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2014届高考二轮复习课件:常考问题1 函数、基本初等函数的图象与性质 (1)



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常考问题1 函数、基本初等函数的 图象与性质

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[真题感悟]

[考题分析]

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1.函数及其图象
(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三个要素,是一个 整体,研究函数问题时务必须“定义域优先”. (2)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两 种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换 有平移变换、伸缩变换和对称变换.

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2.函数的性质

(1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函
数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和 下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;

(2)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的
图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具 有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于 坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性; (3)周期性:周期性也是函数在定义域上的整体性质.若函数

满足f(a+x)=f(x)(a不等于0),则其周期T=ka(k∈Z)的绝对
值.
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3.求函数最值(值域)常用的方法

(1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数;
(2)图象法:适合于已知或易作出图象的函数; (3)基本不等式法:特别适合于分式结构或两元的函数;

(4)导数法:适合于可求导数的函数.
4.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1) 的图象和性质,分0<a<1和a>1两种情况,着重关注两函数图 象中的两种情况的公共性质;

(2)幂函数y=xα 的图象和性质,分幂指数α>0和α<0两种情
况.
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5.图象的应用 函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式,它们的实 质是相同的,在解题时经常要互相转化.在解决函数问题

时,尤其是较为繁琐的(如分类讨论,求参数的取值范围等)
问题时,要注意充分发挥图象的直观作用.

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热点与突破
热点一 函数的性质及其应用

[例 1] (1)设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 0≤x≤1 时, 当 f(x)=2x(1 -x),则 1 A.-2
? 5? f?-2?= ? ?

( 1 B.-4

).

1 1 C.4 D.2 (2)设奇函数 y=f(x)(x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1

-t),且

? 1? x∈?0,2?时,f(x)=-x2,则 ? ?

? 3? f(3)+f?-2?的值等于 ? ?

________.
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解析

(1)依题意得

? 5? ?5? ?5 ? ?1? f ?-2? =-f ?2? =-f ?2-2? =-f ?2? =- ? ? ? ? ? ? ? ?

1 ? 1? 1 ?1- ?=- . 2×2× 2? 2 ? (2)根据对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t)可得 f(-t)=f(1+t), 即 f(t+1)=-f(t),进而得到 f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]= f(t),得函数 y=f(x)的一个周期为 2,故 f(3)=f(1)=f(0+1) =-f(0)=0,
? 1? 1 ?- ?=- . + 4 4 ? ? ? 3? ?1? 1 ?- ?=f? ?=- .所以 f 2 4 ? ? ?2? ? 3? f(3)+f?-2?的值是 ? ?

0

答案

1 (1)A(2) -4
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[规律方法] 根据函数的奇偶性、单调性和周期性:把所求函 数值转化为给定范围内的函数值,再利用所给范围内的函数 解析式求出函数值.

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[训练1] (1)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R, f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为 A.(-1,1) C.(-∞,-1) B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞) ( ).

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1
时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+ f(3)+?+f(2012)=________. A.335 C.1678 B.338 D.2012

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解析

(1)由f′(x)>2转化为f′(x)-2>0,构造函数F(x)=f(x)-

2x,得F(x)在R上是增函数,又F(-1)=f(-1)-2×(-1)= 4,f(x)>2x+4,即F(x)>4=F(-1),所以x>-1. (2)易知函数的周期为6.所以f(-3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=

0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有f(1)+f(2)+?+
f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以f(1)+f(2)+?+f(2012)= f(1)+f(2)+335×1=335+3=338,选B. 答案 (1)B (2)B

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热点二 函数的图象及其应用 x [例 2] (1)函数 y=2-2sin x 的图象大致是 ( ).

(2)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,则不 f?x?-f?-x? 等式 <0 的解集为 x A.(-2,0)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) ( B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(2,+∞)
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).

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解析 (1)由 f(-x)=-f(x)知,函数 f(x)为奇函数,所以排除 1 A; f′(x)= -2cos x, x 在 y 轴右侧, 又 当 趋向 0 时, f′(x) 2 <0,所以函数 f(x)在 y 轴右侧接近原点处为减函数,当 x= 1 3 2π 时,f′(2π)= -2cos 2π=- <0,所以 x=2π 应在函数 2 2 的减区间上,所以选 C.

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(2)由奇函数的定义和 f(2)=0 得出函数在(-∞,0)上也为增 函数.画出函数草图(如图),可得在(-2,0)和(2,+∞)上 f?x?-f?-x? f(x)>0, 在(-∞, -2)和(0,2)上 f(x)<0.当 x>0 时, 由 x <0,可得 f(x)-f(-x)=2f(x)<0,结合图象可知(0,2)符合;当 f?x?-f?-x? x<0 时,由 <0,可得 f(x)-f(-x)=2f(x)>0,结合 x 图象可知(-2,0)符合.

