 2.2 第1课时

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[分析]

(1)化简该式,应用向量的加法和数乘法,为此应先

1 → 2→ → → 在图形中, 取得向量2AA′, 3AB.(2)通过向量运算法则将MN用AB、 → → AD、AA′表示.
1 → → [解析] (1)如图所示,取 AA′的中点为 E,则2AA′=EA′. → → → → 又BC=A′D′,AB=D′C′,取 F 为 D′C′的一个三等 2 2→ → 分点(D′F=3D′C′)则D′F=3AB. 1 → → 2→ → → → → ∴2AA′+BC+3AB=EA′+A′D′+D′F=EF.
第二章 2.2 第1课时

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1 → → 3 → → → → 1→ 3 → → (2)MN=MB+BN=2DB+4BC′=2(DA+AB)+4(AD+AA′) 1→ 1 → 3 → =2AB+4AD+4AA′. 1 1 3 ∴α=2,β=4,γ=4.
[总结反思] 用一组选定的不共面的三个向量表示一空间向

量,仍要利用向量的数乘及加减法运算法则.

第二章

2.2

第1课时

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→ → → 在如图所示的平行六面体中,求证: AC + AB′ + AD′ = → 2AC′.

[分析]

→ → → → → 由于AC′=AB+AD+AA′,所以我们只要证明AC

→ → → → → +AB′+AD′=2(AB+AD+AA′), 而利用平行六面体的各面均 为平行四边形就不难证明上式.
第二章 2.2 第1课时

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[证明] ∵平行六面体的六个面均为平行四边形, → → → → → → → → → ∴AC=AB+AD,AB′=AB+AA′,AD′=AD+AA′. → → → → → → → → → ∴AC+AB′+AD′=(AB+AD)+(AB+AA′)+(AD+AA′) → → → =2(AB+AD+AA′). → → → → 又由于AA′=CC′,AD=BC, → → → → → → → → → ∴AB+AD+AA′=AB+BC+CC′=AC+CC′=AC′, → → → → ∴AC+AB′+AD′=2AC′.
第二章 2.2 第1课时

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易混易错辨析

第二章

2.2

第1课时

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下列命题是真命题的序号是________________. → → ①向量AB与CD是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一条直 线上; → → ②向量AB与AC是共线向量,则 A、B、C 必在一条直线上.

[误解] ①②

第二章

2.2

第1课时

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→ → [正解] 命题①为假命题,因为AB、CD两个向量所在的直线 可能没有公共点,所以四点不一定在一条直线上;命题②为真命 → → 题, 因为AB、 AC两个向量所在的直线有公共点 A, 所以三点共线. 故 填②.

[答案] ②
[总结反思] 我们所研究的向量为自由向量, 所以平行向量就

是共线向量,但是向量所在的直线却不一定共线,也有可能平行, 关键是看这两个向量有没有公共点,如果没有公共点,那么对应 的两条直线平行;如果有公共点,那么对应的两条直线重合.
第二章 2.2 第1课时



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