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高考数学空间向量与立体几何总复习



空间向量与立体几何总复习
一、知识网络构建
空间向量运算的几何表示 (如平行四边形法则)

空间向量的定 义及其运算

用空间向量表示 点、线、面等元素

建立空间图形与 空间向量的联系

利用空间向量运算 解决立体几何问题

空间向量运算的坐标表示 (加减法、

数乘、数量积)

定义 加法 空间向量 减法 数量积 坐标表示

运算

立 体 几 何 中 的 向 量 方 法

垂直关系 平行关系 空间距离 空间角

二、课标及考纲要求
空 间 向 量 与 立 体 几 空间 向量 空间 向量 及其 运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程 ② 了解空间向量的概念、基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解 及其坐标表示 ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量 的共线与垂直 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量 ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系



的运 用

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理 ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方 法在研究几何问题中的作用

三、知识要点及考点精析
(一)空间向量及其运算 1.空间向量的概念 在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模. 还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线向量等. 2.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加法、减法和数乘运算 平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算.加法 运算对于有限个向量求和, 交换相加向量的顺序其和不变. 三个不共面的向量的和等于以这 三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.加法和数乘运算满足运算律: ①交换律,即 a + b = b + a ; ②结合律,即 (a + b) ? c ? a ? (b + c) ; ③分配律,即 (? ? ? )a = ?a + ? a 及 ? (a + b) ? ?a ? ?b (其中 ?,? 均为实数) . (2)空间向量的基本定理 ① 共线向量定理:对空间向量 a,b (b ? 0),a ∥b 的充要条件是存在实数 ? ,使

a = ? b.
② 共面向量定理:如果空间向量 a,b 不共线,则向量 c 与向量 a,b 共面的充要条件是, 存在惟一的一对实数 x, y ,使 c = xa + yb . ③ 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有 序实数组 x , y , z ,使 p = xa + yb+ zc .其中 {a,b,c} 是空间的一个基底,a, b, c 都叫做基向量,该定理可简述为:空间任一向量 p 都可以用一个基底 {a,b,c} 惟一线性 表示(线性组合) . (3)两个向量的数量积 两个向量的数量积是 a ? b= |a||b|cos<a, b>,数量积有如下性质: a, b, c

① a ? e= |a|cos<a, e>(e 为单位向量) ; ② a ? a ? a ? b= 0 ; ③ a ? a=|a| ;
2

④ |a ? b| ? | a||b|. 数量积运算满足运算律: ①交换律,即 a ? b= b ? a; ②与数乘的结合律,即( ? a) b= ? (a ? b) ; ? ③分配律,即(a+b) c =a ? c +b ? c. ? 3.空间向量的坐标运算 (1) 给定空间直角坐标系 O ? xyz 和向量 a, 存在惟一的有序实数组使 a = a1i + a2 j + a3k , 则 (a1,a2,a3 ) 叫作向量 a 在空间的坐标,记作 a = (a1,a2,a3 ) . (2)空间向量的直角坐标运算律 ①若 a = (a1,a2,a3 ),b = (b1,b2,b3 ) ,则 a + b ? (a1 ? b1,a2 ? b2,a3 ? b3 ),

a ? b ? (a1 ? b1,a2 ? b2,a3 ? b3 ) , ?a ? (?a1,?a2,?a3 ) ,a ? b ? (a1b1 , a2 b2 , a3b3 ) .

a ∥b ? a1 ? ?b1,a2 ? ?b2,a3 ? ?b3 (? ?R) , a ⊥ b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 .
②若 A( x1,y1,z1 ),B( x2,y2,z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1,y2 ? y1,z2 ? z1 ) .即一个向量在直 角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 4.直线的方向向量与向量方程 (1)位置向量:已知向量 a,在空间固定一个基点 O ,作向量 OA ? a ,则点 A 在空间的 位置被 a 所惟一确定,a 称为位置向量. (2)方向向量与向量方程:给定一个定点 A 和一个向量 a,再任给一个实数 t ,以 A 为起 点作向量 AP ? t a,则此向量方程称为动点 P 对应直线 l 的参数方程,向量 a 称为直线 l 的 方向向量. 典型例题分析: 例 1.若 AB =( 2 x ,1,3), CD =(1,- 2 y ,9),如果 AB 与 CD 为共线向量,则( )

??? ?

