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(备课精选)2015年高中数学 第三章 导数及其应用单元检测(A)(含解析)苏教版选修1-1



第3章

导数及其应用(A)

(时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1 2 2 1.物体自由落体运动方程为 s(t)= gt ,g=9.8 m/s ,若当 Δ t 无限趋近于 0 时, 2 s?1+Δ t?-s?1? 无限趋近于 9.8 m/s, 那么下面说法正确的是_

_______. (填序号) Δt ①9.8 m/s 是 0~1 s 这段时间内的平均速度; ②9.8 m/s 是从 1 s 到(1+Δ t) s 这段时间内的速度; ③9.8 m/s 是物体在 t=1 这一时刻的速度; ④9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1+Δ t) s 这段时间内的平均速度. 2 2 2.曲线 y=x+ln x 在点(e ,e +2)处的切线在 y 轴上的截距为________. 3.若 f(x0)存在且 f ′(x0)=0, 下列结论中正确 的是________.(填序号) ①f(x0)一定是极值点; ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ③如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值; ④如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值. 4.下列有关导数的说法正确的是________.(填序号) ①f′(x0)就是曲线 f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率; ②f′(x0)与(f(x0))′意义是一样的; ③设 s=s (t)是位移函数,则 s′(t0)表示物体在 t=t0 时刻的瞬时速度; ④设 v=v(t)是速度函数,则 v′(t0)表示物体在 t=t0 时刻的加速度.

5.如图为 y=f(x)的导函数的图象,则下列判断正确的是______.(填序号) ①f(x)在(-3,1)内是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在(2,4)内是减函数,在(-1,2)内是增函数; ④x=1 是 f(x)的极大值点. 3 2 6.某汽车启动阶段的路程函数为 s(t)=2t -5t +2,则 t=2 时,汽车的加速度是 ________. 1 3 2 7.设函数 f(x)= ax -x (a>0)在(0,2)上不单调,则 a 的取值范围是________. 3 4 8.函数 f(x)=4x-x 在[-1,2]上的最大、最小值分别为__________. 9.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最 有可能是下图中的________.

1

10.一批物资用 13 辆汽车从 A 地运到 300 km 以外的 B 地,若车速为 v km/h,则两车 的距离不能小于? ? km 时,这批物资全部从 A 地运到 B 地至少要花________h. ?10? π 11.函数 y=x+cos x 在区间[0, ]上的最大值是________. 2 3 12.已知函数 f(x)=-x +ax 在区间(-1,1)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 1 3 13.f′(x)是 f(x)= x +2x+1 的导函数,则 f′(-1)的值是________. 3 3 14.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x -10x+3 上,且在第二象限内, 已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2, 则点 P 的坐标为____________________________. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 3 15.(14 分)求过点(1,-1)的曲线 y=x -2x 的切线方程.

? v ?2

2

16.(14 分)某物流公司购买了一块长 AM=30 米,宽 AN=20 米的矩形地块 AMPN,规划 建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点 C 在地块对角 线 MN 上,B、D 分别在边 AM、AN 上,假设 AB 长度为 x 米.若规划建设的仓库是高度与 AB 的长相同的长方体建筑,问 AB 长为多少时仓库的库容最大?(墙体及楼板所占空间 忽略不计)

17.(14 分)已知直线 l1 为曲线 y=f(x)=x +x-2 在点(1,0)处的切线, l2 为该曲线的另 外一条切线,且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1、l2 及 x 轴所围成的三角形的面积.

2

3

18.(16 分)要设计一容积为 V 的有盖圆柱形储油罐,已知侧面的单位面积造价是底面 造价的一半,盖的单位面积造价又是侧面造价的一半.问储油罐的半径 r 和高 h 之比 为何值时造价最省?

4 3 19.(16 分)若函数 f(x)=ax -bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数的解析式; (2)若方程 f(x)=k 有 3 个不同的根,求实数 k 的取值范围.

