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2016年4月福建省普通高中毕业班质量检查文科数学



2016 年福建省普通高中毕业班质量检查

文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ 卷 4 至 6 页,满分 150 分. 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是 否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔 在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符 合题目要求的. (1) 已知复数 z ? (A) 1

3?i ,则 z ? 1? i
(B) 2 (C) 5 (D) 5
开始

(2) 集合 A ? y | y ? (A) ?2, ???

?

x ? 1 , B ? x x ? x ? 2≤0 ,则 A ? B ?
2

?

?

?

输入 

(B) ?0,1?

(C) ?1, 2?

(D) ? 0, 2?

否 为奇数?



?? 1 ? (3)已知 cos ? ? ? ? ? , 则 cos 2? 的值等于 2? 3 ?

8 8 (D) ? 9 9 (4) 执行如图所示的程序框图,如果输入的 n 的值为 4 ,则输出的 S
(A) (B) ? (C) 的值为 (A) 15 (B) 6 (C) ? 10 (D) ?21

7 9

7 9

否 是

输出 
结束

(5) 某公司为了增加其商品的销售利润, 调查了该商品投入的广告费用 x 与销售利润 y 的统 计数据如右表:

? ?a ? ? bx ? 由表中数据,得线性回归方程 l : y

广告费用 x (万元) 销售利润 y (万元)

2 5

3 7

5 9

6 11

?? (b

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )
i

? (x
i ?1

? ) ? ? y ? bx ,a ,则下列结论错误的是

? x)

2

??0 (A) b

??0 (B) a

(C)直线 l 过点 (4,8)

(D)直线 l 过点 (2,5)
文科数学试题 第 1 页 (共 16 页)

(6)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个几何体 的三视图,则这个几何体是 (A)三棱锥 (C)四棱锥 (7)在 △ ABC 中, B ? (A) 2 (8)函数 f ( x) ? ln (B)三棱柱 (D)四棱柱

? 3 3 , AB ? 2 , D 为 AB 中点,△ BCD 的面积为 ,则 AC 等于 4 3
(C) 10 (D) 19

(B) 7
x ? e x ? e? x ? 2

,则 f ( x) 是 (B)奇函数,且在 (0, ??) 上单调递增 (D)偶函数,且在 (0, ??) 上单调递增

(A)奇函数,且在 (0, ??) 上单调递减 (C)偶函数,且在 (0, ??) 上单调递减

(9) 在 空 间 直角 坐 标 系 O ? xyz 中 , A? 0, 0, 2 ? , B ? 0,2,0? , C ? 2,2,2? , 则 三 棱 锥

O ? ABC外接球的表面积为
(A) ?? (B) 4 3? (C) ??? (D) ???

? x ? y ? 2≥0, ? (10)若 x, y 满足约束条件 ? y ? 2≥0, 则 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 的最小值为 ? x ? y ? 2≥0, ?
(A) 1 (B)

9 2

(C) 5

(D) 9

(11)已知过双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的焦点的直线 l 与 C 交于 A, B 两点,且使 a 2 b2

AB ? 4a 的直线 l 恰好有 3 条,则双曲线 C 的渐近线方程为

(A) y ? ? 2x

(B) y ? ?

2 x 2

(C) y ? ?2 x

(D) y ? ?
2

1 x 2

(12) 已知函数 f ( x) ? kx ,g ( x) ? 2 ln x ? 2e ( ≤x≤e ) ,若 f ( x ) 与 g ( x) 的图象上

1 e

分别存在点 M , N ,使得 M , N 关于直线 y ? e 对称,则实数 k 的取值范围是
(A) ? ?

? 4 ? , ?? ? 2 ? e ?

(B) ? ? , ?

? 2 ? e

4? e2 ? ?

(C) ? ?

? 4 ? , 2e ? 2 ? e ?

(D) ? ? , 2e ?

? 2 ? e

? ?

文科数学试题

第 2 页 (共 16 页)

第Ⅱ卷
注意事项: 第Ⅱ卷共 3 页, 须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答. 若在试题卷上作答, 答案无效. 本卷包括必考题和选考题两部分。 第(13)题~第(21)题为必考题, 每个试题考生都必须做 答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题 ,每小题 5 分. (13) 已知函数 f ( x) ? ?
x?2 ? ?2 , x ? 0, 则 f ? f (?1)? ? 3 x , x ≥ 0. ? ?



