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洛伦兹力(上)



第2讲 洛伦兹力

本讲导学 1.洛伦兹力。 2.带电粒子在磁场中的动力学问题。 知识点睛 1.洛伦兹力 载流导线所受的安培力,我们可看为是磁场作用给运动电荷即自由电子的力,经自由电子与导 体晶格的碰撞而传递给导线的。 根据安培定律 F ? IB ?L sin ? ,而电流强度与运动电荷有 关系 I ? qnvs , ? 角既是电流元 I?L 与 B 的夹角,

也可视为带 电粒子的速度 v 与 B 之间的夹角, ? L 长导线中有粒子数

z
f
O q

?

?

N ? n?LS ,则每个电子受到的力即洛伦兹力为
f ? F qnvSB ?L sin ? ? ? qvB sin ? N n?LS

x

v?

? B
y

v

记为矢量式为

? ? ? f ? qv ? B
洛伦兹力总是与粒子速度垂直,因此洛伦兹力不作功,不能改变运动电荷速度的大小,只能改 变速度的方向,使路径发生弯曲。 洛伦兹力的方向从图可以看出,它一定与磁场(B)的方向垂直,也与粒子运动( v )方向垂直,即 与 v 、B 所在的平面垂直,具体方向可用左手定则判定。但应注意,这里所说的粒子运动方向是指 正电荷运动的方向,它恰与负电荷沿相反方向运动等效。 【思考】安培力可以做功,为什么洛仑兹力不能做功? 应该注意“安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观体现 ”这句话的确切含义 ——“宏观体

1

现”和“完全相等”是有区别的。我们可以分两种情形看这个问题: (1)导体静止时,所有粒子的洛 仑兹力的合力等于安培力(这个证明从略) ; (2)导体运动时,粒子参与的是沿导体棒的运动 v1 和导体运动 v2 的合运动,其合速度为 v ,这时的洛仑兹力 f 垂直 v 而安培力垂直导体棒,它们是 不可能相等的,只能说安培力是洛仑兹力的分力 f1 = qv1B 的合力。

很显然, f1 的合力 (安培力) 做正功, 而 f 不做功 (或者说 f1 的正功和 f2 的负功的代数和为零) 。 如果从能量的角度看这个问题,当导体棒放在光滑的导轨上时(,导体棒必获得动能,这个 动能是怎么转化来的呢? 若先将导体棒卡住,回路中形成稳恒的电流,电流的功转化为回路的焦耳热。而将导体棒释 放后,导体棒受安培力加速,将形成感应电动势(反电动势) 。动力学分析可知,导体棒的最后稳 定状态是匀速运动(感应电动势等于电源电动势,回路电流为零) 。由于达到稳定速度前的回路电 流是逐渐减小的,故在相同时间内发的焦耳热将比导体棒被卡住时少。所以,导体棒动能的增加 是以回路焦耳热的减少为代价的。 2、带电粒子在匀强磁场中的运动规律 总的来说我们要讨论的问题既简单又复杂:知道了一个粒子受的力讨论其轨迹,这是最基本的 牛顿定律运用的问题。但是这个力居然与运动方向垂直,还与速度有关,所以动力学方程往往非常 难解。 不妨先看几个简单直观的例子: 1.如果带电粒子原来静止,它即使在磁场中也不会受洛伦磁力的作用,因而保持静止。 2.如果带电粒子运动的方向恰与磁场方向在一条直线上,该粒子仍不受洛伦磁力的作用,粒子就以 这个速度在磁场中做匀速直线运动。 带电粒子速度方向与磁场方向垂直,带电粒子在垂直于磁场方向的平面内以入射速度 v 作匀速 圆周运动。带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动的四个基本公式。

v2 qvB ? m R (1)向心力公式: R?
(2)轨道半径公式:

mv Bq

(3)周期、频率和角频率公式,即:

2

T?

2?R 2?m ? v Bq ,
1 Bq ? T 2?m , 2? Bq ? 2?f ? T m

f ?

??