4

3 2 3 20.(16 分)已知函数 f(x)=ax - x +1(x∈R),其中 a>0. 2 (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 1 (2)若在区间[- , ]上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. 2 2

第3章 1.③ 2.1

导数及其应用(A)

1 1 2 2 解析 因为 y′=1+ ,所以曲线在点(e ,e +2)处的切线的斜率为 k=1+ 2, x e ? 1? 2 2 切线方程为 y-e -2=?1+ 2?(x-e ). ? e? ? 1? 即 y=?1+ 2?x+1, 令 x=0,得 y=1. ? e? 3.② 解析 由题意 x0 附近的左侧 f′(x)>0,即 x0 附近的左侧函数单调递增,同理 x0 附近右 侧函数单调递减,故 f(x0)为极大值. 4.①③④ 解析 因 f′(x0)表示在 x=x0 处的导数, 而[f(x0)]′表示对函数值 f(x0)求导. 因 f(x0)为常数,所以[f(x0)]′=0. 5.②③ 解析 ①错,因在(-3,-1)上 f′(x)<0, 在(-1,1)上 f′(x)>0, 故 f(x)在(-3,-1)内是减函数,在(-1,1)内是增函数; ②正确,因 f′(x)在(-3,-1)上为负, f′(-1)=0,f′(x)在(-1,2)上为正; ③正确,因在(2,4)内 f′(x)<0,故 f(x)在(2,4)内是减函数; 在(-1,2)内 f′(x)>0,故 f(x)在(-1,2)内为增函数, ④错,在(-1,1)内 f′(x)>0,在(1,2)内 f′(x)>0, 且 f′(1)≠0,故 x=1 不是极值点. 6.14 2 解析 v(t)=s′(t)=6t -10t,a(t)=v′(t)=12t-10. ∴当 t=2 时,a(2)=24-10=14. 7.(1,+∞) 8.3,-8 3 解析 f′(x)=4-4x ,由 f′(x)=0 得 x=1,易知 x=1 为极值点,又 f(1)=3,f(- 1)=-5,f(2)=-8. 所以 f(x)在[-1,2]上的最大值为 3,最小值为-8. 9.③ 解析 由已知图象可知,当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在(-∞,0)
5

上递增;当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,所以函数 f(x)在(0,2)上递减;当 x∈(2,+∞) 时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在(2,+∞)上递增.注意观察导函数 f′(x)的图象的特 点,根据图象划分好区 间. 10.12 解析 最后一辆汽车从 A 地到 B 地所 用的时间为 300+12×? ? ?10? 300 3v t= = + ,v∈(0,+∞), v v 25 300 3 -300 3 则 t′=- 2 + .令 t′=0,得 2 + =0, v 25 v 25 ∴v=50. 300 3v 又∵函数 t= + 在(0,+∞)内只有一个极值点 v=50,且这是极小值点. v 25 ∴当 v=50 时,所花费的时间最短为 12 h. π 11. 2 解析 y′=1-sin x,令 y′=0,得 sin x=1, π ∴x= ,又因 f(0)=0+cos 0=1, 2 π π π π f( )= +cos = , 2 2 2 2 π π 所以 y=x+cos x 在[0, ]上的最大值为 . 2 2 12.a≥3 2 2 解析 由题意应有 f′(x)=-3x +a≥0, 在区间(-1, 1)上恒成立, 则 a≥3x , x∈(- 1,1)恒成立,故 a≥3. 13.3 2 解析 ∵f′(x)=x +2,∴f′(-1)=3. 14.(-2,15) 2 解析 设 P(x0,y0)(x0<0),由题意知:曲线 C 在点 P 处的切线斜率 k=3x0-10=2,∴ x2 0=4. 又∵P 点在第二象限内,∴x0=-2,∴y0=15. ∴P 点的坐标为(-2,15). 15.解 设 P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为 f′(x0)=3x2 0-2. 2 故切线方程为 y-y0=(3x0-2)(x-x0), 3 2 即 y-(x0-2x0)=(3x0-2)(x-x0), 又知切线过点(1,-1),代入上述方程, 3 2 得-1-(x0-2x0)=(3x0-2)(1-x0), 1 解得 x0=1 或 x0=- , 2 故所求的切线方程为 y+1=x-1 5 或 y+1=- (x-1). 4 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.