(14) 已知向量 a , b 的夹角为

?? , a ? 1 , b ? 3 ,则 a + b ? 3



(15) 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点与抛物线 E : y 2 ? 4x 的焦点 F 重合,点 a 2 b2

P 是椭圆 C 和抛物线 E 的一个公共点, 点 Q ? 0,1? 满足 QF ? QP , 则 C 的离心率
为 . (16) 已知 A 是函数 f ( x) ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0,0 ? ? ? 2?) 图象上的一个最高点,B ,C 是

f ( x) 图象相邻的两个对称中心,且 ?ABC 的面积为

1 ,若存在常数 M ( M ? 0) ,使 2


得 f ( x ? M ) ? Mf (? x) ,则该函数的解析式是 f ( x) ? 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 2a2 ? 0 , S3 ? 7 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;
?n? (Ⅱ)求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an ?

文科数学试题

第 3 页 (共 16 页)

(18)(本小题满分 12 分) 随着移动互联网的发展, 与餐饮美食相关的手机 APP 软件层出不穷. 现从使用 A 和 B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取 50 个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计, 得到频率分布直方图如下. 频率 频率 组距 组距 (Ⅰ) 试估计使用 A 款订餐软件 0.056 的 50 个商家的 “平均送达 时间”的众数及平均数; 0.04 (Ⅱ)根据以上抽样调查数据, 0.034 将频率视为概率, 回答下列 问题: 0.02 (ⅰ)能否认为使用 B 款订 0.014 0.012 餐软件“平均送达时间”不 0.006 0.004 0.004 0.002 超过 40 分钟的商家达到 O 10 20 30 40 50 60 70 时间 ( O 10 20 30 40 50 60 分钟 ) 75%? (ⅱ)如果你要从 A 和 B 两 款订餐软件中选择一款订 餐,你会选择哪款?说明理由.
使用 A 款订餐软件的“平均送 达时间”的频率分布直方图 达时间”的频率分布直方图

70

时间 (分钟 )

使用 B 款订餐软件的 “平均送

(19)(本小题满分 12 分)
? 如图,多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为菱形,且 ?DAB ? 60 , EF ? AC ,

AD ? 2 , EA ? ED ? EF ? 3 .
E

F

(Ⅰ)求证: AD ? BE ; (Ⅱ)若 BE ? 5 ,求三棱锥 F ? BCD 的体积.
A

D C B

(20)(本小题满分 12 分) 已知点 A ? ?4,0? ,直线 l : x ? ?1 与 x 轴交于点 B ,点 M 到 A, B 两点的距离之比为 2 . (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 设 C 与 x 轴交于 E , F 两点,P 是直线 l 上一点, 且点 P 不在 C 上, 直线 PE, PF 分 别与 C 交于另一点 S , T ,证明: A, S , T 三点共线.

文科数学试题

第 4 页 (共 16 页)

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? xex ? a ln x ,曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线平行于 x 轴. (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)证明:当 b≤e 时, f ? x ?≥b x2 ? 2x ? 2 .

?

?

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 计分。做答时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△ ABC 的两条中线 AD 和 BE 相交于点 G ,且 D, C , E , G 四点共圆. (Ⅰ)求证: ?BAD ? ?ACG ; (Ⅱ)若 GC ? 1 ,求 AB .
E G A

B

D

C

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? , ( ? 为参数) ,在 ? y ? sin ?

以原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为

?sin ?? ? ? ? 4
?

? ?

??

. 2

(Ⅰ)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角; (Ⅱ)设点 P ? 0,2? , l 和 C 交于 A, B 两点,求 PA ? PB .

(24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 . (Ⅰ)求不等式 f ? x ? ? 2x ? 1 ?1 的解集 M ; (Ⅱ)设 a, b ? M ,证明: f ? ab? ? f ? a ? ? f ? ?b? .

