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高二数学选修2-3第一章 计数原理



1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
一、三维目标 1.知识与技能: (1)理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理; (2)会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题; 2.过程与方法: (1)通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分析能力; (2)通过对两个原理的应用,提高学生对数学知识的应用能力; 3.情感态度与价值观: (1)了解学习

本章的意义,激发学生的学习兴趣 ; (2)引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式. 二、教学重点难点 1.重点:理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 2.难点:弄清楚“一件事”指的是什么,分清是“分类”还是“分步” 新知传授 1 分类加法计数原理 提出问题问题 1.1:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.如果一天中火车有 3 班,汽车 有 2 班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 探究:你能说说以上两个问题的特征吗? 分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 在第 2 类方案中有

N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn

种不同的方法.

理解分类加法计数原理: 分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独 立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2 分步乘法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 在第 2 类方案中有

m 种不同的方法,

n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N ? m ? n 种不同的方法.

探究:如果完成一件事需要三个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不 同的方法,做第 3 步有 m3 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法? 如果完成一件事情需要 n 个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数 呢? 一般归纳:完成一件事情,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有

m2 种不同的方法??做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有

m 种不同的方法,

N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn

种不同的方法.

n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N ? m ? n 种不同的方法.

变式:若还有 C 大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、人力资源学.那么,这名同学可 能的专业选择共有多少种? 探究:如果完成一件事有三类不同方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方 案中有 m2 种不同的方法,在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不 同的方法? 如果完成一件事情有 n 类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数 呢? 一般归纳:完成一件事情,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办 法中有 m2 种不同的方法??在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有

理解分步乘法计数原理: 分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完 成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事. 3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法 相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件 事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各 个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完 成这件事,是合作完成. 例题分析 例 1. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置, 问共有 种不同的挂法? 练习 1.填空: ( 1 )一件工作可以用 2 种方法完成,有 5 人只会用第 1 种方法完成,另有 4 人只会 用第 2 种方法完成,从中选出 l 人来完成这件工作,不同选法的种数是____ ; ( 2 )从 A 村去 B 村的道路有 3 条,从 B 村去 C 村的道路有 2 条,从 A 村经 B 的路线有_____条.

第 1 页 共 1 页

2.现有高一年级的学生 3 名,高二年级的学生 5 名,高三年级的学生 4 名. ( 1 )从 中任选 1 人参加接待外宾的活动,有____种不同的选法? ( 2 )从 3 个年级的学生中各 选 1 人参加接待外宾的活动,有____种不同的选法? 例 2.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态,而这也是最容易控制 的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法,即二进制.为 了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或多个字节来表示,其 中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由 8 个二进制位构成.问: (1)一个字节( 8 位)最多可以表示 个不同的字符? (2)计算机汉字国标码(GB 码)包含了 6763 个汉字,一个汉字为一个字符,要对这些汉 字进行编码,每个汉字至少要用 个字节表示? 练习:1.乘积 (a1 ? a2 ? a3 )(b1 ? b2 ? b3 )(c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ) 展开后共有 项?

② ① ③ 图一



① ③ ② 图二 ④ ②

① ③ ④

图三

2.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成,其中前四位的数字是不变的,后四位 数字都是。到 9 之间的一个数字,那么这个电话局不同的电话号码最多有 个? 3.从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名,有 种不同的选法? 4.某商场有 6 个门,如果某人从其中的任意一个门进人商场,并且要求从其他的门出去, 共有 种不同的进出商场的方式? 例 1.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有 条? 例 2 .如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色 使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有 种?

若变为图二,图三呢? 5.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,报名方法的种数为多少?又他们争夺 这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少种? 6.(2007 年重庆卷)若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间 分成( ) A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 教学反思: 分步乘法计数原理:首先确定分步标准,其次满足:必须并且只需连续完成这 n 个步骤, 这件事才算完成. 分配问题:对眼花缭乱的常见分配问题,可归结为以下小的“方法结构”: ①.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是 个数为 m 的一个元素就是 “接受单位” , 于是, 方法还可以简化为 分组问题的计算公式乘以 “接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”,不要管它在生活中原来的意义,只要 n ? m .

A

m n

,这里 n ? m .其中 m 是 .这里的 “多” 只要 ? “少” .

