9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

《一道广东高考题的教学思考与延伸》 南城中学 金昌国


一道广东高考题的教学思考与延伸
东莞市南城中学 金昌国

【摘要】

本文从一道以三角形高考题入手,多角度探讨其解法。结合 2014 年广东卷第 12 题进行教学思考,意在发现高考题与教材之间的联系,挖掘类似问题的数学思想方法, 为解三角形等教学与复习迎考提供有力的佐证

【关键词】 解三角形方法;高中教材; 教学思考
高考试题是我们教学的典型例题,充分挖掘高考试题所蕴含的价值,重视高考试题的教 学示范作用,是提高高三复习效率的最佳“捷径”. 如果高三教师能够在课本习题与高考试 题之间搭建绿色通道,启发学生的多角度思考,最大限度的挖掘学生的思维潜能,激发学生 学习数学的主观能动性,就能使解三角形的教学与复习复习迎考事半功倍. 2014 年高考数 学广东卷理有这样一个选择题颇有研究的价值, 以下是笔者利用此题谈一谈教师关于解三角 形教与学的思考与适度延伸,希望对您有一些帮助.

◎°例 1 (2014 年高考广东卷理 (12) ) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,
已知 b cos C ? c cos B ? 2b ,则

a ? b

.

1

试题解析

1.1 试题解答
解法一:由余弦定理得 b ?

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? b2 ? ? 2b, 2ab 2ac

从而 a ? 2b即

a ?2 . b

解 法 二 : 由 已 知 结 合 正 弦 定 理 得 sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin B, 有

a sin( B ? C ) ? 2sin B . ?sin A ? 2sin B 从而 a ? 2b即 ? 2 . b a 解法三:由射影定理知: b cos C ? c cos B ? a 从而 a ? 2b即 ? 2 . b

1.2 题意分析
解三角形题在高考题属中偏易难度, 几乎所有高三数学老师要求学生对此类问题势在必 得。事实此类题型入手容易上手难,我们基础薄弱学校不是所有考生都如愿以偿,从模拟考 试情况估计此题理科正确率低于 80%,文科正确率低于 75%. 解题思考:本题最显著特征是只有一个题设条件,结论是涉及两个量 a , b ,不过是要求 两个量 a , b 的比值. 经对部分考生调查,此题难点是少数同学想到要分别求出 a , b ,从而断 了思路,束手无策.形成此情况由于基本知识一知半解,解题思维僵化,对结论没有预见性 导致. 思想方法思考:本题的破解需要考生对结论有一个预见性的思维方式,需要考生具备 方程思想、消元思想,通过消元和代换,减少了未知数的个数,体现数学中的化繁为简,转 化划归的思想。以上解题策略的选择,充分表达试题对考生函数与方程思想、转化与划归思 想、运算求解能力、推理论证能力的考查功能.

1.3 此题在教材上的对应类题
◎°题 2(新课标人教 A 版高中数学《必修 5》教材习题 1.2 A 组(14) )在 ?ABC 中,角
A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,求证: c ? a cos B ? b cos A? ? a2 ? b2 .
解法同例 1:利用余弦定理、正弦定理、三角形射影定理 c ? a cos B ? b cos A 均可证明结 论. 反思 以上高考题(12)是教材 A 习题 (14)的深度加工,并且均可以从三个角度进入思考、 做出解答.高考题(12)相比之下让考生更加容易入手,更加平易近人,充分体现了高考命 题研究专家对广大高中师生的人文关怀, 命题极大鼓舞广大高中一线教师的教育教学热情与 积极性.本题解题思维宽阔,体现广东卷公平、合理的测试背景.

1.4 本题在高考中的类题
◎°题 3 (2013 年高考新课标全国卷Ⅱ理(17) ) ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a ? b cos C ? c sin B .
(1)求 B; (2)若 b ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值. 解法同例 1:利用余弦定理、正弦定理、三角形射影定理 a =b cos C ? c cos B 均可得 (1) B= ? (2) ?ABC 可最大值为 2+1 .

4

反思 以上从三个角度思考有关边角关系的三角形问题, 我们比较发现此时利用任意三角形 射影定理更为快捷得出正确结论.

2 此题引发的教学思考与延伸
2.1 重视课本例习题发散思考,一题多变
高考命题是“源于课本,高于课本” ,课本是试题的源泉.在教学中,需要我们重视课本 的例习题对知识的承载功能,教学中利用例题、习题适度改编,强化重要定理公式或重点结 论,由此可培养学生发散思维.

◎°题 4
三角形.

(人教 A 版必修 5 第 4 页例 2) 在△ABC 中,a ? 20cm, b ? 28cm, A ? 40?, 解

改编 1: 在△ABC 中, a ? 16, b ? 26, A ? 30? 解三角形. 改编 2:在△ABC 中, a ? 30, b ? 26, A ? 30? 解三角形. 改编 3:在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,求 A 的大小. 改编 4:在△ABC 中,若 b ? 2 2 , a ? 2 ,且三角形有解,求 A 的取值范围. 改编 5:在△ABC 中,已知 C ? 2 B ,求 bc 的取值范围. 改编 6:在△ABC 中,已知 A ? C ? 2B, b ? 1 ,求 a ? c 的取值范围.

