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2015世纪金榜理科数学(广东版)2.12



第十二节

定积分的概念与微积分基本定理、
定积分的简单应用

广东五年1考

高考指数:★☆☆☆☆

考纲 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解 考情 定积分的概念 2.了解微积分基本定理的含义 五年

考题

2009


T8

1.定积分的计算、定积分在物理中的应用及利用定积分 考情 求平面图形的面积是近几年高考命题的热点 播报 2.常与解析几何、函数、概率等相结合命题 3.题型多以选择题、填空题为主,属中低档题

【知识梳理】

1.定积分的概念、几何意义与性质
(1)定积分的定义及相关概念

一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点
a=x0<x1<?<xi-1<xi<?<xn=b,将区间[a,b]等分成n个小区间,

在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξ i(i=1,2,?,n),作和式

?
i ?1

n

f (?i )?x=?
i ?1

n

b?a f (?i ), 当n→∞时,上述和式无限接近某个 n

常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
b ? a f(x)dx.



b ? a f(x)dx中,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间

[a,b] ______叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做
积分变量 f(x)dx 叫做被积式. _________,_______

(2)定积分的几何意义

f(x)
f(x)≥0

b ? a f(x)dx的几何意义

x=a x=b 表示由直线____,____,y=0 及曲线y=f(x)所围

成的曲边梯形的面积
x=a x=b 表示由直线____,____,y=0 及曲线y=f(x)所围

f(x)<0

成的曲边梯形的面积的相反数

f(x)在[a,b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 上有正有负 轴下方的曲边梯形的面积

(3)定积分的性质
b b k ? f ? x ? dx ① ? kf(x)dx= ________(k 为常数). a a b b b f x dx ? ? a 1 ? ? ? af2 ? x ? dx ② ? [f1(x)±f2(x)]dx=____________________. a b ? af ? x ? dx ? c f(x)dx+ ? b f(x)dx(其中a<c<b). ③________= a c

2.微积分基本定理

一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′ (x)=
F(b)-F(a) 这个结论叫做微积分基本 f(x),那么 b f(x)dx=__________,

?a

定理,又叫牛顿-莱布尼茨公式.

3.定积分的应用

(1)定积分与曲边梯形面积的关系

设阴影部分的面积为S.
b ? a f(x)dx; b ? ②S=_________; ? af ? x ? dx c b ? af ? x ? dx ? ? cf ? x ? dx ③S=___________________;

①S=

④S= bf ? x ? dx ? bg ? x ? dx ? b ?f ? x ? ? g ? x ?? dx . ? ? ? ? ?
a a a

(2)定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系,
b b F ? x ? dx v ? t ? dt ? ? ①s=________, ②W=________. a a

【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: ①设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则 ②定积分一定是曲边梯形的面积. ③若 b f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形
b ? a f(x)dx= b ? a f(t)dt.

?a

一定在x轴下方.
a ④若f(x)是偶函数,则 ? f(x)dx=2 ? f(x)dx. ?a 0
a

⑤微积分基本定理中F(x)是唯一的. 其中正确的是( A.①② ) C.①④ D.③⑤

B.②③

【解析】选C.①正确.定积分与被积函数、积分上限和积分下

限有关,与积分变量用什么字母表示无关.
②错误.不一定是,要结合具体图形来定. ③错误.也有可能是在x轴上方部分的面积小于在x轴下方部分 的面积. ④正确.当f(x)是偶函数时,其图象关于y轴对称, 故

? ?a

0

f(x)dx与

a ? 0 f(x)dx相等,故

? ?a

a

f(x)dx=2

a ? 0 f(x)dx.

⑤错误,不是唯一的,它们之间相差非零常数.

