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荆门市高一年级下学期期末考试数学试题附答案


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荆门市下学期期末考试 荆门市下学期期末考试









本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间:120 分钟;试卷满分:150 分。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 选择题,
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 小题, 每小题给出的四个选项中,
项是符合题目要求的,将答案写在第Ⅱ卷卷首答题栏内。 项是符合题目要求的,将答案写在第Ⅱ卷卷首答题栏内。) 1. sin α > 0 ,则 α 是 A.第一象限角 C. 2kπ < α < 2kπ + π , k ∈ Z B. 第二象限角 D. 第一或第二象限角

2.已知 a = (1, 2), b = ( ?3, 2), 并且 (k a + b) ⊥ ( a ? 3b) ,则 k 的值为 A.

11 19

B. ?2

C. ?

1 3

D.19

3.在 ?ABC 中,已知 sinC=2sin(B+C)cosB,那么 ?ABC 一定是 A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形

4. {an } 是公差为正数的等差数列,若 a1 + a2 + a3 = 15 ,a1 ? a2 ? a3 = 80 , a11 + a12 + a13 = 设 则 A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 Ⅱ Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界) ,设 OP = mOP1 + nOP 2 ,且点 P 落在 第Ⅲ部分,则实数 m、n 满足 A.m>0, n>0 C.m<0, n>0 B.m<0, n<0 D.m>0, n<0 P1 Ⅲ O Ⅳ P2

5.如图,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分 Ⅰ

6.若将函数 f ( x) = sin x + cos x 的图像按向量 a = ( m, 0) ( m > 0) 平移后,所得图像恰好为函 数 f ( x) = sin x ? cos x 的图像,则 m 的值可以为 A.

π
2

B.

π
4

C.

π

D.

3π 4

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7. 已 知 函 数 f ( x ) = 4 cos(

π
2

x+

π
5

) , 如 果 存 在 实 数 x1 、 x2 , 使 得 对 任 意 的 实 数 x 都 有

f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x 2 ) 成立,则 x1 ? x 2 的最小值是
A.6 8. 已知 cos α = A. B.4 C.2 D.1

π
6

π 1 13 , cos(α ? β) = , 且0 < β < α < ,则 β 的值为 2 7 14
B.

π

4

C.

π

3

D.

5π 12

9.有下述四个命题: ①“ a ≠ 1 或 b ≠ 2 ”是“ a + b ≠ 3 ”的既不是充分条件也不是必要条件; ②“ a > b ”是“ ac > bc ”的必要不充分条件;
2 2

③“四边形的对角线相等”是“四边形是平行四边形”的充分不必要条件; ④“ a ≤ 1 ”是“ ax + 2 x + 1 = 0 至少有一个负的实根”的充要条件。
2

其中真命题的序号为: A.②④ 10. {a n } 为等差数列,若 n= A.11 B.19 C.20 D.21 B.③④ C.②③ D.①②

a11 < ?1 ,且它的前 n 项和 Sn 有最小值,那么当 Sn 取得最小正值时, a10

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2007 2008 学年度下学期期末考试 荆门市 2007-2008 学年度下学期期末考试










非选择题, 第 Ⅱ 卷 (非选择题,共 100 分) 非选择题
题 号 得 分 一 二 总 分

16

17

18

19

20

21

一、 选择题答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

小题, 将答案填在题中横线上。 二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。将答案填在题中横线上。 填空题: ( )

1 1 11.已知全集 U = { ,2,3,4,5},A = { ,3} ,B = {2,3,4} ,那么 A ∪ (? B ) = U
12. 函数 y = log 2 ( x + 1) + 1 ( x > 0) 的反函数是 13. 已知向量 a = (1, 2) ,b = ( ?2, ?4) ,| c |=

; ;

5 ,若 (a + b) ? c =

5 ,则 a 与 c 的夹角为 2



14 .设 f ( x ) 是 定义在 R 上的 奇函 数,在 (?∞, 0) 上 函数 g ( x ) = x ? f ( x ) 为 减 函数,且

f (?1) = 0 ,则不等式 g ( x) < 0 的解集为



15. 已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ≤ AB ? AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 θ .则 θ 的取 值范围为_____ _________;函数 f (θ ) = 2sin (
2

π + θ ) ? 3 cos 2θ 的最小值为___ _____。 4

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题: ( ) 16. (本小题满分 12 分) 记关于 x 的不等式

(1)若 a = 3 ,求 P ;

x?a < 0 的解集为 P ,不等式 x ? 1 ≤ 1 的解集为 Q . x +1

(2)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

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17. (本大题满分 12 分) 如图, AB = (6,1), BC = ( x, y ), CD = ( ?2, ?3). (1) 若 BC ∥ DA ,求 x 与 y 之间的关系式。 (2) 若又有 AC ⊥ BD ,求 x、y 的值及四边形 ABCD 的面积。

18.(本大题满分 12 分) 如图,要测量河对岸 A、B 两点间的距离,今沿河岸选取相距 40 米的 C、D 两点,测得 ∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,求 A、B 两点间的距离。

