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高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第讲直接证明与间接证明习题(新)-课件



2017 高考数学一轮复习 第六章 不等式、 推理与证明 第 5 讲 直接证 明与间接证明习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要 做的假设是 (
2 3

)

A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x +ax+b=0

至多有一个实根 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 [答案] A [解析] 至少有一个实根的否定是没有实根, 故做的假设是“方程 x +ax+b=0 没有实 根”. 2. 分析法又称执果索因法, 若用分析法证明“设 a>b>c, 且 a+b+c=0, 求证: b -ac < 3a”索的因应是 ( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 [答案] C [解析]
2 2 3 2 2 2

) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0

b2-ac< 3a?b2-ac<3a2
2

?(a+c) -ac<3a
2 2

?a +2ac+c -ac-3a <0 ?-2a +ac+c <0 ?2a -ac-c >0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 故选 C. 3.不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,并且 x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的等 比中项,则 x ,b ,y 三数 ( A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列 [答案] B
2 2 2 2 2 2 2

2

)

1

a+c=2b,① ? ? 2 [解析] 由已知条件,可得?x =ab,② ? ?y2=bc.③ x ? ?a= b , 由②③得? y ?c= b . ?
2 2 2 2 2 2 2

代入①,得 + =2b,

x2 y2 b b

即 x +y =2b .故 x ,b ,y 成等差数列. 4. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时, f(x)单调递减, 若 x1+x2>0, 则 f(x1) +f(x2)的值 ( A.恒为负值 C.恒为正值 [答案] A [解析] 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 可知 f(x)是 R 上的单调递减函数, 由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2), 则 f(x1)+f(x2)<0,故选 A. 5.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a +b >2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是 ( A.②③ C.③ [答案] C 1 2 [解析] 若 a= ,b= ,则 a+b>1, 2 3 但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a +b >2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,a,b 中至少有一个大于 1.
2 2 2 2

2

) B.恒等于零 D.无法确定正负

)

B.①②③ D.③④⑤

2

6.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则 ( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 [答案] D

)

[解析] 由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形, 假设△A2B2C2 是锐角三角形. sinA =cosA =sin? -A ?, 2 ? ? π 由?sinB =cosB =sin? -B ?, 2 π ? ?sinC =cosC =sin? 2 -C ?, π
2 1 1 2 1 1 2 1 1

A = -A, 2 ? ? π 得?B = -B , 2 π ? ?C = 2 -C .
π
2 2 1 2 1

π 那么,A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为 180°相矛盾. 2 所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形. 所以△A2B2C2 是钝角三角形. 二、填空题 7.用反证法证明命题“a,b∈R,ab 可以被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整 除”,那么假设的内容是________. [答案] a,b 中没有一个能被 5 整除 [解析] “至少有 n 个”的否定是“最多有 n-1 个”,故应假设 a,b 中没有一个能被 5 整除. 8.设 a>b>0,m= a- b,n= a-b,则 m,n 的大小关系是________. [答案] m<n [解析] 法一:(取特殊值法)取 a=2,b=1,得 m<n. 法二: ( 分析法 ) a - b < a-b ? b + a-b > a ? a < b + 2 b · a-b + a - b ? 2 b· a-b>0,显然成立. 9.已知点 An(n,an)为函数 y= x +1图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图象上的点, 其中 n∈N ,设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为________. [答案] cn+1<cn [解析] 由条件得 cn=an-bn= n +1-n= <cn.
3
2 * 2

1

n +1+n

2

,∴cn 随 n 的增大而减小,∴cn+1

10.若二次函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点 c, 使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是________. 3 [答案] (-3, ) 2 [解析] 法一:(补集法)
?f?-1?=-2p +p+1≤0, ? 令? 2 ?f?1?=-2p -3p+9≤0, ?
2

2

2

3 解得 p≤-3 或 p≥ , 2

3 故满足条件的 p 的范围为(-3, ). 2 法二:(直接法) 依题意有 f(-1)>0 或 f(1)>0, 即 2p -p-1<0 或 2p +3p-9<0, 1 3 得- <p<1 或-3<p< . 2 2 3 故满足条件的 p 的取值范围是(-3, ). 2 三、解答题 11.若 a>b>c>d>0 且 a+d=b+c, 求证: d+ a< b+ c. [证明] 要证 d+ a< b+ c,只需证( d+ a) <( b+ c) , 即 a+d+2 ad<b+c+2 bc, 因 a+d=b+c,只需证 ad< bc, 即 ad<bc,设 a+d=b+c=t, 则 ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d+t)<0, 故 ad<bc 成立,从而 d+ a< b+ c成立. 12.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c) =0,且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根;
2 2 2 2 2

a a

1 (2)试比较 与 c 的大小; (3)证明:-2<b<-1. 1 [答案] (1)略 (2) >c (3)略

a

[解析] (1)证明:∵f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点

4

∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0, ∴x1=c 是 f(x)=0 的根, 又 x1x2= , 1 1 ∴x2= ( ≠c),

c a

a a

1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根.