应用 1:回旋加速器 在高能物理研究中, 粒子加速器起着重要作用, 而早期的加速器只能使带电粒子在高压电场中加 速一次,因而粒子所能达到的能量受到高压技术的限制。1930 年,Earnest O. Lawrence 提出了回旋 加速器的理论,他设想用磁场使带电粒子沿圆弧形轨道旋转,多次反复地通过高频加速电场,直至 达到高能量。图 甲为 Earnest O. Lawrence 设计的回旋加速器的示意图。它由两个铝制 D 型金属扁 盒组成, 两个 D 形盒正中间开有一条狭缝; 两个 D 型盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压。 图 乙 为俯视图,在 D 型盒上半面中心 S 处有一正离子源,它发出的正离子,经狭缝电压加速后,进入 D 型盒中。在磁场力的作用下运动半周,再经狭缝电压加速;为保证粒子每次经过狭缝都被加速,应 设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周而复始,最后到达 D 型盒的 边缘,获得最大速度后被束流提取装置提取出。
B S

接交流电源 甲



3. v 与 B 成一般夹角 θ 时,做等螺距螺旋运动:

?

?

半径: m vsin ? , r? qB

3

螺距:
d? 2?m vcos? qB
?

这个结论的证明一般是将 v 分解,不难理解。 应用 2:磁聚焦 结构:见图,K 和 G 分别为阴极和控制极,A 为阳极加共轴限制膜片,螺线管提供匀强磁场。 原理: 由于控制极和共轴膜片的存在, 电子进磁场的发散角极小, 即速度和磁场的夹角 θ 极小, 各粒子做螺旋运动时可以认为螺距彼此相等(半径可以不等) ,故所有粒子会“聚焦”在荧光屏上的 P 点。

应用 3:磁笼

如上图(a)所示,两个电流方向相同的线圈产生中央弱两端强的不均匀磁场,当处于中间区域 的带电粒子沿着 z 轴向右运动时,设粒子带正电荷 q,速度 v 沿 z 轴,如图(b)所示,粒子受到洛 伦兹力 作用,使粒子向着如上图(b)所示方向(垂直屏幕向里)偏转。 可见粒子将获得绕轴旋转的运动速度 v? (图中用 ? 代表其方向),随着粒子分速度 v? 的出现,
qv ? B

又将受到洛伦兹力 F 的作用,其径向分量 Fr 使粒子向轴线偏转,轴向分量 Fz 使带电粒子的轴向速 度 v 减少,因为 , B 增大,v 减小得也快,粒子运动到右端线圈附近时,由于该处 B 很大,如 果 v 初始速度较小, 则 v 有可能减至为零,然后就反向运动,犹如光线射到镜面上反射回来一样。 如果处于中间区域的带电粒子沿着 z 轴向左运动,类似分析,如上图(c),可以得出带电粒 子运动到左端线圈附近时,带电粒子轴向速度也有可能减至为零,然后带电粒子反向运动。 我们通常把这种能约束运动带电粒子(见右图动画)的磁场分布叫做磁镜,又形象地称为磁瓶, 上图(a)所示的便是一种磁镜装置,对于其中的带电粒子来说,相当于两端各有一面磁镜。 那些纵向速度 v 不是太大的带电粒子将在两磁镜之间来回反射,被约束在两面“镜子”之间的中 间区域而不能逃脱。
F ? qv ? ? B

4

如前所述,不仅带电粒子的横向运动可被磁场抑制,而且纵向运动又被磁镜所反射,所以这样 的磁场分布就象牢宠一样,可以把带电粒子或等离子体约束在其中。 但磁镜装置有个缺点,即总有 一部分纵向速度较大的粒子会从两端逃逸,所以采用环形磁场结构,可以避免这个缺点。 在受控热 核聚变中,除了磁镜的约束外,还有其他的一些磁瓶装置,如托卡马克装置、仿星器等,它们的结 构虽然不尽相同,但都是采用某种特定形态的磁场来约束等离子体。 磁镜约束也存在于自然界中,例如地球磁场两极强、中间弱就是一个天然磁瓶,它使得来自宇 宙射线的带电粒子在两磁极间来回振荡,(如上右图)从而形成第十章所提到的范· 阿仑辐射带。生 活在地球上的人类及其他生物都应十分感谢这个天然的磁镜约束,正是靠它才将来自宇宙空间、能 致生物于死命的各种高能射线或粒子捕获住,使人类和其他生物不被伤害,得以安全地生存下来。 同时如果没有地球的磁场,地球的大气会向火星一样被太阳喷射的离子流吹走,地球上的生物也早 就灭绝了。

