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理论题– T2
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膨胀的宇宙

(总分:20 分)

宇宙膨胀是现代宇宙学中最重要的观测事实。在宇宙膨胀过程中,随着时间推移, 空间不断膨胀。于是,宇宙中物体之间的距离也随之膨胀。为了方便地计算宇宙膨 胀造成的影响,我们引入“共动”坐标系 = (, , ),用以标记膨胀宇宙中的空间 位置。

在宇宙膨胀过程中,共动坐标系下两物体间坐标的共动距离 Δ = 2 ? 1 = (2 ? 1 )2 + (2 ? 1 )2 + (2 ? 1 )2 是恒定不变化的(这里我们假设没有本征运 动,也就是说,我们这里考虑的物体只随着宇宙的膨胀而运动,而自己没有额外的 运动)。下面示意图中描述了宇宙膨胀(注意,这张示意图只含有二维空间,但是 我们的真实宇宙有三维空间。)。 空间膨胀

现代宇宙学的理论是建立在爱因斯坦的广义相对论的基础上的。但是,如果做一些 适当假设,我们也可以简单的用牛顿的万有引力理论框架来理解宇宙学。下面的问 题中,我们将只在牛顿的万有引力理论框架下理解宇宙。 为了描述“物理距离”,我们引入“尺度因子”()。两个共动坐标点1 和2 之间的 物理距离为 Δp = Δ 因为宇宙的膨胀, ()是随时间增加的增函数。 在大尺度情况 ---远大于星系团的尺度下,宇宙可以近似看成是均匀和各向同性的。 所以,我们考虑宇宙的一个玩具模型:宇宙中布满了均匀分布的粒子。粒子如此之 多,以致于我们可以用连续的流体来描述这些粒子。我们假设粒子数是守恒的。 目前,我们的宇宙主要是非相对论物质为主的。对非相对论物质而言,相比于质量 能量,动能是可以忽略的。我们用m ()代表时刻非相对论物质的物理能量密度,即

理论题– T2
页码 2 of 2 在单位物理体积内的能量(也就是说,“物理能量密度”只由非相对论质量能量决 定,不包括引力势能等)。我们把当前时刻记作0 A 推导时刻非相对论的物质的物理能量密度m ,用 ,(0 )和m 0 表示。 2分

除了非相对论物质以外,我们现在的宇宙中还有一小部分“辐射”成分。这些“辐 射”成分是由无质量粒子(例如光子)组成的。无质量粒子的物理波长会随着宇宙 的膨胀被拉长为p ∝ ()。我们用r ()代表“辐射”成分的物理能量密度。
B

推导在时刻的“辐射”成分的物理能量密度r (),用 ,(0 )和r 0 表示。

2分

考虑处于热平衡下的无相互作用的光子气体。光子气体的温度随时间的变化可以写 作 ∝ [ ] .
C

计算的值。

2分

考虑一种无相互作用的粒子 的热力学。假设宇宙膨胀足够慢且绝热,因而 的熵不 随时间变化。我们把 的物理能量密度记为X (包括质量能量和内能),把 的物 理压强记为X ()。
D

推导dX ()/d,用(), d()/d,X ()和X ()表示。

4分

考虑一颗星体 S。在当前时刻0 ,这颗星和我们之间的物理距离为 = (0 ),其中 是共动距离。这里我们忽略本动运动,也就是说,我们以及这颗星都只服从宇宙膨 胀,而没有额外运动。 设这颗星以光功率 e 均匀地向所有方向释放能量。我们利用望远镜观测它的星光。为 简单起见,我们假设望远镜可以以 100%的效率接收所有波段的光。设望远镜镜片的 面积为 A。
E

推导望远镜从星体 S接收到的功率 r ,用 , , e ,星光发出时刻的尺度因子 (e ),和 目前(即星光被望远镜接受时刻)的尺度因子(0 )表示。

4分

假如没有引力,宇宙膨胀的速度会是一个常数。在牛顿力学的框架下,可以理解 为,没有引力的情况下,物质以恒定速度相互远离,所以 d ()/d 是一个只依赖于 初始条件的常数。

理论题– T2
页码 3 of 3 现在考虑牛顿引力对尺度因子 ()的影响。假设宇宙充满了均匀、各向同性的非相 对论物质。

如上图所示,假设 点是宇宙的中心(这个假设在爱因斯坦的广义相对论中是不必 要的,不过这超出了本题的考察范围)。我们把宇宙中的物质分布想象为以 C 为中 心的一系列薄球壳。让我们考虑其中的一个半径为 的薄球壳,如上图所示(注意, 此处共动距离 ,不随时间变化)。

F

利用球壳的运动推导d ()/d , ()和质量能量密度()之间的关系。(这个关系中 可以含有一个依赖于初始条件的常数。)

5分

G

(a) 基于问题 F 中描述的模型,宇宙是 (a) 加速膨胀的,还是 (b) 减速膨胀的? 选择 (a)或者 (b).

1分

事实上,在 1998 年,科学家发现,宇宙中充斥着一种新的能量形式。这种新的能量形式使得我们真 实的宇宙膨胀加速度与问题 G 中的结论不同。



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