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浙江省嘉兴市桐乡高中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(普通班) Word版含解析



2015-2016 学年浙江省嘉兴市桐乡高中高二(上)期中数学试卷 (普通班)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.直线 x﹣ y﹣3 =0 的倾斜角是( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 2.设 m,n 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,下列命题中为真命

题的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,α⊥β,则 m∥β C.若 m⊥α,α⊥β,则 m⊥β D.若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β )

3.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,CC1 的中点,在平面 ADD1A1 内且 与平面 D1EF 平行的直线( ) A.有无数条 B.有 2 条 C.有 1 条 D.不存在 4.直线 l1:ax﹣3y+1=0,l2:2x+(a+1)y+1=0,若 l1⊥l2,则 a=( A.3 B.﹣3 C.﹣3 或 2 D.3 或﹣2 )

5.正四棱锥 S﹣ABCD 中,SA=AB,则直线 AC 与平面 SBC 所成角的正弦值为( A.
2



B.
2

C.

D.

6.圆 x +y ﹣2x﹣1=0 关于直线 2x﹣y+3=0 对称的圆的方程是( A.
2 2



B.
2 2

C. (x+3) +(y﹣2) =2 D. (x﹣3) +(y+2) =2 7.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为 2, 则两圆的圆心距等于( ) A.1 B. C. D.2 8.已知点 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,C(0,2) ,直线 y=ax+b(a>0)将△ ABC 分割为面积 相等的两部分,则 b 的取值范围是( ) A. (0, ) B. C. D.

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9 至 12 题,每小题 6 分,第 13 至 15 题,每小题 6 分, 共 36 分,请将答案写在答题卷上)

9.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为半径为 2 的四分之一个圆弧,则该几何体的 体积为 ,表面积为 .

10.已知圆 O:x +y =1 和点 A(﹣2,0) ,若定点 B(b,0) (b≠﹣2)和常数 λ 满足:对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=λ|MA|,则: (Ⅰ)b= ; (Ⅱ)λ= . 11.如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的 上方) ,且|AB|=2. (1)圆 C 的标准方程为 . (2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为 .

2

2

12.已知圆(x﹣1) +(y+1) =16 的一条直径恰好经过直线 x﹣2y+3=0 被圆所截弦的中点, 则中点坐标为 ,该直径所在直线的方程为 . 13.三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面 直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 . 14.在四棱柱 ABCD﹣A′B′C′D′中,AA′⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为梯形,AD∥BC 且 AD=AA′=2BC.过 A′,C,D 三点的平面与 BB′交于点 E,F,G 分别为 CC′,A′D′的中点(如 图所示)给出以下判断: ①E 为 BB′的中点; ②直线 A′E 和直线 FG 是异面直线; ③直线 FG∥平面 A′CD; ④若 AD⊥CD,则平面 ABF⊥平面 A′CD;

2

2

⑤几何体 EBC﹣A′AD 是棱台. 其中正确的结论是 . (将正确的结论的序号全填上)

15.定义一个对应法则 f:P(m,n)→P′ , (m≥0,n≥0) .现有点 A(3,9) 与点 B(9,3) ,点 M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f:M→M′.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时, 点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 2 16.已知曲线方程 C:x +y ﹣2x﹣4y+m=0. (1)当 m=﹣6 时,求圆心和半径; (2)若曲线 C 表示的圆与直线 l:x+2y﹣4=0 相交于 M,N,且 ,求 m 的值.

17.已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y﹣29=0 相 切. (1)求圆的方程; (2)若直线 ax﹣y+5=0(a≠0)与圆相交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(﹣2, 4)的直线 l 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 18.如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平 面 ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求证;AE∥平面 BFD; (Ⅲ)求三棱锥 C﹣BGF 的体积.

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°, PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)证明 CD⊥AE;

(2)证明 PD⊥平面 ABE; (3)求二面角 A﹣PD﹣C 的正切值.

20.设函数 f(x)=a x (a>0) ,

2 2



(1)若函数 y=f(x)图象上的点到直线 x﹣y﹣3=0 距离的最小值为 ,求 a 的值; 2 (2)关于 x 的不等式(x﹣1) >f(x)的解集中的整数恰有 3 个,求实数 a 的取值范围; (3)对于函数 f(x)与 g(x)定义域上的任意实数 x,若存在常数 k,m,使得 f(x)≥kx+m 和 g(x)≤kx+m 都成立,则称直线 y=kx+m 为函数 f(x)与 g(x)的“分界线”.设 ,

,试探究 f(x)与 g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不 存在,请说明理由.