以上这样讲有案例教学的嫌疑, 所以对于其他的情况我们不再举例, 而是变成问题和大家一起研究。

例题精讲 【例1】 图示为氢原子中电子绕核做快速圆周运动,方向为逆时针, 此运动可等效为环形电流。设此环形电流在通过圆心并垂直 圆面的轴线上的某点 P 产生的磁感强度大小为 B1 。现在沿 垂直轨道平面的方向上加一磁感强度为 B0 的外磁场,这时, 设电子轨道半径没有变,而速度发生了变化。若此时环形电 流在 P 点产生的磁感强度为 B2 ,则: (1)当 B0 方向向里时,B2 和 B1 有什么关系? (2)当 B0 方向向外,再回答以上问题。

5

【例2】 在如图 所示的直角坐标系中,坐标原点 O 固定电量为 Q 的正点电荷,另有指向 y 轴正方 向(竖直向上方向),磁感应强度大小为 B 的匀强磁场,因而另一个质量为 m、电量力为 q 的正点电荷微粒恰好能以 y 轴上的 O ? 点为圆心作匀速圆周运动,其轨道平面(水平面)与

xoz 平面平行,角速度为 ? ,试求圆心 O ? 的坐标值。
y B

O?

Q
O

x

z

【例3】 在三维直角坐标中,沿+z 方向有磁感强度为 B 的匀强磁场,沿?z 方向有电场强度为 E 的 匀强电场。在原点 O 有一质量为 m 、电量为?q 的粒子(不计重力)以正 x 方向、大小为 v 的初速度发射。试求粒子再过 z 轴的坐标与时间。 z
B

Y x E

【例4】 如图所示,oxyz 坐标系的 y 轴竖直向上,在坐标系所在的空间存在匀强电场和匀强磁场, 电场方向与 x 轴平行.从 y 轴上的 M 点(0,H,0)无初速释放一个质量为 m、电荷量为 q 的带负电的小球,它落在 xz 平面上的 N(c,0,b)点(c>0,b>0) .若撤去磁场则小球 落在 xy 平面的 P(l,0,0)点(l>0) .已知重力加速度为g. (1)已知匀强磁场方向与某个坐标轴平行,试判断其可能的具体方向; (2)求电场强度 E 的大小; (3)求小球落至 N 点时的速率 v. y
M(0,H,0)

o z

P(l,0,0) x N(c,0,b)

6

【例5】 如图所示,虚线 AB 右侧是磁感应强度为 B 的匀强磁场,左侧是磁感应强度为 2B 的匀强 磁场,磁场的方向垂直于图中的纸面并指向纸面内,现有一带正电的粒子自图中 O 处以初 速度 V0 开始向右运动。从开始时刻到第 10 次通过 AB 线向右运动的时间内,该粒子在 AB 方向的平均速度?。

A 0 B V
0

O

v

【例6】 在空间有相互垂直的匀强电场 E 和匀强磁 B,电场方向为 y,磁场方向为 x,一电子从原 点 O 静止释放,求电子在 y 方向前进的最大距离。

【例7】 计算上题粒子的轨迹方程。

研究性问题:霍尔效应 将一载流导体放在磁场中,由于洛伦兹力的作用,会使带电
d

粒子(或别的载流子)发生横向偏转,在磁场和电流二者垂直的方 向上出现横向电势差,这一现象称为霍尔效应。 如图所示,电流 I 在导体中流动,设导体横截面高 h、宽为 d 匀强磁场方向垂直与导线前、后两表面向外,磁感强度为 B, 导体内自由电子密度为 n,定向移动速度 v
h
I

E

I ? nevh ? d

7

由于洛伦兹力作用,自由电子向上表面聚集,下表面留下正离子,结果上下表面间形成电场, 存在电势差 U,这个电场对电子的作用力方向向下,大小为

F ? eE ? e ?