??? ?

A . x ?1 , y ?1 D. x ? ? 答案: C

B. x?

1 1 , y?? 2 2

C. x?

1 3 , y?? 6 2

3 1 ,y? 2 6

例 2.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 k a+b 与 2 a-b 互相垂直,则 k 的值 是( ) B.

A. 1 答案: D

1 5

C.

3 5

D.

7 5

例 3.已知 AB =(2,2,1), AC =(4,5,3),求平面 ABC 的单位法向量. 解:设平面 ABC 的法向量 n=(x,y,1),则 n⊥ AB 且 n⊥ AC ,即 n· AB =0,且 n· AC =0, 即

1 ? ?2 x ? 2 y ? 1 ? 0, ? x ? , 即? 2 ? ?4 x ? 5 y ? 3 ? 0, ? y ? ?1, ?
(二)立体几何中的向量方法

∴n=(

1 1 2 2 ,-1,1),单位法向量 n=±( ,- , ). 2 3 3 3

1.利用向量法确定直线、平面间的平行、垂直等位置关系 设直线 l1 的方向向量是 u1 ? (a1,b1,c1 ) ,直线 l2 的方向向量是 u2 ? (a2,b2,c2 ) ,平面 ? 的法 向量是 v1 ? ( x1,y1,z1 ) ,平面 ? 的法向量是 v 2 ? ( x2,y2,z2 ) ,则有如下结论成立: (1) l1 ∥ l2 ? u1∥u2 ? u1 ? k u2 ? a1 ? ka2 , b1 ? kb2 , c1 ? kc2 ;
· (2) l1 ? l2 ? u1 ? u2 ? u1 u2 ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0 ; · (3) l1 ∥ ? ? u1 ? v1 ? u1 v1 ? 0 ? a1 x1 ? b1 y1 ? c1 z1 ? 0 ;

(4) l1 ?

? ? u1 ∥ v1 ? u1 ?

k v1 ? a1 ? kx1 , b1 ? ky1 , c1 ? kz1 ;

(5) ? ∥ ? ? v1 ∥ v2 ? v1 ? k v 2 ? x1 ? kx2,y1 ? ky2,z1 ? kz2 ;
· (6) ? ? ? ? v1 ? v2 ? v1 v2 ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 .

第一部分:平行问题 ① 利用空间向量解决线线平行问题 (06 山东模拟) 已知直线 OA ? 平面 ? , 直线 BD ? 平面 ? ,O, B 为垂足. 求证:OA ∥ BD .

证明: 以点 O 为原点, 以射线 OA 为非负 z 轴, 如图 1, 建立空间直角坐标系 O ? xyz ,i,j,k
???? 为沿 x,y,z 轴的单位向量,且设 BD ? ( x,y,z ) .

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∵ BD ? ? , BD ? i ,BD ? j , BD i ? ( x,y,z· (1 0, ? x ? 0 , ∴ ∴ · ) , 0)

??? ? ) 1 , BD j ? ( x,y,z· (0,0) ? y ? 0 . ·
??? ? ??? ? ??? ? · ∴ BD ? (0, z) ,∴ BD ? z k .∴ BD ∥ k ,即 OA ∥ BD . 0, ??? ? ??? ? 点评:由向量的共线的充要条件知,只要证明 OA ? ? BD 即可.

② 利用空间向量解决线面平行问题 (06 山西模拟)已知 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱, D 是 AC 的中点,求证: AB1 ∥ 平面 DBC1 . 证法 1:建立如图 2 的空间直角坐标系 A ? xyz .设正三棱柱的底面边长为 a ,侧棱长为 b ,
? 3 a ? ? 3 a ? ? a ? 则 A(0, 0) B ? 0,, ? a, ,?,C1 (0,a,b),B1 ? 0? a, ,b ?,D ? 0,,? . 0 ? 2 2 ? 2 2 ? ? 2 ? ? ? ?