2015-2016 学年浙江省嘉兴市桐乡高中高二(上)期中数 学试卷(普通班)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.直线 x﹣ y﹣3 =0 的倾斜角是( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 【考点】直线的倾斜角. 【专题】直线与圆. 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可得出, 【解答】解:设直线的倾斜角为 θ,θ∈[0°,180°) , 由直线 x﹣ ∴tanθ= , y﹣3 =0 可得斜率 k= ,

∴θ=30°. 故选:A. 【点评】本题考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题. 2.设 m,n 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,下列命题中为真命题的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,α⊥β,则 m∥β C.若 m⊥α,α⊥β,则 m⊥β D.若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择. 【解答】解:对于 A,若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 平行、相交或者异面;故 A 错误; 对于 B,若 m⊥α,α⊥β,则 m∥β 或者 m?β;故 B 错误; 对于 C,若 m⊥α,α⊥β,则 m 与 β 平行或者在平面 β 内;故 C 错误; 对于 D,若 m⊥α,m∥β,则利用线面垂直的性质和线面平行的性质可以判断 α⊥β;故 D 正确; 故选:D. 【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理;注意定理成立的条件. 3.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,CC1 的中点,在平面 ADD1A1 内且 与平面 D1EF 平行的直线( ) A.有无数条 B.有 2 条 C.有 1 条 D.不存在 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离.

【分析】 由已知中 E, F 分别为棱 AB, CC1 的中点, 结合正方体的结构特征易得平面 ADD1A1 与平面 D1EF 相交,由公理 3,可得两个平面必有交线 l,由线面平行的判定定理在平面 ADD1A1 内,只要与 l 平行的直线均满足条件,进而得到答案 【解答】解:由题设知平面 ADD1A1 与平面 D1EF 有公共点 D1, 由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线 l, 在平面 ADD1A1 内与 l 平行的线有无数条,且它们都不在平面 D1EF 内, 由线面平行的判定定理知它们都与面 D1EF 平行; 故选 A

【点评】本题考查的知识点是平面的基本性质,正方体的几何特征,线面平行的判定定理, 熟练掌握这些基本的立体几何的公理、 定理, 培养良好的空间想像能力是解答此类问题的关 键. 4.直线 l1:ax﹣3y+1=0,l2:2x+(a+1)y+1=0,若 l1⊥l2,则 a=( ) A.3 B.﹣3 C.﹣3 或 2 D.3 或﹣2 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】由直线垂直的性质得两直线中 x,y 的系数乘积之和为 0,由此能求出结果. 【解答】解:∵直线 l1:ax﹣3y+1=0,l2:2x+(a+1)y+1=0, l1⊥l2, ∴2a+(﹣3) (a+1)=0, 解得 a=﹣3. 故选:B. 【点评】本题考查直线中参数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线垂直的性 质的合理运用. 5.正四棱锥 S﹣ABCD 中,SA=AB,则直线 AC 与平面 SBC 所成角的正弦值为( A. B. C. D. )

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】空间角. 【分析】设 SA=2,则正四棱锥 S﹣ABCD 的高为 ,由 VS﹣ABC=VA﹣SBC,利用等积法求 出三棱锥 A﹣SBC 的高,由此能求出直线 AC 与平面 SBC 所成角的正弦值. 【解答】解:∵正四棱锥 S﹣ABCD 中,SA=AB,设 SA=2, 则正四棱锥 S﹣ABCD 的高为 , 在三棱锥 S﹣ABC 中,S△ ABC=2,

, 又在三棱锥 A﹣SBC 中, ∵VS﹣ABC=VA﹣SBC, ∴三棱锥 A﹣SBC 的高为 h= , . ,

∴直线 AC 与平面 SBC 所成角的正弦值为

故选:B. 【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 空间思维能力的培养. 6.圆 x +y ﹣2x﹣1=0 关于直线 2x﹣y+3=0 对称的圆的方程是( A.
2 2 2 2



