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浙江省教育考试院2014届高考抽测数学样题(理)(A卷)含答案



测试卷 A
数学(理科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部分 4 至 5 页。满 分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签

字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定 的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=p (1-p) (k=0,1,2,?,n) 台体的体积公式 V= 其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径
k n-k

柱体的体积公式

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. 设集合 S={x|3<x≤6},T={x|x2-4x-5≤0},则 A.(-≦,3]∪(6,+≦) C.(-≦,-1)∪(6,+≦)
R(S∩T)



B.(-≦,3]∪(5,+≦) D.(-≦,-1)∪(5,+≦)
3?i = 2?i

2. 已知 i 是虚数单位,则{ EMBED Equation.DSMT4 | A.-1+i B.-1-i C.1+i

D.1-i

Z 数学(理科)试题第 1 页 (共 9 页)

3.设函数 f (x)=x2-ax+b (a,b∈R),则“f (x)=0 在区间[1,2]有两个不同的实根”是 “2<a<4”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5 正视图 3 侧视图 4 3

4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于 A.10 cm3 B.20 cm3 C.30 cm3 D.40 cm3

5.已知 α,β,γ 是三个不同的平面,α∩γ=m,β∩γ=n. A.若 m⊥n,则 α⊥β C.若 m∥n,则 α∥β B.若 α⊥β,则 m⊥n D.若 α∥β,则 m∥n
俯视图 (第 4 题图)

6.已知箱中共有 6 个球,其中红球、黄球、蓝球各 2 个.每次从该箱中取 1 个球 (有放回,每球取到的机会 均等),共取三次.设事件 A: “第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同” ,事件 B: “三次取到的球颜 色都相同” ,则 P(B|A)= A. B. C. D. 7.设 a,b 为单位向量,若向量 c 满足|c-(a+b)|=|a-b|,则|c|的最大值是 8 A.2 . 如 图 B.2 , A , F C. 分 别 是 D.1 双 曲 线 的y 左
Q

l 顶点、右焦点,过 F 的直线 l 与 C 的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和

y 轴分别交于 P,Q 两点.若 AP⊥AQ,则 C 的离心率是 A. B. C. D. 9.若 0<x,y<,且 sin x=x cos y,则 A.y< B.<y< C.<y<x
F A O x

D.x<y

P

(第 题图) P 10.如图,正三棱锥 P-ABC 的所有棱长都为 4.点 D,E,F 分别在棱8PA,PB, F D

PC 上,满足 DE=EF=3,DF=2 的△DEF 个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

E A B (第 10 题图)

C

Z 数学(理科)试题第 2 页 (共 9 页)

非选择题部分 (共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于 .
开 始

12.若二项式的展开式中的常数项是 80,则该展开式中的二项式系数之和等 k=1,S=0 于 . 13.已知点 O(0,0),A(2,0),B(-4,0),点 C 在直线 l:y=-x 上.若 CO 是∠ACB 否
k≤5?

的平分线,则点 C 的坐标为 14.设 x,y∈R,若不等式组 围是 .





S=S+ 所表示的平面区域是一个锐角三角形,则 a 的取值范 k=k+1

15.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=3,CD=4.过 AC 与 BD 的交点 O 作 EF∥AB,分别交 AD,BC 于点 E,F,则 EF= .
E A 输出 S B F C

结O 不 16.由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且 4 束

在第四位,则这样的六位数共有

个.

D

(第 11 题图) (第 15 题图)