设平面 DBC1 的法向量为 n ? ( x,y,z ) ,
???? ? 3 a ? ? ? ? ??? ? ? ???? ? a 3 ? 则 AB1 ? ? 0,? DC ? 2 a,,b ?, ? ? ? 2 a, 0 ?, 1 ? ? 0,,b ? . ? BD ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?
? ? ??? 3 · ax ? 0, ? x ? 0, ?n BD ? ? ??? ? ???? ? ? ? 2 由 n ? BD , n ? DC1 ,得 ? ∴? a ???? a ? ?n DC ? y ? bz ? 0, ? z ? ? 2b y. · ? 1 ? ? 2 a ? ? 1 , 取得 y ? 1 ,得 n ? ? 0, ? ? . 2b ? ?

???? ? ? 3 a ?? a ? 由 AB1 n ? ? · · , ? 2 a, ,b ? ? 0, ? 2b ? ? 0 , ?? 1 2 ? ? ?

???? ? 得 AB1 ? n ,即 AB1 ∥ 平面 DBC1 .
??? ? ??? ? ???? 证法 2:如图 3,记 AB ? a, ? b, 1 ? c , AC AA

???? ? ??? ??? ???? ? ? ? ? 1 ???? ???? ???? 1 则 AB1 ? a ? c, ? AB ? AD ? a ? b, 1 ? DC ? CC1 ? b + c . DB DC 2 2 ??? ???? ? ? ???? ? ??? ???? ???? ? ? ? ∴ DB ? DC1 ? a ? c ? AB1 ,∴ DB DC1, 1 共面. , AB
又∵ B1 ? 平面 C1 BD ,∴ AB1 ∥ 平面 DBC1 . 点评:用向量证明线面平行问题通常有两种方法:①向量 p 与两个不共线的向量 a,b 共面

的充要条件是存在惟一的有序实数对 ( x,y) ,使 p ? xa ? yb .利用共面向量定理可证明线面
· 平行问题,如证法 2.②设 n 为平面 ? 的法向量,要证明 a ∥ ? ,只需证明 a n ? 0 ,如证法

1. ③ 利用空间向量解决面面平行问题
E 例题: 已知正方体 AC1 的棱长为 1, ,F,G 分别为 AB,AD,AA1 的中点, 求证: 平面 EFG ∥

平面 B1CD1 . 证明:建立空间直角坐标系 D ? xyz ,
, 0) , ,, 1 ,, 0,, ,1) , ,, 0, 则 A(1 0,,B(11 0) C (0,0) D(0, 0) A1 (1 0,,B1 (111) D1 (0,1) .

1? ? 1 ? ?1 ? ? , 0 0, , 得 E ?1 ,?,F ? , 0 ?,G ?1 0, ? . 2? ? 2 ? ?2 ? ?

设 n1 ? ( x1,y1,z1 ) 为平面 EFG 的法向量,设 n2 ? ( x2,y2,z2 ) 为平面 B1CD1 的法向量.
, , , , 空间计算: n1 ? (1 ? 1 ? 1),n2 (1 ? 1 ? 1) .

由 n1 ? n2 ,得平面 EFG ∥ 平面 B1CD1 . 点评:设 n1,n2 分别为平面 ?,? 的法向量,要证 ? ∥ ? ,只需证明:存在一个非零常数 ? , 满足 n1 ? ? n2 ,则 ? ∥ ? .其实本题也可转化为线线平行,则面面平行.即用向量先证明
???? ??? ? ? ????? ??? ? D1C ∥GE , D1B1 ∥ EF ,则有线面平行,从而平面 EFG ∥ 平面 B1CD1 .

第二部分:垂直问题 ① 利用空间向量解决线线垂直问题
, (2003 年高考题) 已知正四棱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,AB ? 1 AA1 ? 2 , E 点

为 CC1 中点,点 F 为 BD1 中点.证明: EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线. 证明:如图 1,在以 C 为的原点的空间直角坐标系中,
?1 1 ? B(0,0) D1 (1 0,,C1 (0, 2) E (0,1) F ? ,, . 1 ,, , 2) 0,, 0,, 1? ?2 2 ? ??? ? 1 1 ? ???? ? ? ???? ? 0 由 EF ? ? , ,? , CC1 ? (0, 2) BD1 ? (1 ? 1 2) , 0,, ,, ?2 2 ? ??? ???? ? ? ??? ???? ? ? 得 EF BD1 ? 0, · CC1 ? 0 ? EF ? BD1,EF ? CC1 . · EF