2.(2014·中山模拟)已知f(x)为奇函数且

? ?6 f(x)dx等于(
A.0 B.4 C.8

6

6 ? 0 f(x)dx=8,则

) D.16

【解析】选A.因为f(x)为奇函数,其图象关于原点对称, 故 0 f(x)dx与6 f(x)dx相等, ? ?6 ?0 6 6 所以 ? f(x)dx= 0 f(x)dx+ ? f(x)dx=0. ? ?6 ?6 0

3.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做 直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为(
A. 17 14 13 11 ?????????B. ?????????C. ?????????D. 6 3 6 6 2 2

)

【解析】选A.s=

?1

17 2 (t -t+2)dt=( 1 t 3- 1 t 2+2t) |1 = . 3 2 6

4.已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形 的面积为( )

2? 4 3 ? A. ?????????B. ?????????C. ?????????D. 5 3 2 2

【解析】选B.由于:f(x)=1-x2,
所以S=
1 1 1 4 1 (1-x2)dx= (x ? x 3 ) |1 ? (1 ? ) ? ( ? 1 ? )? . ?1 ? ?1 3 3 3 3

5.已知t>1,若
t 1

t 2 ?1 (2x+1)dx=t ,则t=_____.

【解析】 ? (2x+1)dx=(x2+x) |1t =t2+t-2, 从而得方程t2+t-2=t2,解得t=2. 答案:2

考点1

定积分的计算
1 1x 1

2 2 2 【典例1】(1)(2013·江西高考)若s1 ? ? x 2dx,s 2 ? ? 1 dx,s3 ? ? e x dx,

则s1,s2,s3的大小关系为( A.s1<s2<s3 C.s2<s3<s1

)

B.s2<s1<s3 D.s3<s2<s1
1 (2x ? )dx =3+ln 2(a>1),则a的值 ?1 x a

(2)(2014·武汉模拟)若
是_______.

【解题视点】(1)根据微积分基本定理,分别求出s1,s2,s3的值, 进行比较即可. (2)根据微积分基本定理,将 建方程组求解.
1 (2x ? )dx 用a表示,进而构 ?1 x a

1 7 2 【规范解答】(1)选B.因为s1= 1 x 3 |1 ? (23 ? 13 ) ? <3; 3 3 3

s2=ln x |12 =ln 2-ln 1=ln 2<1;s3=ex |12 =e2-e>3. 所以s2<s1<s3.
1 a )dx=(x2+ln x) |1a =a2+ln a-1=3+ln 2, x 1 ?a 2 ? 1 ? 3, 所以 ? 解得a=2. ?ln a ? ln 2,

(2)由 ? (2x+

答案:2

a 1 【互动探究】若将本例题(2)变为“ ? (2x+ )dx=3+ln 2, x b

求a,b的值” 【解析】由
a 1 (2x+ )dx=3+ln 2, ?b x

得(x2+ln x) |a =a2+ln a-(b2+ln b)=3+ln 2, b
?a 2 ? b 2 ? 3, ?a ? 2, ?a ? ?2, ? 即? a 解得 ? 或? (舍去) b ? 1 b ? ? 1. ? ? ? b ? 2, ?

所以a=2,b=1.

【易错警示】准确求解原函数 本例在求定积分时需要写出原函数,原函数不恰当容易出现解 题失误或无法求解的情况,在利用微积分基本定理求定积分时, 切记只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含 常数的原函数.

【规律方法】计算定积分的步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函

数与常数的积的和或差.
(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定

积分.
(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数.

(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值.
(5)计算原始定积分的值. 提醒:根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.

求定积分的两个常用结论
设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则由定积分的几何意义

和奇偶函数的对称性可知有以下两个结论:
a (1)若f(x)是偶函数,则 ? f(x)dx=2 ? f(x)dx. 0 ?a a (2)若f(x)是奇函数,则 ? f(x)dx=0. ?a
a

【变式训练】1.(2014·济南模拟)设a= 2 1 dx,b ? 3 1 dx,c ? 5 1 dx, ? ? ?
1x 1x 1x

则下列关系式成立的是(

)

a b c b a c A. < < ???????B. < < ??????? 2 3 5 3 2 5 c a b a c b C. < < ???????D. < < 5 2 3 2 5 3