17.设数列{an}满足 an+1=-2,n∈N*.若存在常数 A,对于任意 n∈N*,恒有 |an|≤A,则 a1 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 满足 4 sin Asin C-2 cos (A-C)=1. (Ⅰ) 求角 B 的大小; (Ⅱ) 求 sin A+2 sin C 的取值范围. 19.(本题满分 14 分) 如图,已知曲线 C:y=x2 (0≤x≤1),O(0,0),Q(1,0),R(1,1). 取线段 OQ 的中点 A1,过 A1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P1,过 P1 作 y 轴的垂线交 RQ 于 B1,记 a1 为矩形 A1P1B1Q 的面积. 分别取线段 OA1,P1B1 的中点 A2,A3,过 A2,A3 分别作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P2,P3,过 P2,P3 分别作 y 轴的垂线交 A1P1,RB1 于 B2,B3,记 a2 为两个矩形 A2P2B2 A1 与矩形 A3P3B3B1 的面积之和. 以此类推,记 an 为 2n 列的前 n 项和为 Sn. (I) 求 a2 与 an; (Ⅱ) 求 Sn,并证明 Sn<. Z 数学(理科)试题第 3 页 (共 9 P2 页)
O A2 P1 A3 B2 A1 P3 B3 B1 Q x
-1

个矩形面积之和,从而得数列{an},设这个数 y

R

(第 19 题图)

20.(本题满分 15 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,BC= 2AD=4,AB=CD=. (Ⅰ) 证明:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ) 若二面角 A-PC-D 的大小为 60° ,求 AP 的值.
B C (第 20 题图) 2 A D

P

21.(本题满分 15 分) 如图,已知 O(0,0),E(-,0),F(,0),圆 F:(x-) + y
2



5







P

满 y
P E



Q |PE|+|PF|=4.以 P 为圆心,|OP|为半径的圆 P 与圆 F 的一个公共点

为 Q. (Ⅰ) 求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ) 证明:点 Q 到直线 PF 的距离为定值,并求此值.

F O x

(第 21 题图)

22.(本题满分 14 分) 已知 a 为给定的正实数,m 为实数,函数 f (x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1. (Ⅰ) 若 f (x)在(0,3)上无极值点,求 m 的值; (Ⅱ) 若存在 x0∈(0,3),使得 f (x0)是 f (x)在[0,3]上的最值,求 m 的取值范围.

Z 数学(理科)试题第 4 页 (共 9 页)

测试卷 A 答案
数学(理科)

说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与 本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可 视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较 严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分 1 分。

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.B 6.B 2.D 7.A 3.A 8.D 4.B 9.C 5.D 10.C

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11. 12.32 13.(4,-4) 14. (-2,-) 15. 16.120 17.[-2,2] 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.本题主要考查三角变换、三角函数值域等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 因为 4 sin A sin C-2 cos (A-C)=4 sin A sin C-2 cos A cos C+2 sin A sin C =-2 (cos A cos C-sin A sin C), 所以-2 cos (A+C)=1,故 cos B=. 又 0<B<π,所以 B=. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 C=-A,故 sin A+2 sin C=2 sin A+cos A=sin (A+θ), 其中 0<θ<,且 sin θ=,cos θ=. 由 0<A<知,θ<A+θ<+θ,故 Z 数学(理科)试题第 5 页 (共 9 页) ???? 6 分

<sin (A+θ)≤1. 所以 sin A+2 sin C∈(,]. ???? 14 分

19.本题主要考查等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (I) 由题意知 P1(,), 故 a1=×=. 又 P2(,), P3(,), 故 a2=×[+-]=×(12+32-?2)=. 由题意,对任意的 k=1,2,3,?,n,有 (,), 故 an=×[+-+-+?+-] =×[12+32-?2+52-?2+?+(2n-1)2-(2n-2)2] =×{1+(4×1+1)+(4×2+1)+?+[4×(2n 1-1)+1]} =× =. 所以 a2=, an=, (Ⅱ) 由(I)知 an=, n∈N*, 故 Sn=-=-=. 又对任意的 n∈N*,有 >0, 所以 Sn=?<. ???? 14 分 n∈N*. ???? 10 分


i=0,1,2,?,2k 1-1,



20.本题主要考查空间线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运 算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 设 O 为 AC 与 BD 的交点,作 DE⊥BC 于点 E.由四边形 ABCD 是等腰梯形得
P