∴EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线.
??? ???? ? ? 点评:把推理论证( EF ? CC1 )用向量运算( EF CC1 ? 0 )来代替,减少了构造辅助图形, ·

降低了思维量. ② 利用空间向量解决线面垂直问题 (2005 年高考题) 如图 2, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD ,

AB ? 3,BC ? 1 PA ? 2,E 为 PD 的中点,在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC ,

解:如图 2,在以 A 为原点的空间直角坐标系中,
? 1 ? C ( 3,0) D(0,0) P(0, 2) E ? 0, , . 1 ,, 1 ,, 0,, 1? ? 2 ? ??? ? ? ??? ? 1 ? ???? 1 AC 1 ,, 0, 设 NE ? ? ? x,,? z ?, ? ( 3,0) AP ? (0, 2) . 2 ? ? ??? ???? ? ? NE AC ? 0, ? · 由 NE ? 面 PAC ,得 ???? ??? ? ? ? NE AP ? 0, ? ·

? 1 ? 3 , ? ? 3 x ? ? 0, ? x ? ?? 即? 2 6 ?z ? 1 ? 0 ? z ? 1. ? ?

? 3 ? ∴ N ? ,1 ? . ? 6 0, ? ? ?

点评:按照传统方法,要构造三条辅助线,多解两个三角形,画图、看图以及计算都增加了 难度.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系,把几何问题代数化,降低了难度. ③ 利用空间向量解决面面垂直问题 (07 北京海淀)如图 3,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,O 为 AC 与 BD 的交点,G 为 CC1 的 中点,求证:平面 A1 BD ? 平面 GBD . 分析:要证明平面 A1 BD ? 平面 GBD ,只要证明平面内的一条直 线 A1O 垂直于平面 GBD 中的两条相交直线即可,而从图中观察, 证 A1O ? BD,A1O ? OG 较容易成功.
???? ? ????? ???? 证明:设 A1B1 ? a,1 D1 ? b,1 A ? c . A A
· · · 则 a b ? 0,b c ? 0,a c ? 0 .

???? ???? ???? ???? 1 ??? ???? ? ? 1 而 AO ? A1 A ? AO ? A1 A ? ( AB ? AD) ? c ? (a ? b) , 1 2 2 ??? ???? ??? ? ? BD ? AD ? AB ? b ? a , ???? ???? ??? 1 ??? ???? 1 ???? 1 ? ? ? 1 OG ? OC ? CG ? ( AB ? AD) ? CC1 ? (a ? b) ? c , 2 2 2 2 ???? ??? ? ? 1 ∴ AO BD ? c b ? c a ? (b2 ? a 2 ) ? 0 , · · 1 · 2 ???? ???? 1 2 ? 1 ∴ AO OG ? (a ? b2 ) ? c 2 ? 0 . 1 · 4 2
∴ A1O ? BD , A1O ? OG .

又∵ BD ? OG ? O ,∴ A1O ? 平面 BDG . 又 A1O ? 平面 A1 BD ,

∴平面 A1 BD ? 平面 GBD .
点评:向量 a 垂直于向量 b 的充要条件是 a ? b ? 0 ,据此可以证明直线与直线垂直,进而 还可证明直线与平面垂直及两个平面垂直. 在证明一对向量垂直时, 往往用一组基底先表示 这一对向量,再考虑它们的数量积是否为零. 2.利用空间向量解决空间距离问题 (1)利用空间向量求线线距离 如图 1,若 CD 是异面直线 a,b 的公垂线段, A,B 分别为 a,b 上的任意两点. 则两异面直线 a,b 间的距离为 d ?

??? ? AB n · n

(其中 n 与 a,b 垂直, A,B 分别为两异面直线上的任意两点) . 例题:如图 2,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 A1 B1 的中点.求异面直线 D1 E 和 BC1 间 的距离? 解析:设正方体棱长为 2,以 D1 为原点,建立如图 2 所示的空间直角坐标系,
???? ? ???? ? 则 D1E ? (21 0) C1B ? (2, 2) . , ,, 0,
, 设 D1 E 和 BC1 公垂线段上的向量为 n ? (1 ?,? ) ,

???? ? ?n D1 E ? 0, ?2 ? ? ? 0, ?? ? ?2, ?· ∴? 则 ? ???? 即? ? ?n C1 B ? 0, ?2 ? 2? ? 0, ? ? ? ?1. ?·
∴n ? (1 ? 2, 1) . , ?

