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高中数学必修一至必修五知识点总结


高中数学必修 1 至必修 5 知识点总结(复习专用)

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富宁一中

必修 1 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A , 相反,a 不属于集合 A 记作 a ? A 二、集合间的基本关系 任何一个集合是它本身的子集。A ? A ②真子集:如果 A ? B,且 B ? A 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ? B(或 B ? A) 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.(即找公 共部分)记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。 (即 A 和 B 中所有的元素)记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) (即除去 A 剩下的元素组成的集合) 四、函数的有关概念 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、 对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的 定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的 定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 4.了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 7.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 a, b, 当 a<b 时, 都有 f(a)<f(b),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调 区间的概念) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 a,b,当 a<b 时,都有 f(a)>f(b),那么就说 f(x)在这个 区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 a,b;当 a<b 时,总有 f(a)<f(b) 。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调 性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减 函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:任取 a,b∈D,且 a<b;2 作差 f(a)-f(b);3 变形(通常是因式分解和配方) ;4 定号
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(即判断差 f(a)-f(b)的正负) ;5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关 注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能 没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则 -x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原 点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对 称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难, 可考虑根据是否有 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 10.函数最大(小)值(定义见课本) (1) 、利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值. (2) 、利用图象求函数的最大(小)值 (3) 、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区 间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减, 在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 第二章 基本初等函数 一、指数函数
m

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) , a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
r r r ?s (1) a ? a ? a (a ? 0, r , s ? R) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(a ? 0, r , s ? R) ;
s

(3) (ab) ? a a (a ? 0, r , s ? R) .
r

(二)指数函数及其性质 1、 指数函数的概念: 一般地, 函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数 (exponential function) ,
x

其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质
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a>1
6 5

0<a<1
6 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1
函数的定义域为 R 非奇非偶函数 + 函数的值域为 R

0 ? a ?1

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右 自左向右 看, 看, 图象逐渐 图象逐渐 上升 下降 在第一象 在第一象 限内的图象纵 限内的图象纵 坐标都大于 1 坐标都小于 1 在第二象 在第二象 限内的图象纵 限内的图象纵 坐标都小于 1 坐标都大于 1 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

a0 ? 1

增函数

减函数

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

(1)在[a,b]上, f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)]或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; (4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f (x 2 ) ; 二、对数函数 (一)对数
x 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N 的对数,记作:

x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式)
1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 说明:○ 2 a x ? N ? loga N ? x ; ○ 3 注意对数的书写格式. ○ 两个重要对数:

loga N

1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○
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对数式与指数式的互化

loga N ? x

?

ax ? N

对数式 指数式 ? 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: (1) loga (M ? N ) ? loga M + loga N ; (2)

log a

M ? loga M - loga N ; (3) loga M n ? n loga M N

(n ? R) .

注意:换底公式 loga b ?

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . logc a

利用换底公式推导下面的结论
n (1) log a m b ?

n log a b ; m

(2) loga b ?

1 . logb a

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的 定义域是(0,+∞) . 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 注意:○ (2)对数函数和指数函数的联系是 x 和 y 的位置 如: y ? 2 log2 x , y ? log 5 2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2

x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 5
0<a<1
3 2.5 2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1

函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点(1,0)
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函数的定义域为(0,+∞) 非奇非偶函数 函数的值域为 R

loga 1 ? 0

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自左向右看, 图象逐渐上 升 第一象 限的图象纵 坐标都大于 0 第二象 限的图象纵 坐标都小于 0 三、幂函数

自左向右看, 图象逐渐下 降 第一象 限的图象纵 坐标都大于 0 第二象 限的图象纵 坐标都小于 0

增函数

减函数

x ? 1, loga x ? 0 0 ? x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0 x ? 1, loga x ? 0

1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时, 幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点 时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时, 图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半 轴. 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1 、 函 数 零 点 的 概 念 :对于 函 数 y ? f ( x)(x ? D) , 把 使 f ( x) ? 0 成 立 的 实数 x 叫 做 函 数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点。
2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象 与 x 轴交点的横坐标。即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 3、函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用 ○ 函数的性质找出零点. 第一章 必修 2 立体几何初步
'

1.特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)

S圆柱侧 ? 2?rh

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
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S圆锥侧面积 ? ?rl S圆锥表 ? ?r?r ? l ?
2.柱体、锥体、台体的体积公式

V柱 ? Sh
1 V锥 ? Sh 3

V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

3. 球体的表面积和体积公式:

V求 ?

4 3 ?R S ? 4?R 2 3 ; 球面

4.空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和 宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α ? L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , α ? C ? 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 ? 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L β 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 P α ? L 1 空间的两条直线有如下三种关系: 共面直线
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相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;

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平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关, 为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0,

? 2

);

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a α a∩α =A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平 行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α

=>β ∥α
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b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交 线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a ∥α a β => a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a => a∥b β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L ⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面 垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 第三章 直线与方程 (1)直线的倾斜角
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定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。 即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 当 ? ? 0? ,90? 时, k ? 0 ; ②过两点的直线的斜率公式: k ?