B.
2 2

C. (x+3) +(y﹣2) =2 D. (x﹣3) +(y+2) =2 【考点】关于点、直线对称的圆的方程. 【分析】先求圆心和半径,再去求对称点坐标,可得到圆的标准方程. 2 2 2 2 【解答】解:圆 x +y ﹣2x﹣1=0?(x﹣1) +y =2,圆心(1,0) ,半径 ,关于直线 2x ﹣y+3=0 对称的圆半径不变,排除 A、B,两圆圆心连线段的中点在直线 2x﹣y+3=0 上,C 2 2 中圆(x+3) +(y﹣2) =2 的圆心为(﹣3,2) ,验证适合,故选 C 【点评】本题是选择题,采用计算、排除、验证相结合的方法解答,起到事半功倍的效果. 7.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为 2, 则两圆的圆心距等于( ) A.1 B. C. D.2 【考点】球面距离及相关计算. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】求解本题,可以从三个圆心上找关系,构建矩形利用对角线相等即可求解出答案. 【解答】解:设两圆的圆心分别为 O1、O2,球心为 O,公共弦为 AB,其中点为 E, 则 OO1EO2 为矩形,于是对角线 O1O2=OE, 而 ∴ 故选 C. ,

【点评】本题考查球的有关概念,两平面垂直的性质,是基础题. 8.已知点 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,C(0,2) ,直线 y=ax+b(a>0)将△ ABC 分割为面积 相等的两部分,则 b 的取值范围是( ) A. (0, ) B. C. D.

【考点】直线的一般式方程. 【专题】直线与圆. 【分析】先求得直线 y=ax+b(a>0)与 x 轴的交点为 M(﹣ ,0) ,由﹣ ≤0 可得点 M 在 射线 OA 上.求出直线和 BC 的交点 N 的坐标,利用面积公式、点到直线以及两点之间的距 离公式再分三种情况分别讨论:①若点 M 和点 A 重合,求得 b= ;②若点 M 在点 O 和点 A 之间,求得 b<1;③若点 M 在点 A 的左侧,求得 b>2﹣ ,综合起来可得结论.

【解答】解:由题意可得,三角形 ABC 的面积为 S= ?AB?OC=4,

由于直线 y=ax+b(a>0)与 x 轴的交点为 M(﹣ ,0) , 由直线 y=ax+b(a>0)将△ ABC 分割为面积相等的两部分可得点 M 在射线 OA 上. 设直线和 BC 的交点为 N,则由 ,可得点 N 的坐标为( , ) , =1,解得 a= ,

①若点 M 和点 A 重合,则点 N 为线段 BC 的中点,则﹣ =﹣2,且 b= ,

②若点 M 在点 O 和点 A 之间,则点 N 在点 B 和点 C 之间,由题意可得三角形 NMB 的面 积等于 2,即 ?MB?yN=2,

即 ?(2+ )?

=2,解得 a=

>0,故 b<1,

③若点 M 在点 A 的左侧,则﹣ <﹣2,b>a,设直线 y=ax+b 和 AC 的交点为 P,

则由 此时, NP=

求得点 P 的坐标为(



) ,

=

= ,

=

此时,点 C(0,2)到直线 y=ax+b 的距离等于



由题意可得,三角形 CPN 的面积等于 2,即 ? 化简可得(2﹣b) =2|a ﹣1|. 由于此时 0<b<a<1, ∴(2﹣b) =2|a ﹣1|=2﹣2a . 两边开方可得 2﹣b= < ,则 2﹣b< ,即 b>2﹣ ,
2 2 2 2 2

?

=2,

综合以上可得,b 的取值范围是 . 故选:B 【点评】 本题主要考查确定直线的要素, 点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积 公式的应用,还考查运算能力和综合分析能力,分类讨论思想,属于难题. 二、填空题(本大题共 7 小题,第 9 至 12 题,每小题 6 分,第 13 至 15 题,每小题 6 分, 共 36 分,请将答案写在答题卷上) 9.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为半径为 2 的四分之一个圆弧,则该几何体的 体积为 8﹣2π ,表面积为 16 .

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.