????? ? D1C1 n · ????? ? 4 2 6 又 D1C1 ? (0, 0) ,∴ , 2, ? ? n 3 6
所以异面直线 D1 E 和 BC1 间的距离为 (2)利用空间向量求点面距离 如图 3,已知 AB 为平面 ? 的一条斜线段, n 为平面 ? 的法向量.
2 6 . 3

??? ? AB n · ???? 则点 A 到平面 ? 的距离 AC ? . n
例题: 如图 4, 已知 ABC ? A1 B1C1 是各条棱长均等于 a 的正三棱柱,D 是侧棱 CC1 的中点. 求 点 C 到平面 AB1 D 的距离. 解析:∵ ABB1 A1 为正方形,∴ A1 B ? AB1 .

易得平面 AB1 D ? 平面 ABB1 A1 ,
∴ A1 B ? 面 AB1 D ,

???? ∴ A1 B 是平面 AB1 D 的一个法向量.

设点 C 是平面 AB1 D 的距离为 d , ???? ???? ???? ???? ??? ? AC A1 B · AC ( A1 A ? AB) · 0 ? a ? a ? cos 60° 2 ? ? a 则 d ? ???? ? 4 2a 2a A1 B (3)利用空间向量求线面、面面距离 注意: 利用空间向量求线面、 面面距离的问题显然可以转换成利用空间向量求点面距离的问 题 例题:如图 5,已知边长为 4 2 的正三角形 ABC 中, E, F 分别为 BC 和 AC 的中点, PA ? 面 ABC ,且 PA ? 2 ,设平面 ? 为 PF 且与 AE 平行.求 AE 与平面 ? 间的距离?
??? ??? ??? ? ? ? , , 解析:设 AP AE EC 的单位向量分别为 e1,e2,e3 ,选取 ?e1,e2,e3? 作为空间向量的一个基

底.
· · · 易知 e1 e2 ? e1 e3 ? e2 e3 ? 0 ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? AP ? 2e1, ? 2 6e2, ? 2 2e3, ? PA ? ( AE ? EC) ? ?2e1 ? 6e2 ? 2e3 . AE EC PF 2
设 n ? xe1 ? ye2 ? e3 是平面 ? 的一个法向量,

??? ? ??? ? ??? ? ?n AE ? 0, ?· 则 n ? AE,n ? PF .∴ ? ??? ? ?n PF ? 0. ?·
? y ? 0, ?2 6 y e2 2 ? 0, 2 ? ? ?? e1 ? e3 . 即? 2 ∴n ? 2 2 2 2 , ??2 x e1 ? 6 y e2 ? 2 e3 ? 0 ? x ? ? ? 2

∴直线 AE 与平面 ? 间的距离 d ?

???? AP n · n

?

? 2 ? 2e1 ? · e1 ? e3 ? ? 2 ?
2

?

2 e1 ? e3 2

2

2 3 . 3

例题:如图 6,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中.求平面 AB1C 与平 面 A1C1 D 间的距离. 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,易知平面 AB1C 与平面 A1C1 D 平行.
1) 设平面 A1C1 D 的一个法向量 n ? ( x,y, ,

???? ? ?n DA1 ? 0, 1) ,1) · , ?( x,y, (1 0, ? 0, ? x ? ?1 ?· 则 ? ???? ,即 ? ?? ? 1) 11) · , , ?( x,y, (0, ? 0 ? y ? ?1 ?n DC1 ? 0, ?·
∴n ? (?1 ? 11) . , ,

∴平面 AB1C 与平面 A1C1 D 间的距离 d ?
3.利用空间向量解决空间角问题 (1)利用空间向量求线线角

???? AD n · n

?

(?1 0,· (?1 ? 11) , 0) , , (?1) ? (?1) ? 1
2 2 2

?