2016 年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题答案及评分参考
文科数学试题 第 5 页 (共 16 页)

评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. (1)C (2)D (7)B (8)D (3)A (9)C (4)C (10)B (5)D (11)A (6)A (12)D

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分. (13) 8 (14) 7 (15) 2 ? 1 (16) ? sin ?x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查等比数列的通项公式、数列求和等基础知识,考查运算求解能力, 考查函数与方程思想、化归与转化思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q ,

?a q 2 ? 2a1q ? 0, ? 依题意,得 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 ? ?a1 ? a1q ? a1q ? 7,
? a ? 1, 解得 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? q ? 2,

所以 an ? 2n?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,
n n 2 3 n ? n ?1 ,所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ,① · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 an 2 2 2 2

1 1 2 n ?1 n 所以 Tn ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n ,② · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ①-②得, Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2 2 2 2
1 2n ? n ? 1 2n 1? 2 1?

?2?
所以 Tn ? 4 ?

n?2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2n

n?2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2n ?1

18.本小题主要考查频率分布直方图、平均数、众数、古典概率等基础知识,考查数据处理
文科数学试题 第 6 页 (共 16 页)

能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)依题意可得,使用 A 款订餐软件的 50 个商家的 “平均送达时间”的众数 为 55(分钟) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 使用 A 款订餐软件的 50 个商家的 “平均送达时间”的平均数:
15 ? 0.06 ? 25 ? 0.34 ? 35 ? 0.12 ? 45 ? 0.04 ? 55 ? 0.4 ? 65 ? 0.04 ? 40 (分钟) .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ) (ⅰ)使用 B 款订餐软件“平均送达时间”不超过 40 分钟的商家的比例估计值为 0.04+0.20+0.56=0.80=80%>75%. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 故可认为使用 B 款订餐软件“平均送达时间”不超过 40 分钟的商家达到 75%. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
(ⅱ)使用 B 款订餐软件的 50 个商家的 “平均送达时间”的平均数:

15 ? 0.04 ? 25 ? 0.2 ? 35 ? 0.56 ? 45 ? 0.14 ? 55 ? 0.04 ? 65 ? 0.02 ? 35 ? 40 ,

所以选 B 款订餐软件. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 注:本小题答案开放,只要能够按照统计知识合理作答,即给满分。如以下 回答也符合要求。 根据样本估计总体的思想可知,使用 A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”在 30 分钟内的概率为 0.4,使用 B 款订餐软件的商家的 “平均送达时间”在 30 分 钟内的概率为 0.24,所以可选 A 款订餐软件. 19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识, 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)如图,取 AD 中点 O ,连结 EO , BO . ∵ EA ? ED ,∴ EO ? AD .……………………1 分 ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴ AB ? AD , 又 ?DAB ? 60 ,∴△ ABD 为等边三角形,∴ BA ? BD ,
?

F E D O A B C

∴ BO ? AD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ∵ BO ? EO ? O , BO ? 平面BEO , EO ? 平面BEO ,∴ AD ? 平面BEO , · · · · · · 5分 ∵ BE ? 平面BEO ,∴ AD ? BE . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)在 △ EAD 中, EA ? ED ? 3 , AD ? 2 ,

文科数学试题

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∴ EO ?

AE2 ? AO2 ? 2 ,

∵ △ABD 为等边三角形,∴ AB ? BD ? AD ? 2 ,∴ BO ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 又 BE ? 5 ,∴ EO 2 ? OB 2 ? BE 2 ,∴ EO ? OB , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ∵ AD ? OB ? O , AD ? 平面ABCD , BO ? 平面ABCD , ∴ EO ? 平面 ABCD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 又 S△ABD ?

1 1 ? AD ? OB ? ? 2 ? 3 ? 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2

∴ S△BCD ? S△ABD ? 3 . 又∵ EF ∥ AC , ∴ VF ? BCD ? VE ? BCD · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

1 1 6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? S△BCD ? EO ? ? 3 ? 2 ? 3 3 3
解法二:(Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

F

(Ⅱ)在△ EAD 中, EA ? ED ? 3 , AD ? 2 , ∴ EO ?

E D O A B C

AE2 ? AO2 ? 2 ,

∵ △ABD 为等边三角形,

∴ AB ? BD ? AD ? 2 ,∴ BO ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 又 BE ? 5 ,∴ EO 2 ? OB 2 ? BE 2 ,∴ EO ? OB , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 所以 S△EOB ?