【分析】由三视图可知该几何体为边长为 2 的正方体切去一个底面半径为 2 的圆柱的 ,代 入数据计算即可. 【解答】 解: 由三视图可知该几何体为边长为 2 的正方体切去一个底面半径为 2 的圆柱的 , ∴V=2 ﹣ π×2 ×2=8﹣2π. S=2×2×2+ π×2×2×2+2×(2×2﹣ )=16.
3 2

故答案为 8﹣2π,16. 【点评】本题考查了不规则几何体的体积计算,使用作差法求体积是常用方法. 10.已知圆 O:x +y =1 和点 A(﹣2,0) ,若定点 B(b,0) (b≠﹣2)和常数 λ 满足:对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=λ|MA|,则: (Ⅰ)b= ﹣ (Ⅱ)λ= . ;
2 2

【考点】三点共线. 【专题】直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)利用|MB|=λ|MA|,可得(x﹣b) +y =λ (x+2) +λ y ,由题意,取(1,0) 、 (﹣1,0)分别代入,即可求得 b; (Ⅱ)取(1,0) 、 (﹣1,0)分别代入,即可求得 λ. 2 2 2 【解答】 解: 解法一: 设点 M (cosθ, sinθ) , 则由|MB|=λ|MA|得 (cosθ﹣b)+sin θ=λ ( [ cosθ+2) 2 2 +sin θ],即 ﹣2bcosθ+b +1=4λ cosθ+5γ 对任意 θ 都成立, 所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2

. 又由|MB|=λ|MA|得 λ>0,

且 b≠﹣2,解得



解法二: (Ⅰ)设 M(x,y) ,则 ∵|MB|=λ|MA|, 2 2 2 2 2 2 ∴(x﹣b) +y =λ (x+2) +λ y , 2 2 2 2 2 由题意,取(1,0) 、 (﹣1,0)分别代入可得(1﹣b) =λ (1+2) , (﹣1﹣b) =λ (﹣1+2) 2 , ∴b=﹣ ,λ= . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 λ= . 故答案为:﹣ , . 【点评】本题考查圆的方程,考查赋值法的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.

11.如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的 上方) ,且|AB|=2. 2 2 (1)圆 C 的标准方程为 (x﹣1) +(y﹣ ) =2 . (2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为 ﹣1﹣ .

【考点】圆的标准方程;圆的切线方程. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】 (1)确定圆心与半径,即可求出圆 C 的标准方程; (2)求出圆 C 在点 B 处切线方程,令 y=0 可得圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距. 【解答】解: (1)由题意,圆的半径为 = ,圆心坐标为(1, ) , 2 2 ∴圆 C 的标准方程为(x﹣1) +(y﹣ ) =2; (2)由(1)知,B(0,1+ ) , ∴圆 C 在点 B 处切线方程为(0﹣1) (x﹣1)+(1+ ﹣ ) (y﹣ )=2, 令 y=0 可得 x=﹣1﹣ . 2 2 故答案为: (x﹣1) +(y﹣ ) =2;﹣1﹣ . 【点评】本题考查圆的标准方程,考查圆的切线方程,考查学生的计算能力,属于中档题. 12.已知圆(x﹣1) +(y+1) =16 的一条直径恰好经过直线 x﹣2y+3=0 被圆所截弦的中点, 则中点坐标为 (﹣ , ) ,该直径所在直线的方程为 2x+y﹣1=0 .
2 2

【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】直线与圆. 【分析】由题意求出圆心坐标(1,﹣1) ,再由弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直 求出斜率,进而求出该直径所在的直线方程,与 x﹣2y+3=0 联立可得中点坐标. 【解答】解:由题意知,已知圆的圆心坐标(1,﹣1) ∵弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直得,且方程 x﹣2y+3=0 ∴该直径所在的直线的斜率为:﹣2,∴该直线方程 y+1=﹣2(x﹣1) ; 即 2x+y﹣1=0, 与 x﹣2y+3=0 联立可得中点坐标为(﹣ , ) 故答案为: (﹣ , ) ;2x+y﹣1=0. 【点评】 本题考查直线方程, 考查直线与圆的位置关系, 考查学生的计算能力, 属于中档题.

13.三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面 直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 .

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 先选一组基底, 再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面 直线的方向向量用基底表示,最后利用夹角公式求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值即 可 【解答】解:如图,设 则 ∵ ∴ = | | ﹣ |= |= + = , , =( + )? ( = ﹣1+ +1=1 = = = = )= ﹣ + + ﹣ + = , = , = , ,棱长均为 1,

∴cos<



>=

=

=

∴异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为

【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用,空间向量基本定理,向量 数量积运算的性质及夹角公式的应用,有一定的运算量 14.在四棱柱 ABCD﹣A′B′C′D′中,AA′⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为梯形,AD∥BC 且 AD=AA′=2BC.过 A′,C,D 三点的平面与 BB′交于点 E,F,G 分别为 CC′,A′D′的中点(如 图所示)给出以下判断: ①E 为 BB′的中点; ②直线 A′E 和直线 FG 是异面直线; ③直线 FG∥平面 A′CD;

