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3.1.3概率的基本性质



〖教学情境设计〗
(1)集合有相等、包含关系, 如{1,3}={3,1},{2,4} ?{2,3,4,5}等; (2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如: C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现1点 或2点},C4={出现的点数为偶数}…… 观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你 能发现事件的关系与运算吗?

1.事件的关系与运算


事件的关 系与运算 事件B包含 事件A 事件的相 等 条件 符号

B?A 如果事件A发生,那么事 (或A ? B) 件B一定发生 如果事件A发生,那么事件 A=B B一定发生,反过来也对.

并事件(或 和事件)

某事件发生当且仅当事件 A发生或事件B发生.

A∪ B (或A+B) A∩B (或AB)

交事件(或 某事件发生当且仅当事件 A发生且事件B发生. 积事件)

事件的关 系与运算

条件

含义

A∩B为不可能事件 事件A与事件B在 互斥事件 任何一次试验中 (A∩B= ? ) 不会同时发生.
A∩B为不可能事件, 事件A与事件B在 任何一次试验中 A ∪ B 为必然事件 . 对立事件 有且仅有一个发 A ? B ? ?, A ? B ? ? 生.

3.例题分析: 例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是 互斥事件?哪些是对立事件? 事件A:命中环数大于7环; 事件B:命中环数为10环; 事件C:命中环数小于6环; 事件D:命中环数为6、7、8、9、10环. 分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先 将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可 能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件 的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生。

解:互斥事件有:A和C、B和C、C和D. 对立事件有:C和D.

? 练习:从1,2,…,9中任取两个数,其中 (1)恰有一个是偶数和恰有一个是奇数; (2)至少有一个是奇数和两个数都是奇数; (3)至少有一个奇数和两个都是偶数; (4)至少有一个偶数和至少有一个奇数。 在上述事件中是对立事件的是 ( C ) A.(1) B.(2) (4) C.(3) D.(1) (3)

? 练习:判断下列给出的每对事件,是否为互 斥事件,是否为对立事件,并说明理由。 从40张扑克牌(红桃,黑桃,方块,梅花点 数从1-10各10张)中,任取一张。 (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; 是互斥事件,不是对立事件 (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; 既是互斥事件,又是对立事件 (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽 出的牌点数大于9”。 不是互斥事件,也不是对立事件

2.概率的几个基本性质: (1)任何事件的概率在0~1之间,即 0≤P(A)≤1 (2)必然事件的概率为1,即 P(Ω)=1 (3)不可能事件的概率为0,即

P(?) ? 0

(4)如果事件A与事件B互斥,则
P(A∪B)=P(A)+P(B) (5)如果事件B与事件A是互为对立事件,则 P(B)=1-P(A)

例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机 抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是 0.25,取到方块(事件B)的概率是0.25,问: (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

分析:事件C=A∪B,且A与B互斥,因此 可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事 件D是对立事件,因此P(D)=1-P(C).
解:(1)P(C)=P(A)+ P(B)=0.25+0.25=0.5; (2)P(D)=1-P(C)=1-0.5=0.5.

例3 甲,乙两人下棋,和棋的概率为1/2,乙获 胜的概率为1/3,求: (1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率。

分析:甲乙两人下棋,其结果有甲胜,和棋, 乙胜三种,它们是互斥事件。 解:(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立 事件,所以甲获胜的概率是P=1-1/2-1/3=1/6。 (2)解法1:“甲不输”看作是“甲胜”, “和棋”这两个事件的并事件所以 P=1/6+1/2=2/3。 解法2:“甲不输”看作是“乙胜”的对立事 件,P=1-1/3=2/3。

? 练习 某射手射击一次射中10环,9环,8环, 7环的概率是0.24,0.28,0.19,0.16,计算 这名射手射击一次 (1)射中10环或9环的概率; (2)至少射中7环的概率。
(1) P(A∪B)=P(A)+P(B) =0.24+0.28=0.52。 (2) 因为它们是互斥事件,所以至少射 中7环的概率是 0.24+0.28+0.19+0.16=0.87

? 练习:某地区的年降水量在下列范围内的概率如下 表所示:

年降水 [100,150) [150,200) [200,250) [250,300) 量(mm) 0.12 0.25 0.16 0.14 概率
(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围 内的概率; P=0.12+0.25=0.37 (2)求年降水量在[150,300)(mm)范围 内的概率。 P=0.25+0.16+0.14=0.55

例4 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄 球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为1/3, 得到黑球或黄球的概率是5/12,得到黄球或绿球的概 率也是5/12,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的 概率各是多少? 分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事 件的概率公式求解. 解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球”、 “摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、 则有 P(B∪C)=P(B)+P(C) =5/12; C、 D, P(C∪D)=P(C)+P(D) =5/12; P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A) =1-1/3=2/3; 解的P(B)=1/4,P(C)=1/6,P(D)=1/4.

答:得到黑球、黄球、绿球的概率分别是1/4,1/6,1/4.

课堂小结
1.概率的基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0, 因此0≤P(A)≤1; 2)当事件A与B互斥时,满足加法公式: P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事 件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1-P(B);

2.互斥事件与对立事件的区别与联系: 互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中 不会同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不 发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不 发生. 对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个 发生,其包括两种情形;(1)事件A发生且B不 发生;(2)事件B发生事件A不发生. 对立事件是互斥事件的特殊情形。

作业:



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