1 1 6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? EO ? OB ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2

又 S△BCD ? S△ABD , EF ∥ AC , AD ? 平面EOB , ∴ VF ?BCD ? VE ?BCD ? VE ? ABD · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

1 1 6 6 ? S△EOB ? AD ? ? ?2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 3 3 2 3
20. 本小题考查圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证 能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分 12 分.

MA = 解法一:(Ⅰ)设点 M ? x, y ? ,依题意, MB

? x ? 4? ? y2 2 ? x ? 1? ? y 2
2

? 2,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

文科数学试题

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化简得 x2 ? y 2 ? 4 ,即曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 , 令 y ? 0 得 x ? ?2 ,不妨设 E ? ?2,0? , F ? 2,0? . 设 P ? ?1, y0 ? , S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y2 ? , 则直线 PE 的方程为 y ? y0 ? x ? 2? , 由?
A E P T S y

B

O

F

x

? ? y ? y0 ? x ? 2 ? , 2 2 2 2 得 ? y0 ? 1? x ? 4 y0 x ? 4 y0 ? 4 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 2 ? ?x ? y ? 4
2 2 4y 4 y0 ?4 2 ? 2 y0 ,即 , y1 ? 2 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x ? 1 2 2 y0 ? 1 y0 ? 1 y0 ? 1

所以 ?2 x1 ?

直线 PF 的方程为 y ? ?

y0 ? x ? 2? , 3

y0 ? ? y ? ? ? x ? 2? , 2 2 2 2 由? 得 ? y0 ? 9 ? x ? 4 y0 x ? 4 y0 ? 36 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 ? x2 ? y 2 ? 4 ?
2 2 12 y 4 y0 ? 36 2 y0 ? 18 所以 2 x2 ? ,即 x2 ? , y2 ? 2 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 2 y0 ? 9 y0 ? 9 y0 ? 9

所以 k AS

4 y0 2 y0 ?1 2y y ? 1 ? ? 2 0 , 2 x1 ? 4 2 ? 2 y0 y0 ? 3 ?4 2 y0 ? 1
S A E B

y

P T

k AT

12 y0 y2 ? 9 2y y2 ? ? 20 ? 2 0 , x2 ? 4 2 y0 ? 18 y0 ? 3 ?4 2 y0 ? 9

O

F

x

所以 k AS ? kAT ,所以 A, S , T 三点共线. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线 C 的方程为 x ? y ? 4 ,
2 2

令 y ? 0 得 x ? ?2 ,不妨设 E ? ?2,0? , F ? 2,0? . 设 P ? ?1, y0 ? , S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y2 ? ,

文科数学试题

第 9 页 (共 16 页)

则直线 PE 的方程为 y ? y0 x ? 2 y0 , 由?

? y ? y0 x ? 2 y0 , ?x ? y ? 4
2 2

2 2 消去 x 得 y0 ? 1 y ? 4 y0 y ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

?

?

2 4 y0 2 ? 2 y0 所以 y1 ? 2 , x1 ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 y0 ? 1 y0 ? 1

直线 PF 的方程为 y ? ?

y0 2 x ? y0 , 3 3

y0 2 ? ? y ? ? x ? y0 , 2 2 由? 得 ? y0 ? 9 ? y ? 12 y0 y ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 3 ? x2 ? y 2 ? 4 ?
2 12 y0 2 y0 ? 18 所以 y2 ? 2 , x2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 y0 ? 9 y0 ? 9

以下同解法一. 解法三: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 , 令 y ? 0 得 x ? ?2 ,不妨设 E ? ?2,0? , F ? 2,0? . 设 P ? ?1, y0 ? , S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y2 ? , 当 y0 ? 0 时, S ? ?2,0? , T ? 2,0? ,此时 A, S , T 三点共线. 当 y0 ? 0 时,则直线 PE 的方程为 y ? y0 x ? 2 y0 , 由?
A E P T S y

B

O

F

x

? y ? y0 x ? 2 y0 , ?x ? y ? 4
2 2

2 2 消去 x 得 y0 ? 1 y ? 4 y0 y ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

?