U h

当 F 与洛伦磁力 f 相平衡时,上、下表面电荷达到稳定,则有

e

U ? evB h
IB ned
B

U ?

如果导电的载流子是正电荷,则上表面聚集正电荷,下表面为负 电势,电势差正、负也正好相反。 下面来分析霍尔电势差,求出霍尔系数。 在图中,设大块导体的长和宽分别为 L 和 d,单位体积自由电荷 密度为 n,电荷定向移动速率为 v ,则电流
L
? ?

d

?

?
I

?
?

a

a?

I ? nqLdv。
假定形成电流的电荷是正电荷,其定向移动方向就是电流方向。根据左手定则,正电荷向上积 聚,下表面附近缺少正电荷则呈现负电荷积聚,上正下负电压为 Ua a ? ,正电荷受到跟磁场力反向 的电场力

F ? qE ? q
的作用。

Ua a ? L

电场对正电荷向上的偏移积聚起阻碍作用,当最后达到平衡时

q

Ua a ? ? qBv L ,可得

Uaa ? ? BLv ? BL

I BI 1 ? ? nqLd d nq 。

可见,理论推导的结果跟实验结果完全一致,系数

k?

1 nq

8

既然 k 跟 n 有关, n 表征电荷浓度, 那么通过实验测定 k 值可以确定导体或半导体的电荷浓度 n, 半导体的 n 值比金属导体小得多,所以 k 值也大得多。此外根据左手定则还可知,即使电流 I 就是 图中的流向,如果参与流动的是正电荷,那么电压就是上正下负;如果参与定向移动的是自由电子, 那么电压就是上负下正了。霍尔电势的高低跟半导体是 p 型的还是 n 型的有如此的关系:上正下负 的是 p 型半导体,定向载流子是带正电的空穴:上负下正的是 n 型半导体,如果 k 值小得多就是金 属导体,定向载流子是自由电子。 【例8】 一根边长为 a、b、c(a>>b>>c)的矩形截面长棒,如图所示,由半导体锑化铟制成,棒 中有平行于 a 边的电流 I 通过,该棒放在垂直于 c 边向外的磁场 B 中,电流 I 所产生的磁 场忽略不计。该电流的载流子为电子,在只有电场存在时,电子在半导体中的平均速度

v ? ?E ,其中 ? 为迁移率。
1)确定棒中所产生上述电流的总电场的大小和方向。 2)计算夹 c 边的两表面上相对两点之间的电势差(已知数据:电子迁移率 ? ? 7.8m / V ? s ,电
2
22 3 子密度 n ? 2.5 ? 10 / m ,I=1. 0A,B=0.1T,b=1.0cm,c=1.0mm,e=1.6× 10-19C)

【例9】 如图所示, Ml M2 和 M3 M4 都是由无限多根无限长的外表面绝缘的细直导线紧密排列成 的导线排横截面,两导线排相交成 120°,O O ’为其角平分线.每根细导线中都通有电 流 I ,两导线排中电流的方向相反,其中 Ml M2 中电流的方向垂直纸面向里.导线排中单 位长度上细导线的根数为 λ.图中的矩形 abcd 是用 N 型半导体材料做成的长直半导体片 的横截面, ( ab 《 bc ) ,长直半导体片与导线排中的细导线平行,并在片中通有均匀电流 I0,电流方向垂直纸面向外.已知 ab 边与 O O ’垂直, bc =l,该半导体材料内载流子 密度为 n ,每个载流子所带电荷量的大小为 q .求此半导体片的左右两个侧面之间的电 势差.已知当细的无限长的直导线中通有电流 I 时,电流产生的磁场离直导线的距离为 r

9

处的磁感应强度的大小为 B ? k

I ,式中 k 为已知常 r

量.

10

【例10】

如图,一个质量为

,带

电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 垂直于 BC 边飞

入正三角形 ABC。为了使该粒子能在 AC 边上的 N 点(CM=CN)垂真于 AC 边飞出 ABC,可在适 当的位置加一个垂直于纸面向里,磁感应强度为 B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角 形的区域内,且不计粒子的重力。试求:1)粒子在磁场里运动的轨道半径r及周期 T; 2)该粒子在磁场里运动的时间 t; 3)该正三角形区域磁场的最小边长;

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你知道么?

