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2013年高考数学(理)真题分类解析汇编18.坐标系与参数方程



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2013 年高考数学(理)真题分类解析汇编 18:坐标系 与参数方程
一、选择题 1 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) (纯 WORD 版) 在极坐标系中,圆 p =2cos ? 试题 )

的 )

r />
















线







别 (



A. ? =0(? ? R)和?cos=2 C. ? = 【答案】B

B. ? =

?
2

(? ? R )和? cos=2

?
2

(? ? R)和? cos=1

D. ? =0(? ? R)和?cos=1

, 【天利解析】在极坐标系中,圆心坐标 ? ? 1 ? ? 0,半径 r ? 1.故左切线为 ? ?

?
2



3? 2

右切线满足cos? ?
所以选 B

2

?

? ? cos? ? 2.即切线方程为: ? ?

?
2

和? cos? ? 2.

二、填空题 2 (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 . (理) (含答案)已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos ? , 试题 )

? ?? 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , 则|CP| = ______. ? 3?

【答案】 2 3 【天利解析】 ? ? 4cos? 得 ? 2 ? 4? cos? , x 2 ? y 2 ? 4 x , 由 即 所以 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 圆心 C (2, 0) 。 点

P

? ? ?? 的 极 坐 标 为 ? 4, ? , 即 ? ? 4, ? ? , 所 以 x ? ? c o? s? 3 ? 3?

4 c?o s, 3

?

2

y ? ? sin ? ? 4sin

?
3

? 2 3, 即 P(2, 2 3) ,所以 CP ? 2 3 .

3 . (2013 年高考上海卷(理) 在极坐标系中,曲线 ? ? cos ? ? 1与 ? cos ? ? 1 的公共点到极点的距 )

离为__________ 【答案】

1? 5 . 2 1? 5 1? 5 ,又 ? ? 0 ,故所求为 . 2 2
1

【天利解析】联立方程组得 ? ( ? ? 1) ? 1 ? ? ?

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4 . (2013 年高考北京卷(理) 在极坐标系中,点(2, )

? )到直线 ρ sinθ =2 的距离等于_________. 6
,1) ,直线 ρsinθ=2 化为直 到直线 ρsinθ=2 的距离 1。

【答案】1 【天利解析】在极坐标系中,点 角坐标方程为 y=2, ( 化为直角坐标为(

,1) ,到 y=2 的距离 1,即为点

5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) 在直角坐标系 xOy 中,以原 )

点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线

?x ? t2 ? ( t 为参数)相交于 A, B 两点,则 AB ? ______ ? 3 ?y ? t ?
【答案】 16 【天利解析】本题考查极坐标方程,参数方程与普通方程的转化。极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线 的 普 通 方 程 为 x ? 4 。 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 为 y 2 ? x3 , 当 x ? 4 时 , 解 得 y ? ?8 , 即

A( 4 , 8 )B ( ? , ,所以 AB ? 8 ? (?8) ? 16 。 , 4 8)
6 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) (坐标系与参数方程选讲 )

? x ? 2 cos t ? ? ? C 的参数方程为 ? y ? 2 sin t ( t 为参数), C 在点 ?1,1? 处的切线为 l ,以坐标 选做题)已知曲线
原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为_____________.

【答案】

? sin ? ? ?
? ?

? ?

??
??

?? 2 4?

【天利解析】 ? sin ? ? ?

2 2 ? ? 2 ;曲线 C 的普通方程为 x ? y ? 2 ,其在点 ?1,1? 处的切线 l 的方 4?

程为 x ? y ? 2 ,对应的极坐标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ,即 ? sin ? ? ?

? ?

??

?? 2. 4?

7 . (2013 年高考陕西卷(理) C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角 ? 为 )

参数, 则圆 x2 ? y 2 ? x ? 0 的参数方程为______ .

2

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y P O θ

x

? x ? cos 2 ? 【答案】 ? ,? ? R ? y ? cos ? ? sin ?

1 1 1 【天利解析】 圆的方程 ? x ? ) 2 ? y 2 ? ( ) 2 ? 圆的半径 r ? ( 2 2 2

? OP ? cos? ? 2r ? cos? ? x ? OP ? cos? ? cos2 ? , y ? OP ? sin ? ? cos? ? sin ? 。
? x ? cos 2 ? 所以圆的参数方程为 ? ,? ? R ? y ? cos ? ? sin ?
8 . (2013 年高考江西卷(理) (坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数方程为 ? )

?x ? t ?y ? t
2

( t 为参

数),若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 c 的极坐标方程 为__________ 【答案】 ? cos2 ? ? sin ? ? 0 【天利解析】本题考查参数方程与极坐标方程的转化。曲线 C 的普通方程为 y ? x2 。将

? x ? ? cos? 代入 y ? x2 ,得 ? sin ? ? ? 2 cos2 ? ,即 ? cos 2? ? ? 0 。所以曲线 c 的极坐 sin ? ? y ? ? sin? ?
标方程为 ? cos2 ? ? sin ? ? 0 。
9 . (2013 年高考湖南卷(理) 在平面直角坐标系 xoy 中,若 )

? x ? t, ? x ? 3cos ? , l :? (t 为参数)过椭圆 C : ? ?y ? t ? a ? y ? 2sin ?