【解析】选C.a=
c=

?1 x

21

2 =ln 2,b= dx =ln x |1

?1 x
3

51

5 =ln 5,所以 dx ? ln x |1
5

a ln 2 ? ? ln 2 2

?1 x
2,

31

3 dx ? ln x |1 ? ln 3,
3

b ln 3 ? ? ln 3 3

3,

c ln 5 ? ? ln 5 5

6 3 6 2 5. 因为( 2 ) =2 =8,( 3 3 ) =3 =9,所以
10

2< 3.
5

? ?
2

=25=32, (

5

10 2 5 ) =5 =25,所以 5 5< 2, 即

c a b 5< 2<3 3, 所以 < < . 5 2 3

2.(2014·长沙模拟)已知 2 (3x2+t)dx=10,则常数t=____.
2 2 =8+2t=10, 解得t=1. 【解析】 ? (3x2+t)dx=(x3+tx) |0 0

?0

答案:1

【加固训练】求下列定积分.
2 ?1 |3-2x|dx. (2) 5 (3x3+4sin x)dx. ? ?5

(1)

3 ? 3 - 2x , 1 ? x ? , ? 2 【解析】(1)因为|3-2x|= ? ? 3 ? 2x-3, ? x ? 2, ? 2 ? 2

所以 ? |3-2x|dx
1
3 2 2

=? 3 ? 2x dx+? 3 3 ? 2x dx=?
1 2

3 2 1

? 3 ? 2x ? dx ? ? 3 ? 2x ? 3? dx
2

2

? ? 3x ? x

2

? | ??x
3 2 1

2

? 3x ? | 23
2

3 3 ? [3 ? ? ( ) 2 ] ? ? 3 ? 1 ? 12 ? ? 2 2 3 9 9 9 9 1 ) 2 ? 3 ? ] ? ? ? 2 ? ? ?2 ? ? ? ? . ? 22 ? 3 ? 2 ? ? [( 3 2 2 2 4 4 2 2

(2) ?

5 (3x3+4sin x)dx表示直线x=-5,x=5,y=0和曲线 ?5

y=f(x)=3x3+4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和,且在 x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号. 又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x) =-(3x3+4sin x)=-f(x).

所以f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函数,
5 0 3 所以 ? (3x +4sin x)dx=- ? (3x3+4sin x)dx, 0 ?5 5 0 所以 ? (3x3+4sin x)dx= ? (3x3+4sin x)dx+ ?5 ?5 5 ? 0 (3x3+4sin x)dx=0.

考点2

定积分在物理中的应用

【典例2】(1)(2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶, 由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7―3t+ 25 (t的单位:
1? t

s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离 (单位:m)是( A.1+25ln 5 C.4+25ln 5 ) B.8+25ln 11
3

D.4+50ln 2

(2)(2014·厦门模拟)一物体按规律x=bt3做直线运动,式中x 为时间t内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方(比例 系数为k,k>0).则物体由x=0运动到x=a时,阻力所做的功为 ______.

【解题视点】(1)先求出行驶至停止时所用时间,然后利用定 积分求出汽车行驶的距离. (2)先求出物体的速度及媒质阻力F阻,再由 做的功.

? F阻dx可得阻力所

【规范解答】(1)选C.7―3t+ 舍去.

8 25 =0,t=4,或t=- <0, 3 1? t

4 25 3 2 4 (7 ? 3t ? )dt ? [7t ? t ? 25ln(1 ? t)] | ? 4 ? 25ln 5. 0 ?0 1? t 2

(2)物体的速度v= 媒质阻力F阻=kv2.

dx =(bt3)′=3bt2. dt
1

当x=0时,t=0;当x=a时,t=t1= ( a ) 3 , b 又dx=vdt,故阻力所做的功为:
t t W阻 ? ? F阻 dx ? ? 1 (kv 2 v)dt ? k ? 1v3dt 0 0 t1 3 27 3 7 27 3 7 2 2 ? k ? ? 3bt ? dt ? kb t1 ? k a b . 0 7 7

答案:27 k 3 a 7 b 2
7

【规律方法】定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度

为v=v(t),那么从时刻 t=a到t=b所经过的路程s=

b ? av ? t ? dt.

(2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相

同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=

b ? aF? x ? dx.