3 . 3

设两异面直线 a,b 所成的角为 ?,a,b 分别是 a,b 的方向向量,注意到异面直线所成角的 范围是 ? 0° 90°? ,则有 cos ? ? cos a,b ? ,
ab · a b



(2006 广东模拟) 已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB ? 2,AF ? 1 . 试 在线段 AC 上确定一点 P ,使得 PF 与 CD 所成的角是 60° .
??? ? 如图 1,建立空间直角坐标系 C ? xyz ,则 CD ? ( 2, 0) F ( 2,2, . 0,, 1) ??? ? 设 P(t,t, ≤t ≤ 2) ,得 PF ? ( 2 ? t,2 ? t, . 0)(0 1)

又∵PF 和 CD 所成的角是 60° ,
cos 60 ? ( 2 ? t· 2 ) ( 2 ? t )2 ? ( 2 ? t )2 ? 1 2 ·



解得 t ?

2 3 2 或t ? (舍去) ,即点 P 是 AC 的中点. 2 2

点评:采用传统的平移法求异面直线所成角的大小,免不了要作辅助线和几何推理.这里运 用向量法,没有了这些手续,显得便当快捷. (2)利用空间向量求线面角 如图 2,点 P 在平面 ? 外, M 为 ? 内一点,斜线 MP 和平面 ? 所成的角为 ? ,
, n 为 ? 的一个法向量,注意到斜线和平面所成角的范围是 (0° 90° ),则有

??

π ???? ? MP,n ,结合向量的夹角公式便可求 ? . 2

, (05 山东模拟)在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB ? 1 D 在棱 BB1 上,

且 BD ? 1,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ? ,则 sin ? ? (



A.

3 2

B.

2 2

C.

10 4

D.

6 4

解:取 AC 中点 E ,连结 BE ,则 BE ? AC ,如图 3,建立空间直角坐标系 B ? xyz ,则
???? ? ? 3 1 ? 3 1 ? A ? ,,?,D(0,1) ,则 AD ? ? ? , , . 0? 0, ? 2 2 ? 2 ? 2 1? ? ? ? ? ?

∵平面 ABC ? 平面 AA1C1C , BE ? AC , ∴BE ? 平面 AA1C1C .
??? ? 3 ? ? ∴ BE ? ? , 0 ? 为平面 AA1C1C 的一个法向量. ? 2 0,? ? ?
???? ??? ? 6 ∴ cos AD, ? ? BE . 4

? π? 6 ? ???? ??? ∴ sin ? ? sin ? AD BE ? ? ? , ,选(D) . 2? 4 ?

点评:利用向量法求空间角,其操作只须按步骤进行,数值计算十分简单,对空间想象力和 几何的逻辑推理能力要求不高,显得简洁明了. (3)利用空间向量求面面角 注意:求面面角的问题关键还是转化成求线线角,一般来说求二面角有两种方法: 如图 4, OA,O ?B 分别在二面角 ? ? l ? ? 的两个面内且垂直于棱,

m,n 分别是 ?,? 的一个法向量,则可利用向量的夹角公式结合
以下角度关系之一求二面角的大小:

??? ???? ? ? 方法一: OA O?B 等于二面角的平面角; ,
方法二: m,n 与二面角的平面角相等或互补. (05 云南一模)如图 5, 在三棱锥 S ? ABC 中,△ ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC ? 平面 ABC ,SA ? SC ? 2 3 ,M,N 分别为 AB,SB 的中点,求二面角 N ? CM ? B 的余弦值. 解:取 AC 中点 O ,连结 OS,OB .
∵ SA ? SC,AB ? BC ,
∴ AC ? SO ,且 AC ? BO .

又∵平面 SAC ? 平面 ABC ,
∴ SO ? 平面 ABC ,∴ SO ? BO .