(?为参数)的 右顶点,则常数 a的值为 ________.
【答案】3 【天利解析】本题考查参数方程与普通方程的转化。直线的普通方程为 y ? x ? a 。椭圆的标准方程 为

x2 y 2 ? ? 1 ,右顶点为 (3, 0) ,所以点 (3, 0) 在直线 y ? x ? a 上,代入解得 a ? 3 。 9 4

3

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10 .( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 )) 在 直 角 坐 标 系

xOy 中 , 椭 圆 C 的 参 数 方 程 为

? x ? a cos ? ?? 为参数,a ? b ? 0 ? .在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以 ? ? y ? b sin ?
原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为

? sin ? ? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数 ? 与 ? ? b .若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切, ?? 4? 2

则椭圆 C 的离心率为___________. 【答案】

6 3

x2 y 2 【天利解析】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化。椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 。 a b


? 2 2 2 ? sin(? ? ) ? m得 ( ? sin ? ? ? cos ? ) ? m ,即直线方程为 x? y?m ? 0 。由
4 2 2 2

? ? b ,得 ? 2 ? b2 ,即 x2 ? y2 ? b2 ,所以圆的标准方程为 x2 ? y 2 ? b2 。因为直线 x ? y ? m ? 0
过 椭 圆 的 焦 点 , 代 入 得 m ? ? c 。 直 线 x ? y ? m ? 0 与 圆 x2 ? y 2 ? b 2 相 切 , 则

m 2

? b ,即

m ? 2b 。所以 c ? 2b ,解得 a ? 3b ,所以离心率 e ?
三、解答题

c 2b 6 。 ? ? a 3 3b

11. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 选修 4—4;坐标系 )

与参数方程 已 知 动 点 P, Q 都 在 曲 线 C : ?

? x ? 2cos ? (? 为 参 数 ) 上 , 对 应 参 数 分 别 为 ? ? ? 与 ? y ? 2sin ?

? ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点.
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

4

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12. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 选修 4-4:坐标系与参数方程 )

在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程 分别为 ? ? 4sin ? , ? ? cos ? ? ? (I)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (II)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为

? ?

??

? ? 2 2. . 4?

?x ? t3 ? a ? ? t ? R为参数? ,求 a, b 的值. ? b y ? t3 ?1 ? ? 2

5

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13. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 坐标系与参数方程:在平 )

面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点 A 的极坐标为

( 2, ) ,直线的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线上. 4 4 (1)求 a 的值及直线的直角坐标方程;
(2)圆 c 的参数方程为 ?

?

?

? x ? 1 ? cos ? ,( ? 为参数),试判断直线与圆的位置关系. ? y ? sin ?

【天利解析】(Ⅰ)由点 A( 2,

?

) 在直线 ? cos(? ? ) ? a 上,可得 a ? 2 4 4

?

所以直线的方程可化为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 从而直线的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

所以圆心为 (1, 0) ,半径 r ? 1

以为圆心到直线的距离 d ?

2 ? 1 ,所以直线与圆相交 2

14. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) C.[选 )

修 4-4:坐标系与参数方程]本小题满分 10 分. 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 1 ( t 为参数),曲线 C 的参数方程为 ? y ? 2t

? x ? 2 tan 2 ? ( ? 为参数),试求直线 l 与曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标. ? ? y ? 2 tan ?
C 解:∵直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 1 ∴消去参数 t 后得直线的普通方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ① ? y ? 2t


同理得曲线 C 的普通方程为 y 2 ? 2 x

①②联立方程组解得它们公共点的坐标为 ( 2,2) , ( ,?1)
15. (2013 年高考新课标 1(理) 选修 4—4:坐标系与参数方程 )

1 2

已知曲线 C1 的参数方程为

? x ? 4 ? 5cos t ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极 ? ? y ? 5 ? 5sin t
坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).
6

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【天利解析】将 ?

? x ? 4 ? 5cos t 2 2 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25 , ? y ? 5 ? 5sin t ? x ? ? cos ? 2 2 代入 x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 得, ? y ? ? sin ?

即 C1 : x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ,将 ?
2 2

? 2 ? 8? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 ,
∴ C1 的极坐标方程为 ? ? 8 ? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 ;
2

(Ⅱ) C2 的普通方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,
2 2

由?

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ?x ? 1 ?x ? 0 ? 解得 ? 或? ,∴ C1 与 C2 的 交 点 的 极 坐 标 分 别 为 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0 ?y ?1 ?y ? 2 ?

( 2,

?
4

), (2,

?
2

).

7



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