④若 AD⊥CD,则平面 ABF⊥平面 A′CD; ⑤几何体 EBC﹣A′AD 是棱台. 其中正确的结论是 ①③④⑤ . (将正确的结论的序号全填上)

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;棱柱的结构特征. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】利用四棱柱的性质,结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答. 【解答】解:对于①,∵四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 为梯形,AD∥BC, ∴平面 EBC∥平面 A1D1DA, ∴平面 A1CD 与面 EBC、平面 A1D1DA 的交线平行,∴EC∥A1D ∴△EBC∽△A1AD, ∴ ,

∴E 为 BB1 的中点; 故①正确; 对于②,因为 E,F 都是棱的中点,所以 EF∥B'C',又 B'C'∥A'D', 所以 EF∥A'D',所以 A'E,FG 都在平面 EFD'A'中;故②错误; 对于③,由②可得 EF∥A'G,EF=A'G,所以四边形 A'EFG 是平行四边形,所以 FG∥A'E, 又 A'E?平面 A'CD 中,FG?平面 A'CD,所以直线 FG∥平面 A′CD 正确; 对于④,连接 AD',容易得到 BF∥AD',所以 ABFD'四点共面,因为 AD⊥CD,AD'在底 面的射影为 AD,所以 CD⊥AD',又 AD'⊥BF,所以 BF⊥CD,又 BF⊥CE,所以 BF⊥平 面 A'CD, BF?平面 ABFD',所以平面 ABF⊥平面 A′CD;故④正确; 对于⑤,由④得到,AB 与 D'F,DC 交于一点,所以几何体 EBC﹣A′AD 是棱台.故⑤正 确; 故答案为:①③④⑤. 【点评】 本题考查了三棱柱的性质的运用以及其中的线面关系和面面关系的判断, 比较综合. 15.定义一个对应法则 f:P(m,n)→P′ , (m≥0,n≥0) .现有点 A(3,9) 与点 B(9,3) ,点 M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f:M→M′.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为 【考点】轨迹方程. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】确定 AB 的方程,求出 M′的轨迹满足的方程,利用弧长公式,即可求得结论. 【解答】解:由题意知 AB 的方程为:AB:x+y=12,3≤x≤9, 设 M 的坐标为(x0,y0) ,因为 M 在 AB 上,可以得到 x0+y0=12,3≤x≤9 而由题意可知,M′的坐标为(x,y) ,则 x= ,y= , .

∴M′的轨迹满足的方程就是 x +y =12,其中﹣ ≤x≤3 因为要求 x>0,y>0,所以 M′轨迹的两个端点是 A( ,3)和 B(3, ∴∠AOx=30°,∠BOx=60°,即 M′的轨迹为圆心角为 30°的弧, ∴M′所经过的路线长为 故答案为: . = .

2

2



【点评】本题考查轨迹方程的确定,考查弧长公式,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知曲线方程 C:x +y ﹣2x﹣4y+m=0. (1)当 m=﹣6 时,求圆心和半径; (2)若曲线 C 表示的圆与直线 l:x+2y﹣4=0 相交于 M,N,且 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)当 m=﹣6 时,方程 C:x +y ﹣2x﹣4y+m=0,可化为(x﹣1) +(y﹣2) =11, 即可求得圆心和半径; (2)利用圆心(1,2)到直线 l:x+2y﹣4=0 的距离公式可求得圆心到直线距离 d,利用圆 的半径、弦长之半、d 构成的直角三角形即可求得 m 的值. 2 2 2 【解答】解: (1)当 m=﹣6 时,方程 C:x +y ﹣2x﹣4y+m=0,可化为(x﹣1) +(y﹣2) 2 =11, 圆心坐标为(1,2) ,半径为 ; 2 2 (2)∵(x﹣1) +(y﹣2) =5﹣m, ∴圆心(1,2)到直线 l:x+2y﹣4=0 的距离 d= 又圆(x﹣1) +(y﹣2) =5﹣m 的半径 r= ∴( ) +(
2 2 2 2 2 2 2 2 2

,求 m 的值.

, , ,

) =5﹣m,得 m=4.