A





②.被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿”,并且不限制一对一的分配问题,方法是

A

k k

.

巩固练习: 1.从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路可通, 从丁地到丙地有 2 条路可通。从甲地到丙地共有 种不同的走法? 2.书架上放有 3 本不同的数学书,5 本不同的语文书,6 本不同的英语书. (1)若从这些书中任取一本,有 种不同的取法? (2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有 种不同的取法? (3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有 种不同的取法? 3.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多 次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
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§1.2.1

排列

学习目标: 1. 理解排列的意义,并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列. 2 了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思想,并能运用 排列数公式进行计算。 学习过程一、自学过程(阅读教材 P 14 ? P 18 ,回答以下问题) 1.排列的概念;一般的,从 n 个 中取出 m ( m ≤ n )个元素,按照

排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 思考:(1)排列的特征是什么? (2)相同的两个排列有什么特点? 2.排列数的概念:从 个 元素中取出 ( m ? n )个元素的 叫做从 n 个不同元素取出 m 元素的排列数,用符合 表示. 思考:(3)排列与排列数的区别是 (4 )排列数计算公式推导的思路是
m 3.排列数公式 An ?

的个数,

(5)公式中 n, m 的限制条件是 取出的一个排列,叫做 n 个元素的一个全排列,用公 规定 0! ?
6 ;(2) A6 =

4. 全排列的概念;从 n 个不同元素中 式表示为 A ?
n n

课堂巩固训练 1. 根据具体要求计算满足条件的排法种数: (1)6 男 2 女排成一排,2 女相邻; (2)6 男 2 女排成一排,2 女不能相邻; (3)4 男 4 女排成一排,同性者相邻; (4)4 男 4 女排成一排,同性者不能相邻; 2. 某小组 6 人排队照相留念. (1) 若分成两排照相,前排 2 人,后排 4 人,有 种不同的排法? (2) 若分成两排照相,前排 2 人,后排 4 人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排, 有 种不同的排法?若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起, 有 种不同的排法? (3) 若排成一排照相,甲必须在乙的右边,有 种不同的排法? (4) 若 排 成 一 排 照 相 , 其 中 有 3 名 男 生 3 名 女 生 , 且 男 生 不 能 相 邻 , 有 种不同的排法? (5) 若排成一排照相,且甲不能站排头乙不能站排尾,有多少种不同的排法? 课后作业. 1.下列各式中与排列数 Am ) n 不相等的是( n· (n-1)! A. (n-m)! n - C. · An 1 n-m+1 n B.(n-m+1)(n-m+2)(n-m+3)?n
1 D.A1 Am n· n-1


二、例题讲解
3 例 1. 计算(1) A16 =

18 13 ;(3) A18 = ? A13



m 例 2.(1)若 An ? 17 ?16 ?15 ?

? 5 ? 4 ,则 n ?

,m?



2.用 1、2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为( A.36 B.30 C.40 D.60

)

(2)若 n ? N , 则(55- n )(56- n )(57- n )?(68- n )(69- n )用排列数符号表示为 例 3. 判断下列问题是不是排列,并说明理由.如果是,求解排列数。 (1)10 名学生中抽 2 名学生开会 (2)10 名学生中选 2 名做正、副组长 (3)20 位同学互通一次电话 (4)20 位同学互通一封信 (5)有 10 个车站,共需要 种车票?共需要 种不同的票价?

3.上午要上语文、数学、体育和外语四门功课,而体育教师因故不能上第一节和第四节, 则不同排课方案的种数是( A.24 B.22 ) C.20 D.12

4.5 个人排成一排,如果甲必须站在排头或排尾,而乙不能站在排头或排尾,那么不同站 法总数为( A.18 ) B.36 C.48 D.60

5.由数字 0、1、2、3、4、5 可以组成能被 5 整除,且无重复数字的不同的五位数有( )
3 A.(2A4 5-A4)个 4 B.(2A5 -A3 C.2A4 5)个 5个

例 4. (1) 从 2,3,5,7,11 这五个数字中, 任取 2 个数字组成分数, 不同值的分数共有 个? (2)5 人站成一排照相,共有 种不同的站法? (3)某年全国足球甲级联赛共有 14 队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次, 共有 场比赛?
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D.5A4 5个 )

6.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 人必须站在一起的所有排列的总数为( A.A6 6 B.3A3 3 C.A3 A3 3· 3 D.4!· 3!