19. (本大题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a1 = 1, an +1 = 2 Sn + 1( n ≥ 1) (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3 = 15 ,又 a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 成等比 数列,求 Tn

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20. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) = sin( 2 x + ? ) ( ?π < ? < 0), y = f ( x ) 图像的一条对称轴是直线 x = (1)求 ? 的值; (2)求函数 y = f (x ) 的单调递增区间; (3)画出函数 y = f (x ) 在区间 [0, π ] 上的图像。

π
8



21.(本大题满分 14 分) 已 知 向 量 a = (cos ω x,

3 cos ω x), b = (sin ω x, cos ω x) ( 其 中 0 < ω ≤ 1 ), 记

f ( x) = a ? b ?

3 ,且满足 f ( x + π ) = f ( x ) 。 2

(1)求函数 y = f ( x) 的解析式; (2)当 x ∈ [ ?

, ] ,求函数 y = f ( x) 的值域; 12 12

π 5π

(3)如果关于 x 的方程 3 ? [ f ( x)]2 + m ? f ( x) ? 1 = 0 在 [ ? 求实数 m 的取值范围。

, ] 上有三个不相等的实数根, 12 12

π 5π

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2007 2008 学年度下学期期末高一数学参考答案 期末高一数学参考 荆门市 2007-2008 学年度下学期期末高一数学参考答案
命题人: 命题人:市实验高中 审 校:市 教 研 室 李学功 方延伟 7 C 8 C 9 A 10 C

选择题答案: 一、 选择题答案
1 C 部分题提示: 4.解: a1 + a2 + a3 = 15 ? 3a2 = 15 ? a2 = 5 , a1a2 a3 = 80 ? ( a2 ? d ) a2 ( a2 + d ) = 80 , 将 a2 = 5 代入,得 d = 3 ,从而 a11 + a12 + a13 = 3a12 = 3 ( a2 + 10d ) = 3 × ( 5 + 30 ) = 105 .选 B. 10.解:因为 2 D 3 B 4 B 5 D 6 A

a11 < ?1 ,且它的前 n 项和 Sn 有最小值,所以 a1 < 0, a2 < 0, ???, a10 < 0, a11 > 0, ???; a10

∴ a11 + a10 > 0 ,∴ S 20 = 10(a11 + a10 ) > 0, S19 = 19a10 < 0 ;∴ 选 C 二、填空题: 填空题:

1 11. { ,3,5}
14. (?1, 0) ∪ (0, 1)

12. y = 2 x ?1 ? 1 ( x > 1) 15.

13. 120

π π θ ∈[ , ] ; 2
4 2

三、解答题: 解答题:
16. 解: (1)由

(2) Q = x x ? 1 ≤ 1 = x 0 ≤ x ≤ 2 . 由 a > 0 ,得 P = x ?1 < x < a , 又 Q ? P ,所以 a > 2 , 即 a 的取值范围是 (2, ∞ ) . +

{

x?3 < 0 ,得 P = { x ?1 < x < 3} . x +1

………………4 分 ………………8 分 ………………10 分

} {

}

{

}

………………12 分

17.解: (1)∵ AD = AB + BC + CD = x +4,y -2), DA = ? AD = ( ? x ? 4, 2 ? y ), ( 又 BC ∥ DA 且 BC = ( x, y ), ∴x ? (2 ? y ) ? y ? ( ? x ? 4) = 0 , 即 x + 2 y = 0 (*) 又 …………………4 分 (2)由于 AC = AB + BC = ( x + 6, y + 1), BD = BC + CD = ( x ? 2, y ? 3).

AC ⊥ BD,∴ AC ? BD = 0, ∴ ( x + 6) ? ( x ? 2) + ( y + 1) ? ( y ? 3) = 0 ,
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联合 (*) 式化简整理得: y 2 ? 2 y ? 3 = 0, ∴ y = 3或y = ?1 故当 y = 3 时, x = ?6 ,此时 AC = (0, 4), BD = ( ?8, 0) ∴ S ABCD = 故当 y = ?1 时, x = 2 ,此时 AC = (8, 0), BD = (0, ?4) ∴ S ABCD
0 0

………………8 分

1 ? AC ? BD = 16; 2 1 = ? AC ? BD = 16; 2
………………12 分
0
0

18. 解:在 ?CDB 中 ∵ ∠BCD = 45 , ∠CDA = 30 , ∠ADB = 60 , 则 ∠CBD = 45 由正弦定理得:

CD CB = ? CB = 40 2 …………4 分 0 sin 45 sin 900 0 同理,在 ?ACD 中,可得 ∠CAD = 45 , AC CD = ? AC = 20 2 由正弦定理得: ………………8 分 0 sin 30 sin 450 2 2 2 0 在 ?ACB 中,有余弦定理得: AB = AC + BC ? 2 AC ? BC ? cos 60 …………10 分 1 = 800 + 3200 ? 2 ? 20 2 ? 40 2 ? = 4000 ? 1600 = 2400 2 ∴ AB = 20 6
即 A、B 两点间的距离为 20 6 。 ……………12 分