a

1 1 (2)假设 <c,又 >0,

a

a

由 0<x<c 时,f(x)>0, 1 1 知 f( )>0 与 f( )=0 矛盾,

a

a

1 1 ∴ ≥c,又∵ ≠c,

a a

a

1 ∴ >c. (3)证明:由 f(c)=0,得 ac+b+1=0, ∴b=-1-ac. 又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图象的对称轴方程为

b x1+x2 x2+x2 1 x=- = < =x2= , 2a 2 2 a b 1 即- < . 2a a
又 a>0, ∴b>-2, ∴-2<b<-1. B 组 能力提升 1 .已 知函数 f(x) 满足: f(a + b) = f(a)·f(b) , f(1) = 2 ,则

f 2?1?+f?2? + f?1?

f 2?2?+f?4? f 2?3?+f?6? f 2?4?+f?8? + + = ( f?3? f?5? f?7?
A.4 C.12 [答案] D B.8 D.16

)

5

[解析] 根据 f(a+b)=f(a)·f(b),得 f(2n)=f (n). 又 f(1)=2,则 由

2

f?n+1? =2. f?n?

f 2?1?+f?8? 2f?2? 2f?4? 2f?6? 2f?8? = + + + =16. f?7? f?1? f?3? f?5? f?7?

2.凸函数的性质定理:如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意 x1,

f?x1?+f?x2?+?+f?xn? x1+x2+?+xn x2,?,xn,有 ≤f( ),已知函数 y=sinx 在区 n n
间(0,π )上是凸函数,则在△ABC 中,sinA+sinB+sinC 的最大值为________. [答案] 3 3 2

[解析] ∵f(x)=sinx 在区间(0,π )上是凸函数,且 A、B、C∈(0,π ). ∴

f?A?+f?B?+f?C?
3

≤f(

A+B+C
3

π )=f( ), 3

π 3 3 即 sinA+sinB+sinC≤3sin = , 3 2 3 3 所以 sinA+sinB+sinC 的最大值为 . 2 3.设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,?,n},令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三 条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下 列选项正确的是 ( )

A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S [答案] B [解析] 方法一 因为(x,y,z)∈S,则 x,y,z 的大小关系有 3 种情况,同理,(z,w,

x)∈S,则 z,w,x 的大小关系也有 3 种情况,如图所示,由图可知,x,y,w,z 的大小关
系有 4 种可能,均符合(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.故选 B.

方法二 (特殊值法)因为(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,不妨令 x=2,y=3,z=4,

w=1,则(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S,故(y,z,w)?S,(x,y,w)?S
6

的说法均错误,可以排除选项 A、C、D,故选 B. 4.已知函数 f(x)=a +
x

x-2 (a>1), x+1

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明 f(x)=0 没有负实数根. [答案] (1)略 (2)略 [解析] (1)任取 x1,x2∈(-1,+∞),不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,ax2-x1>1,且

ax1>0,所以 ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0.
又因为 x1+1>0,x2+1>0, 所以 = =

x2-2 x1-2 - x2+1 x1+1

?x2-2??x1+1?-?x1-2??x2+1? ?x2+1??x1+1? 3?x2-x1? >0. ?x2+1??x1+1?

于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

x2-2 x1-2 - >0. x2+1 x1+1

故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数 (2)设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0, 则 ax0=-

x0-2 . x0+1 x0-2 1 <1,即 <x0<2,与 x0<0(x0≠-1)假设矛盾. x0+1 2

又 0<ax0<1,所以 0<-

故 f(x)=0 没有负实数根. 5.(2015·江西七校联考)已知函数 f(x)=lnx-

a?x-1? . x+1

(1)若函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,求 a 的取值范围;

m-n m+n (2)设 m,n∈R+,且 m>n,求证: < . lnm-lnn 2
[答案] (1)(-∞,2] (2)略 [ 解 析 ] (1)f ′(x) = 1

x



2 a?x+1?-a?x-1? ?x+1? -2ax = = 2 ?x+1? x?x+1?2

x2+?2-2a?x+1 . x?x+1?2
因为 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数, 所以 f ′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立. 即 x +(2-2a)x+1≥0 在(0,+∞)上恒成立.
2

7

当 x∈(0,+∞)时,由 x +(2-2a)x+1≥0, 1 得 2a-2≤x+ .

2

x

1 设 g(x)=x+ ,x∈(0,+∞).

x

g(x)=x+ ≥2 x x

1

x· =2, x

1

1 当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号, 即 g(x)的最小值为 2,则 2a-2≤2,即 a≤2. 故 a 的取值范围是(-∞,2].

m m -1 +1 n n m-n m+n (2)要证 < ,只需证 < , lnm-lnn 2 m 2 ln n
2? -1? 2? -1? n n m m 即证 ln > ,则只需证 ln - >0. n m n m +1 +1

m

m

n

n

2?x-1? 设 h(x)=lnx- . x+1 由(1)知,h(x)在(1,+∞)上是单调递增函数,又 >1, 所以 h( )>h(1)=0. 2? -1? n m 即 ln - >0 成立. n m +1

m n

m n

m

n

m-n m+n 所以 < . lnm-lnn 2

8



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