Z 数学(理科)试题第 6 页 (共 9 页)
A O B E (第 20 题图) C H D

CE==1, DE==3, 所以 BE=DE,从而得 ∠DBC=∠BCA=45° , 所以∠BOC=90° ,即 AC⊥BD. 由 PA⊥平面 ABCD 得 PA⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC. 方法一: (Ⅱ) 作 OH⊥PC 于点 H,连接 DH. 由(Ⅰ)知 DO⊥平面 PAC,故 DO⊥PC. 所以 PC⊥平面 DOH,从而得 PC⊥OH,PC⊥DH. 故∠DHO 是二面角 A-PC-D 的平面角,所以 ∠DHO=60° . 在 Rt△DOH 中,由 DO=,得 OH=. 在 Rt△PAC 中,=.设 PA=x,可得 =. 解得 x=,即 AP=. 方法二: (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 AC⊥BD.以 O 为原点,OB,OC 所在直线为 x,y 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,如图所示. 由题意知各点坐标如下: A(0,-,1), C(0, ,0), B(,0, 0),
B A O x C y D P z

???? 7 分

???? 15 分

D(-,0, 0).

由 PA⊥平面 ABCD,得 PA∥z 轴,故设点 P(0,-,t) (t>0).设 m=(x,y,z)为平面 PDC 的法向量, (第 20 题图) 由=(-,-,0),=(-, ,-t) 知

取 y=1,得 m=(-2,1, ). Z 数学(理科)试题第 7 页 (共 9 页)

又平面 PAC 的法向量为 n=(1,0,0),于是 |cos< m,n>|===. 解得 t=,即 AP=. 时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 由|PE|+|PF|=4>|EF|及椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 E,F 为焦点,4 为长轴长的椭圆. 设 P(x,y),则点 P 的轨迹方程为 +y2=1. ???? 6 分 ???? 15 分

21.本题主要考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同

(Ⅱ) 设圆 P 与圆 F 的另一个公共点为 T,并设 P(x0,y0),Q(x1,y1),T(x2,y2),则由题意知,圆 P 的方 程为 (x-x0)2+(y-y0)2=x02+y02. 又 Q 为圆 P 与圆 F 的一个公共点,故

所以 (x0-) x1+y0 y1-1=0. 同理 (x0-) x2+y0 y2-1=0. 因此直线 QT 的方程为 (x0-)x+y0y-1=0.
P y

Q 连接 PF 交 QT 于 H,则 PF⊥QT.设|QH|=d (d>0),则在直角△QHF

中 |FH|=. 又,故 |FH|=. 在直角△QHF 中 d=. 所以点 Q 到直线 PF 的距离为 1.

H T O F x

E

(第 21 题图)

???? 15 分

22.本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论 等综合解题能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 由题意得 f ′(x)=3ax2-6(m+a)x+12m=3(x-2)(ax-2m), 由于 f (x)在(0,3)上无极值点,故=2,所以 Z 数学(理科)试题第 8 页 (共 9 页)

m=a. (Ⅱ) 由于 f ′(x)=3(x-2)(ax-2m), 故 (i) 当≤0 或≥3,即 m≤0 或 m≥a 时, 取 x0=2 即满足题意. 此时 m≤0 或 m≥a. (ii) 当 0<<2,即 0<m<a 时,列表如下: x f ′(x) f (x) 1 0 (0,) + 单调递增 0 极大值 (,2) - 单调递减 2 0 极小值 (2,3) + 单调递增 3

???? 5 分

故 f(2) 或 f () 即 即

9m+1

≤f(0) ≥f(3),

-4a+12m+1≤1 或 +1≥9m+1, 3m≤a 或 ≥0, 即 m≤或 m≤0 或 m=. 此时 0<m≤. (iii) 当 2<<3,即 a<m<时,列表如下: x f ′(x) f(x) 1 0 (0,2) + 单调递增 2 0 极大值 (2,) - 单调递减 0 极小值 (,3) + 单调递增 9m+1 f(0) ≥f(3), 3

故 f()≤ 或 f(2) 即 即

+1≤1 或 -4a+12m+1≥9m+1, ≤0 或 即 m=0 或 m≥3a 或 m≥. 此时≤m<. 综上所述, 实数 m 的取值范围是 m≤ 或 m≥. ???? 14 分 3m≥4a,

Z 数学(理科)试题第 9 页 (共 9 页)



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