?5,0 ? x ? 2, 【变式训练】(2014·惠州模拟)一物体在力F(x)= ? ?3x ? 4, x>2

(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到 x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为_____焦. 【解析】W= 4 F(x)dx= 2 5dx+ 4 (3x+4)dx=
3 2 5x |0 ? ( x 2 ? 4x) |4 2 ? 36. 2

?0

?0

?2

答案:36

【加固训练】一质点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2 -4t+3(m/s)运动.求: (1)在t=4 s的位置. (2)在t=4 s内运动的路程.

【解析】(1)在时刻t=4时该点的位置为
1 4 4 ? 4t ? 3? dt ? ( t 3 ? 2t 2 ? 3t) |0 ? ?m?, 3 3 即在t=4 s时刻该质点距出发点 4 m. 3

? 0?t

4

2

(2)因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),所以在区间[0,1] 及[3,4]上的v(t)≥0,在区间[1,3]上,v(t)≤0, 所以t=4 s时的路程为
s=? 1 t -4t+3? dt+|? ? t -4t+3? dt|+? ? t -4t+3 ? dt ? 0 1 3
2 2 2

3

4

即质点在4 s内运动的路程为4 m.

1 3 1 3 1 3 2 1 2 3 2 4 =( t -2t +3t )|0+|( t -2t +3t )|| + ( t - 2t + 3t )| 1 3 3 3 3 4 4 4 = + + =4 ? m ?, 3 3 3

考点3

利用定积分计算平面图形的面积

高频考点 通 关

【考情】定积分的几何意义为近几年高考考查定积分的一个 亮点;常与解析几何、概率交汇命题,主要以选择题、填空 题的形式出现,考查求平面图形的面积,应用平面图形的面积 及几何概型的计算等问题.

【典例3】(1)(2014·淄博模拟)如图,直线y=2x与抛物线 y=3-x2所围成的阴影部分的面积是( )

A.

35 32 ??????B.2 2 ??????C. ? 3??????D. 3 3

(2)(2014·长春模拟)设a>0,若曲线y= x 与直线x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为a2,则a=______.

【解题视点】(1)根据图形确定积分的上、下限及被积函数,
将所求面积转化为定积分的计算.

(2)根据定积分的几何意义求解.

【规范解答】(1)选D.由题干图知
1 S ? ? ? 3 ? x 2 ? 2x ? dx ?3 1 ? (3x ? x 3 ? x 2 ) |1 ?3 3 1 1 3 2 ? (3 ? 1 ? ? 1) ? [3 ? ? ?3? ? ? ? ?3? ? ? ?3? ] 3 3 32 ? . 3

(2)求曲线y= x 与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积,封闭 图形如图所示,

3 2 3 2 4 a 即? xdx ? x 2 |0 ? a 2 ? 0 ? a 2,解得a ? . 0 3 3 9 4 答案: 9

a

【通关锦囊】 高考指 数 重点题型 破 解 策 略

◆◆◆

根据条件求 平面图形面 积

1.画出草图,在直角坐标系中画出曲 线或直线的大致图象 2.借助图形确定出被积函数,求出交 点坐标,确定积分的上、下限 3.把曲边梯形的面积表示成若干个定 积分的和 4.计算定积分,写出答案 先利用定积分求出平面图形的面积, 再据条件构建函数方程(不等式)求解 先利用定积分求出相应平面图形的面 积,再用相应概率知识进行计算

◆◆◆ ◆◆◇

应用平面图 形的面积求 参数 与概率综合 应用

【特别提醒】利用定积分求平面图形的面积,一定要找准积分
上限、下限及被积函数,当图形的边界不同时,要分情况讨论.

【通关题组】
1.(2014·郑州模拟)由曲线xy=1,直线y=x,x=3及x轴所围成的

曲边四边形的面积为(

)

11 9 1 A. ???????B. ???????C. ? ln 3???????D.4 ? ln 3 6 2 2

? y ? x, 1 【解析】选C.由xy=1得y= , 由 ? 得xD=1,所以曲边四 ? 1 x y? ? x ? 边形的面积为 1xdx ? 3 1 dx ? 1 x 2 |1 ?ln x |3 ? 1 ? ln 3. 0 1 ?0 ?1 x 2 2

2.(2014·珠海模拟)由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2(t为常数且 t∈(0,1))所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )

1 1 1 2 A. ????????B. ????????C. ????????D. 4 3 2 3

?y ? x2 , 2 【解析】选A.由 ? ? y ? t , 得x ? t. ? x>0, ?

t 2 1 2 2 1 1 2 t 故S ? ? ? t ? x ? dx ? ? ? x ? t ? dx ? (t 2 x ? x 3 ) |0 ?( x 3 ? t 2 x) |1 t 0 t 3 3 4 1 ? t3 ? t 2 ? , 3 3

令S′=4t2-2t=0,因为0<t<1,所以t= 易知当t= 1 时,Smin=
2 1 . 4

1 , 2

3.(2014·岳阳模拟)从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为 .

【解析】长方形的面积为S=1×3=3,阴影部分的面积为
1 2 3 1 =1, 所以点 M 取自阴影部分的概率为 . 3x dx ? x | 0 ?0 3 答案:1 3

S 1=

1

【加固训练】1.(2014·泰安模拟)曲线y=sin x(0≤x≤π ) 与直线y=
1 围成的封闭图形的面积是 2

(

)

? ? A. 3??????B.2 ? 3??????C.2 ? ??????D. 3 ? 3 3

【解析】选D.由sin x= 1 与0≤x≤π得x= ? 或 5? , 所以曲
2

线y=sin x(0≤x≤π)与直线y=
S=? ?
6 5? 6

1 围成的封闭图形的面积是 2
5?

6

6

1 5? ? ? sin xdx- ? ( - )=?-cos x ? | ?6 ? 2 6 6 3 6 5? ? ? ? ? (?cos )- = 3- . 6 6 3 3

=-cos

2.(2014·广州模拟)由曲线y=ex与直线x=0,y=e所围成的图形 的面积为_______.

【解析】由题意知,如图,则S=

? 0 ? e ? e ? dx ? (ex ? e ) | ? 1.
x x 1 0

1

答案:1

3.(2012·湖南高考)函数f(x)=sin(ω x+φ)的导函数y=f′(x)

的部分图象如图所示,其中,P为图象与y轴的交点,A,C为
图象与x轴的两个交点,B为图象的最低点.

(1)若φ=

? 3 3 ,点P的坐标为 (0, ),则ω =______. 6 2

(2)若在曲线段 ABC 与x轴所围成的区域内随机取一点,则该
点在△ABC内的概率为______. 【解析】(1)f(x)=sin (?x ? ? ), f′(x)=ωcos (?x ? ? ),
6 f′(0)=ωcos ? ? 3 ? ? 3 3 , 所以ω=3. 6 2 2 6

(2)因为f′(x)=ωcos(ωx+φ),
所以曲线段 ABC 与x轴所围成的区域面积为

?

3? ?? 2 ? ? ?? 2 ?

[ ? f ? ? x ?]dx ? ?f ? x ? |

3? ?? 2 ? ? ?? 2 ?

? ?sin

3? ? ? (?sin ) ? 2, 2 2

三角形ABC的面积为

??

? ? ? ?, 2 2

所以在曲线段 ABC 与x轴所围成的区域内随机取一点,则
? 该点在△ABC内的概率为P= 2 ? ? . 2 4 答案:(1)3 (2) ? 4

【易错误区8】利用定积分求平面图形面积中的易错点
【典例】(2014·合肥模拟)如果 ( ? x 2 )3 的展开式中的常数项 为a,则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为(
A. 27 9 27 ??????B.9??????C. ??????D. 2 2 4 1 x

)

【解析】

【误区警示】

【规避策略】

【类题试解】(2014·重庆模拟)如图,由两条曲线y=-x2, y=-
1 2 x 及直线y=-1所围成的图形的面积为_____. 4

? y=-x 2, 【解析】由 ? 得交点A(-1,-1),B(1,-1). ? y=-1,
1 2 ? y =- x, ? 由? 得交点C(-2,-1),D(2,-1). 4 ? ? y=-1, 1 2 所以所求面积S= 2[? (- 1 x 2+x 2 )dx+? (- 1 x 2+1)dx]= 4 . 0 4 1 4 3 4 答案: 3



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