2

【点评】 本题考查圆的方程, 考查直线与圆的位置关系, 考查学生的计算能力, 属于中档题. 17.已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y﹣29=0 相 切. (1)求圆的方程; (2)若直线 ax﹣y+5=0(a≠0)与圆相交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(﹣2, 4)的直线 l 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 【考点】直线与圆的位置关系;直线与圆相交的性质. 【专题】综合题. 【分析】 (1)由题意圆心在 x 轴,且圆心横坐标是整数,设出圆心 M 的坐标,然后利用点 到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离 d,根据直线与圆相切,得到 d 与半径 r 相 等,列出关于 m 的不等式,求出不等式的解即可得到 m 的值,确定出圆心坐标,由圆心坐 标和半径写出圆的标准方程即可;

(2)假设符合条件的实数 a 存在,由 a 不为 0,根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1,由直 线 ax﹣y+5=0 的斜率表示出直线 l 方程的斜率,再由 P 的坐标和表示出的斜率表示出直线 l 的方程,根据直线 l 垂直平分弦 AB,得到圆心 M 必然在直线 l 上,所以把 M 的坐标代入直 线 l 方程中,得到关于 a 的方程,求出方程的解即可得到 a 的值,把求出的 a 的值代入确定 出直线 l 的方程,经过检验发现直线 ax﹣y+5=0 与圆有两个交点,故存在. 【解答】解: (1)设圆心为 M(m,0) (m∈Z) . 由于圆与直线 4x+3y﹣29=0 相切,且半径为 5, 所以 ,即|4m﹣29|=25.

即 4m﹣29=25 或 4m﹣29=﹣25, 解得 m= 或 m=1,

因为 m 为整数,故 m=1, 2 2 故所求的圆的方程是(x﹣1) +y =25; (2)设符合条件的实数 a 存在, ∵a≠0,则直线 l 的斜率为 ,l 的方程为 ,即 x+ay+2﹣4a=0.

由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上. 所以 1+0+2﹣4a=0,解得 经检验 .

时,直线 ax﹣y+5=0 与圆有两个交点, ,使得过点 P(﹣2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB.

故存在实数

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,以及直线与圆相交的性质.要求学生掌握直线与 圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径.根据直线 l 垂直平分弦 AB 得到圆心 M 必然 在直线 l 上是解本题第二问的关键. 18.如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平 面 ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求证;AE∥平面 BFD; (Ⅲ)求三棱锥 C﹣BGF 的体积.

【考点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【专题】计算题;证明题.

【分析】 (1)先证明 AE⊥BC,再证 AE⊥BF,由线面垂直的判定定理证明结论. (2)利用 F、G 为边长的中点证明 FG∥AE,由线面平行的判定定理证明结论. (3) 运用等体积法, 先证 FG⊥平面 BCF,把原来的三棱锥的底换成面 BCF,则高就是 FG, 代入体积公式求三棱锥的体积. 【解答】解: (Ⅰ)证明:∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC.又∵BF⊥平面 ACE,则 AE⊥BF ∴AE⊥平面 BCE. (4 分) (Ⅱ)证明:依题意可知:G 是 AC 中点, ∵BF⊥平面 ACE,则 CE⊥BF,而 BC=BE,∴F 是 EC 中点. (6 分) 在△ AEC 中,FG∥AE,∴AE∥平面 BFD. (8 分) (Ⅲ)解:∵AE∥平面 BFD,∴AE∥FG,而 AE⊥平面 BCE, ∴FG⊥平面 BCE,∴FG⊥平面 BCF, (10 分) ∵G 是 AC 中点,∴F 是 CE 中点,且 ∵BF⊥平面 ACE,∴BF⊥CE.∴Rt△ BCE 中, ∴ , (12 分)∴ , . (14 分)

【点评】本题考查线面平行与垂直的证明方法,利用等体积法求三棱锥的体积. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°, PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)证明 CD⊥AE; (2)证明 PD⊥平面 ABE; (3)求二面角 A﹣PD﹣C 的正切值.