如图 5 所示,建立空间直角坐标系 O ? xyz . 则 A(2,0) B(0, 3 0) C(?2,0) S (0,2 2) , 0,, 2 ,, 0,, 0,
???? ? ???? ? M (1 3 0) N (0,3 2), ? (3 3, , MN ? (?1 0,2) ,设 n ? ( x,y,z ) 为平面 CMN 的一 , ,, , CM , 0) ,

个法向量,则

???? ? ?CM n ? 3x ? 3 y ? 0, ? · ? ????? ?MN n ? ? x ? 2 z ? 0, ? ·

取 z ? 1 ,则 x ? 2 y ? ? 6

则 n ? ( 2, 6, . ? 1)

??? ? ??? ? ??? ? n OS 1 · 又 OS ? (0, 2 2) 为平面 ABC 的一个法向量, ∴cos n, ? ??? ? . 0, OS ? n OS 3

∴二面角 N ? CM ? B 的余弦值为

1 . 3

点评:利用向量法求空间角的大小,经常用到平面的法向量.求法向量的方法主要有两种: ① 求平面的垂线的方向向量; ② 利用法向量与平面内两个不共线向量数量积为零列方程组求. 4.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中涉及的点、线、 面,从而把立体几何问题转化为向量问题(几何问题向量化) ; (2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题(进 行向量运算) ; (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义(回归几何问题) .

四、易错点分析
1.类比平面向量,是掌握空间向量的最好方法,平面向量的加、减、数乘等坐标运算公式 及运算律对空间向量仍然成立. 虽然共面向量定理由两个约束条件变为三个约束条件, 坐标 由两个有序实数推广到三个有序实数, 但其运算规律实质上是一样的. 例如线段的定比分点 坐标公式(包括中点坐标公式、重心坐标公式)在空间直角坐标系中依然适用,有向线段表 示向量的坐标仍然是终点减去始点坐标,平行、垂直的充要条件,夹角、距离公式等仍然适 用. 2.用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何定理.如要证明线面平行,只需要 证明平面外一条直线和平面内的一条直线平行, 即化归为证明线线平行, 用向量方法证明直 线 a ∥ b ,只需要证明 a ? ? b ( ? ? R )即可.

3.空间两条直线之间的夹角是不超过 90 的角,因此,如果按照公式求出来的向量的数量 积是一个负数,则应当取其绝对值,使之变为正值,这样求得的角为锐角. 4.利用法向量求二面角时,要注意法向量的方向问题,结合二面角的大小,这样最后确定 所求得的角到底是二面角还是二面角的补角. 5.在具体应用空间向量解决立体几何问题时要注意以下几点: (1)平行问题 ? 向量共线,注意重合 (2)垂直问题 ? 向量的数量积为零,注意零向量 (3)距离问题 ? 向量的模,注意向量的垂直 (4)求角问题 ? 向量的夹角,注意角范围的统一 6.解决立体几何问题的三种方法的比较 解决立体几何中的问题,可用综合法、向量法和坐标法.一般我们遵循的原则是:以综 合法为基础、以向量法为主导、以坐标法为中心. (1)综合法是以逻辑推理为工具,利用立体几何的知识,运用空间观念解决问题的方法, 其显著特点是在证题时经常需要构造辅助线、辅助面、逻辑思维量大,要求具有比较强的空 间想象能力. (2)向量法是根据空间向量的基本定理,运用向量的几何意义及向量数量积的概念解决立 体几何的方法, 是几何问题代数化的重要体现. 其显著特点是可以避开纷繁复杂的逻辑推理, 使解题过程变的明快、简捷. (3)坐标法是通过建立空间直角坐标系,设出点的坐标,利用向量的坐标运算来解决立体 几何问题的方法.坐标法关键是在于构建合适的空间直角坐标系. 注:构建空间直角坐标系主要有四种途径: ① 利用共顶点的两两垂直的三条不共面的直线构建直角坐标系; ② 利用线面垂直的位置关系构建直角坐标系; ③ 利用面面垂直的位置关系构建直角坐标系; ④ 利用正多边形的中心与几何体高所在直线构建直角坐标系.

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五、作者寄语
用向量研究立体几何问题是立体几何研究思路的一场革命. 由于向量兼俱数和形的双重 特征, 使得立体图形中的位置关系转化为代数中的数量关系如同探囊取物, 特别是据题目条 件可以建立空间直角坐标系时, 这种优越性便发挥的淋漓尽致, 求解思路也将有效地避开立

体几何中繁琐的位置关系的演化,而变得直截了当,变得清晰、自然和流畅.可以毫不客气 地说: “只要建立了空间直角坐标系,剩下的便是纯属运算的问题了. ”



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