? v ?2

DC ND ,且 AM=30,AN=20. AM AN AB 2x 所以 ND= ·AN= , AM 3
16.解 因为 =

6

2x 得 AD=AN-ND=20- . 3 2x 仓库的库容 V(x)=(20- )·x·x 3 3 2x 2 =- +20x (0<x<30), 3 2 令 V′(x)=-2x +40x=-2x(x-20)=0, 得 x=20 或 x=0(舍去). 当 x∈(0,20)时,V′(x)>0; 当 x∈(20,30)时,V′(x)<0. 所以当 x=20 时,V(x)有极大值也是最大值. 即 AB 的长度为 20 米时仓库的库容最大. 17.解 (1)因为 f′(x)=2x+1,所以 f′(1)=3, 所以直线 l1 的方程为 y=3(x-1), 即 y=3x-3. 2 设直线 l2 过曲线上点 B(b,b +b-2), 因为 f′(b)=2b+1, 2 2 所以直线 l2 的方程为 y-(b +b-2)=(2b+1)(x-b),即 y=(2b+1)x-b -2. 2 又 l1⊥l2,所以 3(2b+1)=-1,所以 b=- , 3 1 22 所以直线 l2 的方程为 y=- x- . 3 9 即 3x+9y+22=0.

y=3x-3 ? ? (2)解方程组? 1 22 y=- x- ? 3 9 ?

1 ? ?x=6 ,可得? 5 ?y=-2 ?

.

? 22 ? 因为直线 l1、l2 与 x 轴的交点坐标分别为(1,0)、?- ,0?, ? 3 ? 所以所求三角形的面积为 1 ? 5? ? 22? 125 S= ×?- ?×?1+ ?= . 3 ? 12 2 ? 2? ?
18.解 由 V=π r h,得 h=
2

V
πr

2

.

设盖的单位面积造价为 a, 2 2 则储油罐的造价 M=aπ r +2a·2π rh+4a·π r 4aV 2 =5aπ r + ,

r

M′=10aπ r-

3 2V 4aV , 2 ,令 M′=0,解得 r= r 5π 3 2V 3 25V V 时,函数取得极小值,也是最小值,此时,h= . 2= 5π πr 4π

∴经验证,当 r= 3 2V 5π 3 25V 4π

∴当 =

r h

2 = 时,储油罐的造价最省. 5

7

19.解 f′(x)=3ax -b.

2

f′?2?=12a-b=0 ? ? (1)由题意得? 4 f?2?=8a-2b+4=- ? 3 ?
1 ? ?a= 解得? 3 ? ?b=4 ,



1 3 故所求函数的解析式为 f(x)= x -4x+4. 3 2 (2)由(1)可得 f′(x)=x -4=(x-2)(x+2), 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

28 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值 , 3 4 当 x=2 时,f(x)有极小值- , 3

1 3 所以函数 f(x)= x -4x+4 的图象大致如右图所示. 3 4 28 若 f(x)=k 有 3 个不同的根, 则直线 y=k 与函数 f(x)的图象有 3 个交点, 所以- <k< . 3 3 3 2 3 2 20.解 (1)当 a=1 时,f(x)=x - x +1,f(2)=3.f′(x)=3x -3x,f′(2)=6, 2 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-3=6(x-2), 即 y=6x-9. 2 (2)f′(x)=3ax -3x=3x(ax-1). 1 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x= .

a

以下分两种情况讨论: 1 1 ①若 0<a≤2,则 ≥ . a 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

8

1 1 当 x∈[- , ]时, 2 2 1 f?- ?>0, ? ? 2 f(x)>0 等价于? 1 f? ?>0, ? ? 2 5-a ? ? 8 >0, 即? 5+a ? ? 8 >0.

解不等式组得-5<a<5. 因此 0<a≤2. 1 1 ②若 a>2,则 0< < . a 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

1 1 当 x∈[- , ]时, 2 2 1 ? ?f?-2?>0, f(x)>0 等价于? 1 f? ?>0, ? ? a 解不等式组得 2 2 <a<5 或 a<- . 2 2 5-a ? ? 8 >0, 即? 1 1- >0. ? ? 2a
2

因此 2<a<5. 综合①②,可知 a 的取值范围为 0<a<5.

9



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