§1.2.1

组合与组合数

2. (1)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有__________ 条? (2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有__________ 条?

学习目标: 理解组合的意义,掌握组合数的计算公式. 1. 进一步理解组合的意义,区分排列与组合; 2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质; 3. 熟练运用排列与组合,解较简单的应用问题. 学习重点难点:组合意义的理解和组合数公式的掌握。 一.新课探究 1.组合的概念:__________________________________________________________________. 注:1.不同元素 2.“只取不排”——无序性 3.相同组合:_________________ 2. 组合数的概念: _________________________________________________________________. 3.组合数公式:一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数_____,可以分如下 两步:① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数_______;② 求每一个组合中 m 个元 素全排列数________,根据分布计数原理得:________________. ⑶ 组合数的公式:_____________________________________. 二.例题解析: 例 1.4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人实践活动小组,问组成方法共有多少 种? __________. 例 2.100 件产品中有合格品 90 件,次品 10 件,现从中抽取 4 件检查. ⑴ 都不是次品的取法有多少种? __________. ⑵ 至少有 1 件次品的取法有多少种? __________. ⑶ 不都是次品的取法有多少种? __________.

3.有 4 本不同的书,一个人去借,有多少种不同的借法?

4.有 13 本不同的书,其中小说 6 本,散文 4 本,诗歌 3 本,某人借 6 本,其中有 3 本小说,2 本散文,1 本诗歌,问有几种借法?

5.一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球, (1)从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法?

例 3.从编号为 1,2,3,?,10,11 的共 11 个球中,取出 5 个球,使得这 5 个球的编号之和 为奇数,则一共有多少种不同的取法? __________ 例 4.现有 8 名青年,其中有 5 名能胜任英语翻译工作;有 4 名青年能胜任德语翻译工作(其 中有 1 名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选 5 名青年承担一项任务,其中 3 名从事英 语翻译工作,2 名从事德语翻译工作,则有__________ 种不同的选法? 达标训练: 1.一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规 则,比赛时一个足球队的上场队员是 11 人.问: (1)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案? __________ (2)如果在选出 11 名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有 __________ 种方式做这件事情?

6.100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品 从这 100 件产品中任意抽出 3 件. (1)一共有多少种不同的抽法; (2)抽出的 3 件都不是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (4)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的取法有多少种?
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7.按下列条件,从 12 人中选出 5 人,有多少种不同选法? (1)甲、乙、丙三人必须当选; (2)甲、乙、丙三人不能当选; (3)甲必须当选,乙、丙不能当选; (4)甲、乙、丙三人只有一人当选; (5)甲、乙、丙三人至多 2 人当选;

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(6)甲、乙、丙三人至少 1 人当选;

例 1.展开 (1 ?

1 4 ) . x
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1.3.1 二项式定理
教学目标: 知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结 果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用 一、讲解新课:
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例 2.求 ( x ? a)12 的展开式中的倒数第 4 项

例 3.求(1) (2a ? 3b)6 ,

(2) (3b ? 2a)6 的展开式中的第 3 项.

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0 n 1 n 二项式定理: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b?
n

r n ?r r ? Cn a b ?

n n ? Cn b (n ? N ? )

⑴ (a ? b) 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:

例 4.(1)求 ( ?

x 3

3 9 x 3 9 ) 的展开式常数项; (2)求 ( ? ) 的展开式的中间两项 3 x x

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a n , a n b ,?, a n?r br ,?, bn ,
⑵展开式各项的系数:
0 0 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 Cn 种, a 的系数是 Cn ; 1 1 恰有 1 个取 b 的情况有 Cn 种, a b 的系数是 Cn ,??, r 恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种, a
n n?r n n

例 5.求 ( x ? 3x ? 4) 的展开式中 x 的系数
2 4

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r br 的系数是 Cn ,??,

n n 有 n 都取 b 的情况有 Cn 种, b 的系数是 Cn ,

例 6.已知 f ( x) ? ?1 ? 2x? ? ?1 ? 4x?
m

n

(m, n ? N * ) 的展开式中含 x 项的系数为 36 ,求展开

∴ (a ? b) ? C a ? C a b ?
n 0 n n 1 n n

?C a b ?
r n

n ?r r

? C b (n ? N ) ,
n n n
n

?