?

?

? 当 ? ? 90? ,180? 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

?

?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标 都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

④截矩式: 别为 a , b 。

x y ? ? 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分 a b

⑤一般式: Ax ? By ? C 1 各式的适用范围 注意:○

? 0 (A,B 不全为 0)
2 特殊的方程如: ○ 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ;

平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ;

(6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
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A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? A x ? B y ? C ? 0 2 2 2 ?

方程组无解 ? l1 // l 2 ;

方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

(8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点, B x2 , y2) 则 | AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (9)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax 0 ? By 0 ? C 2 2
A ?B

(10)两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

第四章 圆与方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

(2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
D E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ?
2 2

?

2

2?

2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出 a, b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: ( 1 ) 设 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 , 圆 心 C ?a, b ? 到 l 的 距 离 为
d? Aa ? Bb ? C A ?B
2 2

,则有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离 =半径,求解 k,得到方程【一定两解】 2 2 2 (3) 过圆上一点的切线方程:圆 (x-a) +(y-b) =r ,圆上一点为 (x0 , y0) ,则过此点的切线方程为
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(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r

2

必修三 :辗转相除法与更相减损术(1)辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步 骤如下: ①用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 约数;若

S0 和一个余数 R0 ; ②若 R0 =0,则 n 为 m,n 的最大公

R0 ≠0,则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ;③若 R1 =0,则 R1 为 m,n 的最大 R1 ≠0,则用除数 R0 除以余数 R1 得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;??
Rn?1 即为所求的最大公约数。
依次计算直至

公约数;若

Rn

=0,此时所得到的

(2)更相减损术 ①任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。②以较大的 数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等 为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 (3)辗转相除法与更相减损术的区别: ①都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗 转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 ②从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差 相等而得到 8:秦九韶算法与排序 (1)秦九韶算法概念: n n-1 f(x)=anx +an-1x +?.+a1x+a0 求值问题 n n-1 n-1 n-2 n-2 n-3 f(x)=anx +an-1x +?.+a1x+a0=( anx +an-1x +?.+a1)x+a0 =(( anx +an-1x +?.+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次 多项式的值,即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0 这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 第二章:统计 1:简单随机抽样 类别 共同点 各自特点 相互关系 适用范围 简单随 抽样过程 从总体中逐个抽取 总体中的 机抽样 中每个个体被 个体数较少 系统抽 抽取的机会相 将总体均匀分成几部分,按 再起时部分抽样时 总体中的 等 样 事先确定的规则在各部分抽取 采用简单随机抽样 个数较多 分成抽 经总体分成几层,分层进行 各层抽样时采用简 总体由差 样 抽取 单随机抽样 异明显的几部 分组成 4:用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)样本均值: x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn n

(2)样本标准差: s ?

s2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息 会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 (3)众数:在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据(可以是多个) 。
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(4)中位数:在样本数据中,累计频率为 1.5 时所对应的样本数据值(只有一个) 。

第三章:概 率 2:概率的基本性质 (1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1 (2)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (3)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B= ? ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (4)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (5)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) (6)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生, 其具体包括三种不同的情形:① 事件 A 发生且事件 B 不发生;②事件 A 不发生且事件 B 发生;③事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形;④事件 A 发 生 B 不发生;⑤事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 3:基本事件 (1)基本事件:基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个,它是试验中不能再分 的最简单的随机事件。 (2)基本事件的特点:①任何两个基本事件是互斥的②任何事件(除不可能事件外)都可以表示成 基本事件的和。 4:古典概型: (1)古典概型的条件:古典概型是一种特殊的数学模型,这种模型满足两个条件: ①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有基本事件必须是有限个。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 p( A) ?

A所包含的基本事件的个数 总的基本事件个数

5:几何概型 (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: p( A) ?

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)几何概型的特点:①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;②每个基本事件出 现的可能性相等.

注意:几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个。其特点是在 一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关,值域该区域的大小 有关。如果随即事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为 0,则它出现的概率为 0, 但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为 1,但他 不是必然事件。
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综上可得:必然事件的概率为 1;不可能事件的概率为 0。 概率为 1 的事件不一定为必然事件;概率为 0 的事件不一定为不可能事件。 必修 4 三角函数(初等函数二)

第一章

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?
?
? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ?
?

?

?
? 180 ? ? ? ? 57.3 . ? ? ?
?

?
180

,1 ? ?

8、若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,

C ? 2r ? l , S ?

1 1 lr ? ? r 2 . 2 2

9 、 设 ? 是 一 个 任 意 大 小 的 角 , ? 的 终 边 上 任 意 一 点 ? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是

r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限 余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin
2 2 2 2

2

? ? cos2 ? ? 1

y P T v M A x

sin ? ? tan ? ? sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ? ; ? 2 ? cos ?
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 图 象 数

O

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R
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??1,1?