19.解: (1)由 an +1 = 2Sn + 1 可得 an = 2Sn ?1 + 1( n ≥ 2 ) , 两式相减得 an +1 ? an = 2an , an +1 = 3an ( n ≥ 2 ) 又 a2 = 2S1 + 1 = 3 ∴ a2 = 3a1 故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列 ∴ an = 3n ?1 . …………6 分 …………2 分 …………4 分

(2)设{bn}的公差为 d,由 T3 = 15 得,可得 b1 + b2 + b3 = 15 ,可得 b2 = 5 , 故可设 b1 = 5 ? d , b3 = 5 + d 又 a1 = 1, a2 = 3, a3 = 9 由题意可得 ( 5 ? d + 1)( 5 + d + 9 ) = ( 5 + 3) 解得 d1 = 2, d 2 = ?10 ∵等差数列{bn}的各项为正,∴ d > 0 ,∴ d = 2 ∴ Tn = 3n +
n ( n ? 1) 2 × 2 = n 2 + 2n
2

…………8 分 …………10 分

…………12 分

20. 解: (1)∵ x =

π

8 π π ∴ + π = kπ + , k ∈ Z . 4 2

是函数y = f ( x ) 的图像的对称轴,∴ sin(2 ×
∵ ?π < ? < 0, ? = ? 3π . 4

π
8

+ ? ) = ±1,
……………4 分

另解:∵ x = 令x=

π

π
8

是函数y = f ( x ) 的图像的对称轴 ∴ f ( + x ) = f ( ? x) 8 8 8

π

π

,则 f ( ) = f (0) ,即 sin(? +

π

π

4

2

) = sin ?

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∴? +

π
2

= 2kπ + π ? ? , k ∈ Z ,∴? = kπ +
3π . 4 3π
4

π
4

,k ∈Z
……………4 分

∵ ?π < ? < 0, ? = ?

(2)由(1)知 ? = ? 由题意得

,因此y = sin( 2 x ?

3π ). 4

2kπ ?

π
2

≤ 2x ?

3π π ≤ 2kπ + , k ∈ Z . 4 2
…………8 分

所以函数 y = sin( 2 x ? 3π )的单调增区间为[kπ + π , kπ + 5π ], k ∈ Z . 4 8 8 (3)由 y = sin( 2 x ? 3π )知 4 x
0

π
8
-1

3π 8
0

5π 8
1

7π 8
0

π
? 2 2

y

?

2 2

故函数 y = f ( x)在区间 0, π ]上图像是 [

………………13 分 21.解:(1) f ( x ) = sin ω x cos ω x + 3 cos
2

ωx ?

3 2

1 3 π = sin 2ω x + cos 2ω x = sin(2ω x + ) …………2 分 2 2 3 由 f ( x + π ) = f ( x ) ,得 π 是函数 f ( x ) 的一个周期,……………3 分 2π 所以, f ( x ) 的最小正周期 T = ≤ π ,解得 ω ≥ 1 2ω 又由已知 0 < ω ≤ 1 ,得 ω = 1
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因此, f ( x ) = sin(2 x + (2) 由 ?

π
3

)

………………………4 分 …………………6 分

π
12

≤x≤

5π π π 7π ,得 ≤ 2 x + ≤ 12 6 3 6

如图,

可得

?

1 π ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 2 3
1 ,1] . 2
…………………………8 分

因此函数 y = f ( x) 的值域为 [ ? (3)设 t = f ( x ) = sin(2 x +

π
3

),

, ] 上有三个不相等的实数 12 12 1 1 1 2 根,当且仅当关于 t 的方程 3t + mt ? 1 = 0 在 [ ,1) 和 [ ? , ) 上分别有一个实数 2 2 2 1 根,或有一个实数根为 1,另一实数根在区间 [ ,1) 上.…………………10 分 2
令 g (t ) = 3t 2 + mt ? 1 ① 当关于 t 的方程 3t + mt ? 1 = 0 在 ( ,1) 和 [ ? , ) 上分别有一个实数根时,
2

要使关于 x 的方程 3 ? [ f ( x)]2 + mf ( x) ? 1 = 0 在 [ ?

π 5π

1 2

1 1 2 2

1 ? ? g (? 2 ) ≥ 0 ? ? 1 ?g( ) < 0 ? 2 ? g (1) > 0 ? ?
2

解得 ?2 < m ≤ ?

1 2

…………………12 分

② 当方程 3t + mt ? 1 = 0 的一个根是 不满足条件;

1 1 2 1 1 时, m = ,另一个根为 ? ? [ ? , ) , 2 2 3 2 2

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③ 当方程 3t + mt ? 1 = 0 的一个根是 1 时, m = ?2 ,另一个根为 ? ? [ , 1) ,不
2

1 3

1 2

满足条件; 因此,满足条件的实数 m 的取值范围是 ?2 < m ≤ ?

1 2

………………14 分

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