式中含 x 项的系数最小值

2

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这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a ? b) 的二项展开式, ⑶它有 n ? 1 项,各项的系数 Cn (r ? 0,1,
r

n) 叫二项式系数,
r n n ?r r

例 7.已知 ( x ?

1 2 x
4

)n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,
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⑷C a

r n

n ?r

b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? C a b .
r r r ? Cn x ?

(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项
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n 1 ⑸二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 (1 ? x) ? 1 ? Cn x ?

? xn

二、讲解范例:
第 5 页 共 5 页

§ 1.3.2
学习目标

杨辉三角与二项式系数的性质

1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合 语言的意义和作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 一、课前准备(预习教材 P32~ P35,找出疑惑之处) 复习 1:写出二项式定理的公式: ⑴ 公式中 C 叫做 ,用符号
n

边二项式系数逐渐 . 当 n 是偶数时,中间项共有 项,是第 项,它的二项式系数是 ,取得最大值; 当 n 是奇数时,中间项共有 项,分别是第 项和第 项,它的二项式系数分别是 和 ,二项式系数都取得最大值. 练习: (a ? b) n 的各二项式系数的最大值是 ⑶ 各二项式系数的和: 在 (a ? b) n 展开式中,若 a ? b ? 1 ,则可得到 即
1 2 r n Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 0 1 r n Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ?

典型例题 例 1 求 ?1 ? 2 x ? 的展开式中系数最大的项.
10

r n

, ,通项为展开式的第

二项展开式的通项公式是 项. , a 的次数规律是 ,各项系数分别是 项,各项次数都为

表示

⑵ 在 (a ? b) 展 开 式 中 , 共 有 , b 的次数规律是 .

? 2 ? ? 复习 2:求 ? ? x? ? x? ?
n

10

变式:在二项式(x-1) 的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项; ⑵ 求项系数最小的 项和最大的项.

11

展开式中的第 4 项二项式系数和第 4 项的系数.

二、新课导学:杨辉三角 问题 1:在 (a ? b) 展开式中,当 n=1,2,3,?时,各项的二项式系数有何规律?

例 2 证明:在 (a ? b) 展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
n

?a ? b?1 ?a ? b?2 ?a ? b?3 ?a ? b?4 ?a ? b?5 ?a ? b?6
新知 1:上述二项式系数表叫做“杨辉三角”,表中二项式系数关系是 二 二项式系数的性质 问题 2:设函数 f ?r ? ? C ,函数的定义域是
r n

变式:⑴ 化简: C11 ? C11 ? C11 ? ? ? ? ? C11 ;
1 3 5 11

0 1 2 n ⑵ 求和: Cn . ? 2Cn ? 2 2 Cn ? ? ? ? ? 2 n Cn

练习 1: ① 在(1+x) 的展开式中,二项式系数最大的是第 ② 在(1-x) 的展开式中,二项式系数最大的是第
7 2
11 10

项为 项为
7

;(用符号表示即可) . (同上) , .

, .

练习 2:若 ?1 ? 2x? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? ? ? a7 x ,则 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a7 ?

新知 2:二项式系数的性质 ⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是 练习 1 ① 在(a+b) 展开式中,与倒数第三项二项式系数相等是( A 第2项 B 第3项 C 第4项 D 第5项 ② 若 a?b
6

2. 已知 ?1 ? x ? 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,求这两项的二项式系数.
n

a1 ? a3 ? a5 ? a7 ?
10 9 1 8 2

, a0 ? a 2 ? a 4 ? a6 ?

) . ,右

3. 计算 3 ? 3 C10 ? 3 C10 ?
9

9 ? 3C10 ?1 =

?

n

? 的展开式中,第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等,则 n=
,左边二项式系数逐渐

2 4. 若 ?1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ?

? a9 x 9 ,则 a1 ? a2 ?

? a9 =



⑵ 增减性与最大值 :从图象得知,中间项的二项式系数最

5. 化简:

0 1 n Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 0 1 n ?1 Cn ? C ? ? ? ? ? C ?1 n ?1 n ?1

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