电磁炮
电磁炮听起来很神秘,其实它的结构和原理很简单.电磁炮是利用电磁力代替火药曝炸力来加 速弹丸的电磁发射系统,它主要由电源、高速开关、加速装置和炮弹四部分组成.目前,国外所研 制的电磁炮,根据结构和原理的不同,可分为以下几种类型: (一) 线圈炮: 线圈炮又称交流同轴线圈炮. 它是电磁炮的最早形式, 由加速线圈和弹丸线圈构成. 根 据通电线圈之间磁场的相互作用原理而工作的.加速线圈固定在炮管中,当它通入交变电流时,产 生的交变磁场就会在弹丸线圈中产生感应电流.感应电流的磁场与加速线圈电流的磁场互相作用, 产生洛仑兹力,使弹丸加速运动并发射出去. (二)轨道炮:轨道炮是利用轨道电流间相互作用的安培力把弹丸发射出去.它由两条平行的长直 导轨组成,导轨间放置一质量较小的滑块作为弹丸.当两轨接人电源时,强大的电流从一导轨流入, 经滑块从另一导轨流回时,在两导轨平面间产生强磁场,通电流的滑块在安培力的作用下,弹丸会 以很大的速度射出,这就是轨道炮的发射原理. (三)电热炮:电热炮的原理完全不同于上述两种电磁炮,其结构也有多种形式.最简单的一种是 采用一般的炮管,管内设置有接到等离子体燃烧器上的电极,燃烧器安装在炮后膛的末端.当等离 子体燃烧器两极间加上高压时,会产生一道电弧,使放在两极间的等离子体生成材料(如聚乙烯) 蒸发.蒸发后的材料变成过热的高压等离子体,从而使弹丸加速. (四)重接炮:重接炮是一种多级加速的无接触电磁发射装置,没有炮管,但要求弹丸在进入重接 炮之前应有一定的初速度.其结构和工作原理是利用两个矩形线圈上下分置,之间有间隙.长方形 的“炮弹”在两个矩形线圈产生的磁场中受到强磁场力的作用,穿过间隙在其中加速前进.重接炮 是电磁炮的最新发展形式. 电磁炮作为发展中的高技术兵器,其军事用途十分广泛. (一)用于天基反导系统:电磁炮由于初速度极高,可用于摧毁空间的低轨道卫星和导弹,还可以 拦截由舰只和装甲发射的导弹.因此,在美国的“星球大战”计划中,电磁轨道炮成为一项主要研 究的任务. (二)用于防空系统:美军认为可用电磁炮代替高射武器和防空导弹遂行防空任务.美国正在研制 长 7.5 米、发射速度为 500 发/分、射程达几十千米的电磁炮,准备替代舰上的“火神——方阵防 空系统”.用它不仅能打击临空的各种飞机,还能在远距离拦截空对舰导弹.英国也正在积极研制 用于装甲车的防空电磁炮. (三)用于反装甲武器:美国的打靶试验证明,电磁炮是对付坦克装甲的有效手段.发射质量为 50 克、速度为 3km/s 的炮弹,可穿透 25.4mm 厚的装甲.有关资料还报道,用一种电磁炮做试验,完全 可以穿透模拟的 T-72、T-80 坦克的装甲厚度.由此可见,电磁炮具有很强的穿透能力,是非常优 良的反装甲武器. (四)用于改装常规火炮:随着电磁发射技术的发展,在普通火炮的炮口加装电磁加速系统,可大 大提高火炮的射程.美国利用这一技术,已将火炮射程加大到 150km

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学习效果反馈: 代课教师: 通过今天学习,你觉得: 1. 本讲讲义内容设置: A. 太难太多,吃不透 B. 难度稍大,个别问题需要下去继续思考 C. 稍易,较轻松 D. 太容易,来点给力的 2. 本节课老师讲解你明白了: A .40%以下 B .40%到 80% C .80%以上但不全懂 D .自以为都懂了 3.有什么东西希望老师下节课再复习一下么?(可填题号,知识点,或者填无)

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