?

所以 y1 ?

4 y0 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 y0 ?1
y0 2 x ? y0 , 3 3

直线 PF 的方程为 y ? ?

y0 2 ? ? y ? ? x ? y0 , 2 2 由? 消去 x 得 ? y0 ? 9 ? y ? 12 y0 y ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 3 ? x2 ? y 2 ? 4 ?
所以 y2 ?

12 y0 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 y0 ?9

文科数学试题

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k AS ? k AT ?

y1 y ? 2 x1 ? 4 x2 ? 4

?

y1 ? x2 ? 4 ? ? y2 ? x1 ? 4 ? ? x1 ? 4?? x2 ? 4?

? 3y ? ?y ? y1 ? ? 2 ? 6 ? ? y2 ? 1 ? 2 ? y0 ? ? y0 ? ? ? ? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ?

?

y1 ? ?3 y2 ? 6 y0 ? ? y2 ? y1 ? 2 y0 ? ?4 y1 y2 ? 6 y0 y1 ? 2 y0 y2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? y0 ? x1 ? 4?? x2 ? 4? y0 ? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ?
2 2 2 24 y0 24 y0 192 y0 ? ? , 2 2 2 2 y0 ? 1 y0 ? 9 ? y0 ? 1?? y0 ? 9?

因为 6 y0 y1 ? 2 y0 y2 ?

?4 y1 y2 ? ?4 ?

2 4 y0 12 y0 192 y0 ? ? ? , 2 2 y0 ? 1 y0 ?9 ? y02 ? 1?? y02 ? 9 ?

所以 ?4 y1 y2 ? 6 y0 y1 ? 2 y0 y2 ? 0 . 所以 k AS ? kAT ,所以 A, S , T 三点共线. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 21. 本小题主要考查函数的单调性、 导数及其应用、 不等式等基础知识, 考查推理论证能力、 运算求解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想 等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ? x ? 1? ex ?

a ,x?0,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 x

依题意得 f ?(1) ? 0 ,即 2e ? a ? 0 ,解得 a ? 2e . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以 f ?( x) ? ? x ? 1? e x ?

2e ? ? ? 单调递增且 f ?(1) ? 0 , ,显然 f ?( x) 在 ? 0, x

故当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 的递减区间为 ? 0,1? ,递增区间为 ?1, ?? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)①当 b≤0 时,由(Ⅰ)知,当 x ? 1 时, f ? x ? 取得最小值 e . 又 b x2 ? 2x ? 2 的最大值为 b ,故 f ? x ?≥b x2 ? 2x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ②当 0 ? b≤e 时,设 g ( x) ? xex ? 2eln x ? b x2 ? 2x ? 2 , 所以 g ?( x) ? ? x ? 1? e x ? 令 h( x) ? ? x ? 1? e x ?

?

?

?

?

?

?

2e · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? 2b ? x ? 1? , · x

2e ? 2b ? x ? 1? , x ? 0 , x 2e 则 h?( x) ? ? x ? 2? e x ? 2 ? 2b , x
文科数学试题 第 11 页 (共 16 页)

当 x ? ? 0,1? 时,

2e ? 2b≥0 , ? x ? 2? e x ? 0 ,所以 h?( x) ? 0 ,…………………………….9 分 x2

当 x ? ?1, ?? ? 时, ? x ? 2? e x ? 2b ? 0 ,

2e ? 0 ,所以 h?( x) ? 0 ,……….……………….10 分 x2

所以当 x ? ? 0, ?? ? 时, h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 又 h ?1? ? 0 ,所以当 x ? ? 0,1? 时, g ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ?1, ?? ? 时, g ? ? x ? ? 0 . 所以 g ? x ? 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 所以当 x ? 1 时, g ? x ? 取得最小值 g (1) ? e ? b≥0 , 所以 g ? x ?≥0 ,即 f ? x ?≥b x2 ? 2x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 综上,当 b≤e 时, f ? x ?≥b x2 ? 2x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一.
x 2 (Ⅱ)设 g ? x ? ? xe ? 2e ln x ? b x ? 2 x ? 2 .

?

?

?

?

?

?

(1) 当 b ? e 时, g ' ? x ? ? ? x ? 1? e ? 2e ? 2e ? x ?
x

? ?