??1,1?

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x ? 2k? ?
最 值

?
2

x ? 2k? ? k ???

? k ??? 时 ,
?
2


时,

ymax ? 1
x ? 2 k? ? ?



当 既无最大值也无最 小值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

? k ???
ymin ? ?1.
周 期性 奇 偶性 在

? k ???
ymin ? ?1.







2?
奇函数

2?
偶函数

?
奇函数

? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?



? k ??? 上是增函数;
单 在 调性

?2k? ? ? , 2k? ?? k ???
是 增 函 数 ;

在 上 在

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ??? 上是减函数.
数.

? k ??? 上 是 增 函

? k ??? 上是减函数.
对称中心 对 称性 对称中心
? ? ? , 0 ? ?k ? ?? ? k? ? 2 ? ?

? k? ,0?? k ???
对称轴
x ? k? ?

对称中心
? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

对称轴

?
2

?k ? ??

x ? k? ? k ???
第二章 平面向量

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.
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⑶三角形不等式:

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b .
⑷运算性质: ① 交 换 律 :

? ? ? ? a ?b ? b ?a ;
②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ; ③a ?0 ? 0?a ? a . ⑸ 坐 标 运 算 : 设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则

?? ?
?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

?

?

C

?

?

? a

? ? a ? b ?? 1 x ? 2 ,x

1

y?? . 2y

? b
?

?

18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向

? ? ⑵ 坐 标 运 算 : 设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则
? ? a ? b ?? 1 x ? 2 ,x
1

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

量.

y?? . 2y

设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?

??? ?

? ?

? ?
?

??

? ?

?

?

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,a ? b ? a b ;当 a 与

?

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .
⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

?

?

? ?

?

?2

?

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2
第三章



三角恒等变换
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24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? ⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?( cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 ,sin ? ? ) . 2 2

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

26、 ? sin ? ? ? cos ? ?

? . ?

必修 5 第一章 解三角形 ??? C b 1、正弦定理:在 中, a 、 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接圆的半径, 则有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ? ④

a b c , sin ? ? , sin C ? ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R

a?b?c a b c . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C

(正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、已知两角和 一边,求其余的量。 ) 3、三角形面积公式: S???C

1 1 1 ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? , c ? a ? b ? 2ab cos C .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 5、余弦定理的推论: cos ? ? b ? c ? a , cos ? ? a ? c ? b , cos C ? a ? b ? c .

2bc

2ac

2ab

(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角)
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2 2

6、如何判断三角形的形状:设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c , 则 C ? 90 ;
?

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 ? 2 2 2 ?

附:三角形的四个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点 第二章 数列 11、 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 则这个数列称为等差数列, 这个常数称为等差数列的公差.符号表示: an?1 ? an ? d 。注:看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①

an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数

12、 由三个数 a ,? ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列, 则 ? 称为 a 与 b 的等差中项. 若

b?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2
13、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

14、通项公式的变形:① an ④n ?

? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?


an ? a1 n ?1



an ? a m an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d

* 15、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an * 等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2an

? ap ? aq ;若 ?an ? 是

? ap ? aq .
n ? a1 ? an ? 2
;②

16 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 : ①

Sn ?

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d .③ 2

sn ? a1 ? a2 ??? an
18、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列, 这个常数称为等比数列的公比.符号表示:

an ?1 ? q (注:①等比数列中不会出现值为 0 的项;②同号位 an

上的值同号) 注:看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)
2 ② an ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n ?1 a n ?1 ? 0 )

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③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ logx a n }( x ? 1 )成等比数列.

G ,b 成等比数列, 19、 在 a 与 b 中间插入一个数 G , 使a, 则 G 称为 a 与 b 的等比中项. 若 G ? ab ,
2

则称 G 为 a 与 b 的等比中项. (注:由 G ? ab 不能得出 a , G , b 成等比,由 a , G , b ? G ? ab )
2 2

20、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 . 21、通项公式的变形:① an

? amqn?m ;
2

22、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是等比 数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 an

? ap ? aq .

23 、 等 比 数 列

?an ?

?na1 ? q ? 1? ? 的 前 n 项 和 的 公 式 : ① Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ② ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q

sn ? a1 ? a2 ??? an
24、对任意的数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

③非零 常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 附:数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ? 阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.

?

c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含 ? an an?1 ?

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第三章 不等式 一元二次不等式的求解: 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)解的讨论.

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图 象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。 11、设 a 、 b 是两个正数,则

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a?b ? ab . 2

12、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 13、常用的基本不等式: ① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;
2 2

② ab ?

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2
2

? a?b ? ③ ab ? ? ? ? a ? 0, b ? 0? ; ? 2 ?

2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ④ ?? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ?

14、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有: ⑴若 x ? y ? s(和为定值) , 则当 x ? y 时, 积 xy 取得最大值 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

s2 . ⑵若 xy ? p(积为定值) , 则当 x ? y 4

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