◎°题 5 (人教 A 版必修 5P10 习题 1-1B 组 2)在△ABC 中,如果有性质 a cos A = b cos B ,
试问这个三角形的形状具有什么特征?

改编 1:在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 则△ABC 的形状是什么? 改编 2:在△ABC 中,已知 sin C = 2sin Acos B ,试证明△ABC 是等腰三角形. 改编 3:在△ABC 中,若 tan

A? B a ?b ? ,则△ABC 的形状是什么? 2 a?b

2.2 重视高考试题的教学功能,一题多解
学生在求解此类题目时,由于对正弦定理、余弦定理意义与特征掌握不够到位,或者消 元意识缺乏形成思维卡壳.在教学中可以注重引入相应高考试题的一题多解,引导学生进行 从知识不同角度,从某个相关公式思考,从有关图形思考,或者等价转化成另外一类熟悉的 问题进行探讨.在引导学生重视知识与方法的同时,让学生对高考试题的功能有较好的认识 和把握,进而提高普通中学学生的应试技能.

◎°题 6 (2008 年高考浙江卷(14) )已知 a , b , c 分别为 ?ABC 三个内角 A , B , C 的
对边,

?

3b ? c cos A ? a cos C , 则 cos A ?
3 3

?

.

解法一:由已知及余弦定理可得 cos A=

.
3 3

解法二:由正弦定理可得 3 sin B cos A ? sin ? A+C ? ? cos A ? 解法三:

.

?

3b ? c cos A ? a cos C 可以化为 3b cos A ? a cos C +c cos A ,
3 3

?

再由三角形射影定理知: a cos C +c cos A ? b 从而 3b cos A ? b ,可得 cos A ?

.

2.3 搭建课本习题与高考题通道,多题归一
高考题目在课本例习题一般有相似度, 有千丝万缕的联系, 我们老师可以搭建课本习题 与高考试题之间绿色通道,让学生在 “穿越通道”同时,感受知识与方法的统一性.

◎°题 7 (人教 A 版必修 5P68 复习参考题 B 组 1(1) )等比数列的 ?an ? 的各项均为正
数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( (A) 12. (B) 10. (C) 8. (D) 2 ? log3 5. )

解答:由a5a6 ? a4 a7 ,? a5a6 ? 9, 设S ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ,

S ? log3 a10 ? log3 a9 ? ?? log3 a1 , 相加得2S ? 10log3 ? a1a10 ? ? 30, ? S ? 15.
◎ ° 题 8 ( 2014 年 高 考 广 东 卷 理 ( 13 ) ) 若 等 比 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 且

a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 ,则 ln a1 ? ln a2 ? ?? ln a20 ?
5

.

解答:由a10 a11 ? a9 a12 ,?a10 a11 ? e , 设S ? ln a1 ? ln a2 ? ? ? ln a20 ,

S ? ln a20 ? ln a19 ? ? ? ln a1. 相加得 2S ? 20ln a1a20 ? 20ln a10a11 ? 100 , ? S ? 50 .

◎°题 9
n

(人教 A 版必修 5P53 习题 2.4A 组 3)已知 ?an ? 是各项均为正数等比数列,

? a ? 是等比数列吗?为什么?
以上三道题同出一门,背景是一个重要结论:如果各项均为正数的 ?an ? 是等比数列,那么 数列 ?log a an ? 是等差数列. 变式:如果等差数列 ?an ? 满足 a10 ? a11 ? 5 ,则 2 1 2 2 ? 2 2
a a a20

?

.

以上例举的两道课本习题与一道高考题形成了一个通道, 里面藴含解数列定义, 函数方 程思想,考查运算求解能力、推理论证能力.

3 此题引发学生在学法上的思考
3.1 学会一类问题多角度思考
有人说天才总是不断从多角度思考问题. 学生在学习数学的过程中可以不断进行师生之 间、生生之间进行交流合作,利用教材例习题、高考题(或模拟题)不断拓展发散性思维, 达到解一题、知一类、通全局的学习效果.

3.2 学会反思性数学学习
当今教育专家共识是学生学习方式的变革是当前新课程改革的核心, 改进学习方式, 促 进有效学习, 提高学习质量是一个亟待解决的课题. 不少数学教育专家倡导反思性数学学习 就是学习者对自身数学学习活动的过程,以及活动过程中所涉及的有关材料、信息、思维、 结果等学习特征的反向思考. 学生的有效学习,需要我们教师转变自身的教学方式,给学生提供自我反思,自我探索 的时间和空间,在课堂上为他们这间的交流合作提供平台,并鼓励他们多角度思考问题,引 导他们在交流和反思中获取知识, 促进能力的形成和数学素养的提高, 最终实现高效的学习 能力以及终身学习的能力.

【参考文献】
[1] 搭建脚手架,沟通根与桃 2011 年一道广东文科数学高考试题的教学设计反思 百度 文库 教学研究 [2] 吴蕾 2012.3 对一道高考题的教学反思 吴江高级中学 教育月刊[征鸿] [3] 一个高考题的价值研究. 浙江省绍兴县华甫中学 312039 张国民 [4] 陆凯 2012.2 高考中解三角形的题型与解法例析 江苏省盐城市一中 考试· 高考数 学版 2011 年第 12 期 [5] 段先锋 对一道三角函数高考题的立体延伸 江西省南康中学 数学教学通讯 2012 年 第 12 期



更多相关文章:
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图