答案 (1)C (2)A
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[规律方法] (1)根据函数的解析式判断函数的图象,要从定义 域、值域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数图 象进行全面分析,有时也可结合特殊的函数值进行辅助推

断,这是解决函数图象判断类试题的基本方法.
(2)研究函数时,注意结合图象,在解方程和不等式等问题 时,借助图象能到十分快捷的作用.

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[训练2] (1)(2013·山东卷)函数y=xcos x+sin x的图象大致为
( ).

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(2)设函数

?x2+bx+c ? f(x)=? ?2 x>0, ?

?x≤0?,

若 f(-4)=f(0),f(-

2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为________.
解析 (1)函数 y=xcos x+sin x 为奇函数, π 图象关于坐标原点对称,当 0<x< 时,显然 y>0,而当 x=π 2 时,y=-π<0,据此排除选项 A,B,C 正确选项为 D.

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(2)f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 可得 b=4,c=2.
?x2+4x+2 ? ∴f(x)=? ?2 x>0 ?

x≤0,



图象如图所示. f(x)=x 解的个数即 y=f(x)与 y=x 图象的交点个数.由图知 两图象有 A,B,C 三个交点,故方程有 3 个解.

答案 (1)D (2)3
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热点三

基本初等函数的图象、性质及其应用

[例 3] (1)已知函数 f(x)= ??a-2?x-1,x≤1, ? ? ? ?loga x,x>1, 若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ________. (2)若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4,最 小值为 m, 且函数 g(x)=(1-4m) x在[0, +∞)上是增函数, 则 a=________.
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解析 (1)要保证函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则首 先要满足分段函数在各自的定义域内分别单调递增.若 f(x) =(a-2)x-1 在区间(-∞,1]上单调递增,则 a-2>0,即 a>2.若 f(x)=loga x 在区间(1,+∞)上单调递增,则 a>1.另 外要保证函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增还需满足(a- 2)×1-1≤loga1=0 ,即 a≤3.故 2<a≤3.

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(2)若 a>1,则 f(x)=ax 在[-1,2]上是增函数, 1 ∴a =4,则 a=2,则 m=a =2.
2
-1

此时 g(x)=- x在[0,+∞)上是减函数,不合题意,舍去. 若 0<a<1 时,f(x)在[-1,2]上是减函数, 则 a-1=4,且 m=a2. 1 1 解得 a=4,m=16,满足 g(x)在[0,+∞)上是增函数.

答案 (1)(2,3]

1 (2)4

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[规律方法] (1)关于分段函数的单调性不仅保证分段函数在 各自的定义域内分别单调, 还得保证函数在整个定义域上单 调. (2)对于指数函数或对数函数,当底数中含有参数时,要注 意对参数的讨论.

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[训练 3] (1)已知 a=2 大小关系为 A.c<b<a C.b<a<c

1.2

?1?- ,b=?2? 0.8,c=2log52,则 ? ?

a,b,c 的 ( ).

B.c<a<b D.b<c<a

(2)定义在 R 上的奇函数 f(x), x∈(0, 当 +∞)时, f(x)=log2x, 则不等式 f(x)<-1 的解集是________.

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解析

(1)先把不同底指数化成同底指数,再利用指数函数

的单调性比较大小, 最后利用中间值与对数函数进行比较大 小.a=2 >2,而
1.2

?1?- b=?2? 0.8=20.8,所以 ? ?

1<b<2,c=2log52

=log54<1,所以 c<b<a.

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(2)由已知条件可知,x∈(-∞,0)时,f(x)=-log2(-x).当 f(x)<-1,即为-log2(-x)<-1,解得 x<-2. 1 当 x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,即为 log2x<-1,解得 0<x< ; 2 所以 f(x)<-1
? 1? 的解集为(-∞,-2)∪?0,2?. ? ?

答案 (1)A

? 1? (2)(-∞,-2)∪?0,2? ? ?

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审题示例(一) 破解函数图象与性质的综合性问题

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解析 由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象 关于 y 轴对称,故函数 y=f(x)的图象本身关于直线 x=1 对 称,所以
? 1? ?5? a=f?-2?=f?2?,当 ? ? ? ?

x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-

x1)<0 恒成立,等价于函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,所 以 b>a>c.选 D.

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方法点评

根据函数图象的对称性可以把位于对称轴两侧

的函数值转化为同一侧的函数值, 这样就可以使用函数在对 称轴一侧的单调性比较函数值的大小, 因此在解决比较大小 问题时这是常用的解题思路.

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【针对训练】 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1