1? ?, x?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
x ①当 0 ? x≤1 时, ? x ? 1? e ≤2e, x ? ≥2 ,所以 g ' ? x ?≤0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

1 x

所 以

g ? x? 在
2

? 0,1?

上 单 调 递 减 , 所 以 g ? x ?≥g ?1? ? 0 , 即

xe x ? 2 e ≥ xl ? n

x? e

x. 2 ??

2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ②当 x ? 1 时, 令 M ( x) ? g ?( x) ? ? x ? 1? e ? 2e ? 2e ? x ?
x

? ?

1? ?, x?

则 M ? ? x ? ? ? x ? 2? e ?
x

2e ? 2e ? 3e ? 2e ? 0 , x2

所以 M ( x ) 在 ?1, ?? ? 上单调递增,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 即 g? ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,所以 g ' ? x ? ? g ' ?1? ? 0 , 所 以 g ? x? 在

?1, ???

上 单 调 递 增 , 所 以 g ? x ? ? g ?1? ? 0 , 即
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文科数学试题

xe x ? 2e ln x ? e ? x 2 ? 2 x ? 2 ? .
2 故当 x ? 0 时, f ? x ?≥e x ? 2 x ? 2 恒成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 (2) 当 b ? e 时,因为 x ? 2 x ? 2 ? ? x ? 1? ? 1 ? 0 , 2 2 2 所以 e x ? 2 x ? 2 ? b x ? 2 x ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 2 由(1)知, f ? x ?≥e x ? 2 x ? 2 ,所以 f ? x ? ? b x ? 2 x ? 2 . 2 综合(1) (2) ,当 b≤e 时, f ? x ?≥b x ? 2 x ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

解法三: (Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)设 g ? x ? ? e ? ex ,则 g ' ? x ? ? e ? e ,
x x

令 g ' ? x ? ? ex ? e = 0 ,得 x ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 当 x ? ? 0,1? 时, g ' ? x ? ? 0 ,当 x ? ?1, ?? ? 时, g ' ? x ? ? 0 ; 所以 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 所以 g ? x ?≥g ?1? ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 所以 e ≥ex ,所以 x≥ ln ex ,即 ln x≤x ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
x
2 因为 b≤e, x ? 2 x ? 2 ? ? x ? 1? ? 1 ? 0 , x ? 0 , 2

x 2 2 2 所以 f ? x ? ? xe ? 2e ln x≥ex ? 2e ? x ? 1? ? e x ? 2 x ? 2 ≥b x ? 2 x ? 2 .

?

?

?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 请考生在第(22),(23),(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分,作答时请写清题号. (22)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考 查推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等.满分 10 分. 解法一: (Ⅰ)连结 DE ,因为 D, C , E , G 四点共圆,则 ?ADE ? ?ACG . · · · · · · · · · · · · 2分 又因为 AD, BE 为△ ABC 的两条中线, 所以 D, E 分别是 BC , AC 的中点,故 DE ∥ AB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以 ?BAD ? ?ADE , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 从而 ?BAD ? ?ACG . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)因为 G 为 AD 与 BE 的交点,
文科数学试题 第 13 页 (共 16 页)
B F G E A

D

C

故 G 为△ ABC 的重心,延长 CG 交 AB 于 F , 则 F 为 AB 的中点,且 CG ? 2GF . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 在△ AFC 与△ GFA 中,因为 ?FAG ? ?FCA , ?AFG ? ?CFA , 所以△ AFG ∽△ CFA , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 所以

FA FG ,即 FA2 ? FG ? FC . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? FC FA 1 1 3 AB , FG ? GC , FC ? GC , 2 2 2

因为 FA ? 所以

1 3 AB2 ? GC 2 ,即 AB ? 3GC , 4 4

又 GC ? 1 ,所以 AB ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, ?BAD ? ?ACG , 因为 D, C , E , G 四点共圆,所以 ?ADB ? ?CEG , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 所以 △ABD ∽ △CGE ,所以

AB AD ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 CG CE

由割线定理, AG ? AD ? AE ? AC , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 又因为 AD, BE 是 △ABC 的中线,所以 G 是 △ABC 的重心,

2 AD ,又 AC =2 AE =2 EC , 3 2 AD 2 2 ? 3, 所以 AD =2 EC ,所以 3 CE AB ? 3 ,因为 CG ? 1 ,所以 AB ? 3 . · 所以 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 CG
所以 AG ? (23)选修 4 ? 4 ;坐标系与参数方程 本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、 椭圆的参数方程等基础知识, 考查运算求解 能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解法一: (Ⅰ)由 ?