【考点】二面角的平面角及求法. 【专题】计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)运用线面垂直的判定和性质定理即可得证 CD⊥AE;

(2)运用线面垂直的性质和判定定理,即可得到 PD⊥平面 ABE; (3)过 E 点作 EM⊥PD 于 M 点,连结 AM,由(2)知 AE⊥平面 PCD,则 AM⊥PD,则 ∠AME 是二面角 A﹣PD﹣C 的平面角.通过解三角形 AEM,即可得到所求值. 【解答】 (1)证明:∵PA⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD,∴PA⊥CD, 又 AC⊥CD,AC∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAC,又 AE?平面 PAC, ∴CD⊥AE; (2)证明:∵PA⊥底面 ABCD,AB?平面 ABCD∴PA⊥AB, 又 AD⊥AB,AD∩PA=A ∴AB⊥平面 PAD,又 PD?平面 PAD∴AB⊥PD, 由 PA=AB=BC,∠ABC=60°,则△ ABC 是正三角形. ∴AC=AB∴PA=PC ∵E 是 PC 中点∴AE⊥PC 由(1)知 AE⊥CD,又 CD∩PC=C∴AE⊥平面 PCD ∴AE⊥PD,又 AB⊥PD,AB∩AE=A ∴PD⊥平面 ABE; (3)解:过 E 点作 EM⊥PD 于 M 点,连结 AM, 由(2)知 AE⊥平面 PCD,则 AE⊥PD, 则 PD⊥平面 AEM,∴AM⊥PD, 则∠AME 是二面角 A﹣PD﹣C 的平面角. 设 AC=a,AD= = ,PA=A,PD= = a,

AM=

=

=



在 Rt△ AEM 中,AE=

a,EM=

=

=

a,

则 tan∠AME=

=

=



【点评】本题考查线面垂直的性质和判定定理及运用,考查空间二面角的求法,考查运算和 推理能力,属于中档题.
2 2

20.设函数 f(x)=a x (a>0) ,



(1)若函数 y=f(x)图象上的点到直线 x﹣y﹣3=0 距离的最小值为 ,求 a 的值; 2 (2)关于 x 的不等式(x﹣1) >f(x)的解集中的整数恰有 3 个,求实数 a 的取值范围; (3)对于函数 f(x)与 g(x)定义域上的任意实数 x,若存在常数 k,m,使得 f(x)≥kx+m 和 g(x)≤kx+m 都成立,则称直线 y=kx+m 为函数 f(x)与 g(x)的“分界线”.设 ,

,试探究 f(x)与 g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不 存在,请说明理由. 【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】转化思想;分析法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用;直线与圆. 【分析】 (1)直接运用点到直线的距离公式,然后求解即可得到答案; (2)关于由不等式解集整数的个数,然后求未知量取值范围的题目,可利用恒等变换,把 它转化为求函数零点的问题,即可求得 a 的范围; (3)分别画出 f(x) ,g(x)的图象,再令 f(x)=g(x) ,求得交点,求出与 y=f(x)相 切的直线,检验是否与 y=g(x)也相切,即可得到所求分界线. 2 2 【解答】解: (1)因为 f(x)=a x , 2 2 所以 f′(x)=2a x,令 f′(x)=2a x=1, 得:x= 则点( ,此时 y= , , ,

)到直线 x﹣y﹣3=0 的距离为



=
2

,解之得 a= 或



(2)不等式(x﹣1) >f(x)的解集中的整数恰有 3 个, 2 2 2 等价于(1﹣a )x ﹣2x+1>0 恰有三个整数解,故 1﹣a <0, 2 2 2 令 h(x)=(1﹣a )x ﹣2x+1,由 h(0)=1>0 且 h(1)=﹣a <0(a>0) , 2 2 所以函数 h(x)=(1﹣a )x ﹣2x+1 的一个零点在区间(0,1) , 则另一个零点一定在区间(﹣3,﹣2) , 这是因为此时不等式解集中有﹣2,﹣1,0 恰好三个整数解.



,即为
2

,解之得 ≤a< ;

(3)分别作出函数 f(x)= x ,g(x)= 发现它们有一个交点. 令 f(x)=g(x) ,可得 x +(x﹣ 解得 x= ,交点为( , ) , ) ,
4

的图象,

) =9,

2

可设与 y=f(x)相切的直线 l 方程为 y﹣ =k(x﹣ 由 f(x)的导数 f′(x)=x, 可得切线的斜率为 k= , 则切线 l 的方程为 x﹣y﹣ =0,

又 g(x)的图象是(

,0)为圆心,3 为半径的上半圆.

由圆心到直线 l 的距离为 d= 则直线 l 也与 y=g(x)的图象相切. 则直线 y=

=3,

x﹣ 即为 f(x) 、g(x)的分界线.

【点评】 此题主要考查点到直线距离公式的应用及不等式的解法, 此类型的题目需要仔细分 析再求解,综合性较强,有一定的技巧性.



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