? x ? 3cos ? , x2 ? y 2 ? 1, 消去参数 ? ,得 9 y ? sin ? ?
x2 ? y 2 ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 9

即 C 的普通方程为 由 ? sin ? ? ? 将?

? ?

?? (*)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? ? 2 ,得 ? sin ? ? ? cos? ? 2 , 4?

? x ? ? cos ? , 代入(*) ,化简得 y ? x ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? y ? ? sin ?
文科数学试题 第 14 页 (共 16 页)

所以直线 l 的倾斜角为

? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 4

? ? x ? t cos , ? ? 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,点 P ? 0,2? 在直线 l 上, 可设直线 l 的参数方程为 ? (t ? ? y ? 2 ? t sin ? ? 4
为参数) ,

? 2 t, ?x ? ? 2 即? ( t 为参数) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ?y ? 2? 2 t ? ? 2
x2 ? y 2 ? 1并化简,得 5t 2 ? 18 2t ? 27 ? 0 . · 代入 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 9

? ? 18 2

?

?

2

? 4 ? 5 ? 27 ? 108 ? 0 .

设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 , 则 t1 ? t2 ? ?

18 27 2 ? 0, t1t2 ? ? 0 ,所以 t1 ? 0, t2 ? 0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 5 5 18 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 5

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? ? ? t1 ? t2 ? ?

解法二: (Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 . 由?

? y ? x ? 2, ?x ? 9 y ? 9
2 2

消去 y 得 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
2

于是 ? ? 36 ? 4 ?10 ? 27 ? 216 ? 0 .
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

27 18 ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 . ? 0, x1 x2 ? 10 5

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 故 PA ? PB ? 1 ? 1 | x1 ? 0 | ? 1 ? 1 | x2 ? 0 |?
2 2

2 | x1 ? x2 |?

18 2 . 5

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 (24)选修 4 ? 5 :不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力、推

文科数学试题

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理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解法一: (Ⅰ) (ⅰ) 当 x≤ ? 1 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? ?2 x ? 2 ,解得 x ? ?1 , 此时原不等式的解是 x ? ?1 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (ⅱ)当 ?1 ? x ? ?

1 时,原不等式可化为 x ? 1 ? ?2 x ? 2 ,解得 x ? ?1 , 2

此时原不等式无解; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (ⅲ)当 x≥ ?

1 时,原不等式可化为 x ? 1 ? 2 x ,解得 x ? 1 , 2 此时原不等式的解是 x ? 1 ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
综上, M ? x x ? ?1或x ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

?

?

(Ⅱ)因为 f ? ab ? ? ab ? 1 ? ? ab ? b ? ? ?1 ? b ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ≥ ab ? b ? 1? b · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? b a ?1 ? 1? b . · 因为 a, b ? M ,所以 b ? 1, a ? 1 ? 0 , 所以 f ? ab? ? a ?1 ? 1? b ,即 f ? ab? ? f ? a ? ? f ? ?b? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 f ? a ? ? f ? ?b ? ? a ? 1 ? ?b ? 1 ≤ a ? 1 ? ? ?b ? 1? ? a ? b , · · · · · · · · 7分 所以,要证 f ? ab? ? f ? a ? ? f ? ?b? ,只需证 ab ?1 ? a ? b , 即证 ab ? 1 ? a ? b , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 即证 a b ? 2ab ? 1 ? a ? 2ab ? b ,
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 即证 a b ? a ? b ? 1 ? 0 ,即证 a ? 1 b ? 1 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 2

?

?? ?

?

2 2 2 2 因为 a, b ? M ,所以 a ? 1, b ? 1 ,所以 a ? 1 b ? 1 ? 0 成立,

??

?

所以原不等式成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

文科数学试题

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