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2013年高考数学省锡山高中三模试卷



2013 年江苏省锡山高级中学高考数学适应性试卷
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 若复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 1 ? i (是虚数单位) ,则其共轭复数 z = 2. “m<1”是“函数 f(x)=x +2x+m 有零点”的 要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一).

、 、 3.数据 1,2,3,4,5 的标准差为 . .
2



条件(填“充分不必要”“必 、

4.为了在下面的程序运行之后得到输出 y ? 25 ,则键盘输入 x 的值应该为

y
Read x If x<0 Then y=(x+1)(x+1) Else y=(x-1)(x-1) End If Print y End
2 2

P2 O

P1

x
(第 5 题图)

5.如图,直线与圆 x ? y ? 1 分别在第一和第二象限内交于 P1 , P2 两点,若点 P 的横坐标 1 为 ,∠ P1OP2 =
5 3

? ,则点 P2 的横坐标为 3



6.将函数 f ( x ) ? ?4 sin( 2 x ? 短到原来的

?

4

) 的图象向右平移 ? 个单位,再将图象上每一点的横坐标缩

1 2

倍,所得图象关于直线 x ?

?
4

对称,则 ? 的最小正值为

.

7. 一种有奖活动,规则如下:参加者同时掷两个正方体骰子一次, 如果向上的两个面上的 数字之和为 3 的倍数,则可获得奖励,其余情况不奖励.那么,一个参加者获奖的概率 为 . 8 . 已 知 直 线 l ? 平 面 ? , 直 线 m ? 平 面 ? . 给 出 下 列 命 题 : ① ? // ? ? l ? m ; ②
? ? ? ? l // m ;③ l // m ? ? ? ? ;④ l ? m ? ? // ? .其中正确的命题的序号是



? y ? 2x ? 9.已知点 P ( x, y ) 满足 ? x ? 0 ,则 ( x ? 1) 2 ? y 2 的取值范围为 ?y ? 2 ?

.

10.设△ABC 中,向量 AB =c, BC =a, CA =b,且 a?b=b?c=-2,则∣b∣=

.

11.如图, F1 、 F2 是双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过

y
A

F1 的直线 l 与曲线 C 左、右两个分支分别交于点 A 、 B .若 ?ABF 2 为等边
三角形,则双曲线的离心率为

B
F2 x
第 11 题图

F1

12.如果 M 是函数 y ? f (x) 图像上的点, N 是函数 y ? g (x) 图像上的点,且 M , N 两点之 间的距离 MN 能取到最小值 d ,那么将 d 称为函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 之间的距离. 按这个定义,函数 f ( x) ?

x 和 g ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 3 之间的距离是

13.在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶点 A 正 好落在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,则 AD∶AB=________. 14. 若二次函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 4 a ? 1 有且仅有整数零点,则所有满足题设的实数 a 构 成的集合为 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.
2

15.(本小题满分 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 面 ABC , AC ? BC ,

M , N , P, Q 分别是 AA1 , BB1 , AB , B1C1 的中点.
(1)求证:平面 PCC1 ? 平面 MNQ ; (2)求证: PC1 // 平 面 MNQ . A1 C1 Q B1

M C A P

N

B

16. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,A, B , C 为三个内角 a , b, c 为三条边, ? C ?

?

?
2



3



b a?b

?

sin 2C sin A ? sin 2C

.

(I)判断△ABC 的形状; ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? (II)若 | BA ? BC |? 2 ,求 BA ? BC 的取值范围.

17.(本小题满分 14 分)某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品,该工艺品由一个圆柱和 一个实体半球组成,要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为 3:2,工艺品的体积为 34π cm3.设圆柱的底面直径为 4 x (cm),工艺品的表面积为 S(cm2). (1)试写出 S 关于 x 的函数关系式; (2)怎样设计才能使工艺品的表面积最小?

18. (本小题满分 16 分)如图所示,过椭圆 C :
2 2 2

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( a ? b ? 0 )上的动点 P 到

圆 O : x ? y ? b 的两条切线 PA 、 PB , A 、 B 分别为切点,直线 AB 分别与 x , y 轴 交于 M 、 N 两点. (1)求 ?MON 的面积的最小值; (2)椭圆 C 上是否存在 P 向圆 O 所引两切线相互垂直?证明你的结论.
'

y N A P O M B x

19. 函数的导数为 0 的点称为函数的驻点,若点(1,1)为函数 f(x)的驻点,则称 f(x)具有“1—1 驻点性”. (1)设函数 f ( x ) ? ? x ? 2 x ? a ln x ,其中 a≠0. ①求证:函数 f(x)不具有“1—1 驻点性”;②求函数 f(x)的单调区间; (2)已知函数 g(x)=bx3+3x2+cx+2 具有“1—1 驻点性”,给定 x1,x2?R,x1<x2,设 λ 为实数, x ? ? x2 x ? ? x1 且 ? ? ?1 , ? ? 1 , ?? 2 ,若|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|,求 λ 的取值范围. 1? ? 1? ?

20. 在数列 ? a n ? 中,a1 ? 0 , 且对任意 k ? N * . a2 k ?1 ,a2k ,a2 k ?1 成等差数列, 其公差为 d k . (1)若 d k = 2k ,证明 a2k , a2 k ?1 , a 2 k ? 2 成等比数列( k ? N * ) (2)对任意 k ? N * , a2k , a2 k ?1 , a 2 k ? 2 成等比数列,其公比为 q k . (ⅰ)求 q k ; (ⅱ)在是否存在 t, v ? N ,且 v ? t ,使得 1, q v , q t 成等比数列,请证明你的 结论.
?

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答 .............. 题区域内作答. ...... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,A、B 是⊙O 上的两点,∠AOB=120° ,点 D 为劣 弧 AB 的中点. (1)求证:四边形 AOBD 是菱形; (2)延长线段 BO 至点 P,交⊙O 于另一点 C,且 BP=3OB,求证:AP 是⊙O 的切线.

B. (选修4-2:矩阵与变换)在军事密码学中,发送密码时,先将英文字母数学化,对应 如下表: a 1 b 2 c 3 d 4 ? ? z 26

如果已发现发送方传出的密码矩阵为 ? 解发送的密码.

?14

41 ? ?1 ? ,双方约定可逆矩阵为 ?3 ? ?32 101 ?

2? ? ,试破 4?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)如图,边长为 2 的正六边形 ABCDEO,以 OC 为极轴 建立极坐标系,求 CD 边所在直线的极坐标方程. E O A B D C x

D. (选修4-5:不等式选讲)已知 a,b,c∈(0,+∞) ,且 ≥18.

1 a

?

2 b

?

3 c

? 2 ,求证:a+2b+3c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.如图, 直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC, AB=2CD=2BC,EA⊥EB. (1)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (2)线段 EA 上是否存在点 F,使 EC// 平面 FBD?若存在,求出 理由.
E

EF EA

;若不存在,说明

B C D

A

23.设二项展开式 C n ?

?

3 ?1

?

2 n ?1

(n∈N

*

)的小数部分为 B n .

(1)计算 C1 B1 , C 2 B2 的值;
2 n ?1 (2)求证: C n B n ? 2 ;

(3)记 a n ? C n ? B n , 求证: n ? 2 时, a n 是 4 的倍数.

答案:

1. ? i

2.充分不必要

3. 2

4. 6 或 ? 6

5.

3?4 3 10

6. ?

3

8

7.

1 3

8.①③

9.[ ,5]

4

5

10.2

11. 7

12.

7 2

?1

13. 2 3 ? 3

14. {0, 4}

15. (1)提示:先证 MN ? 平面 PCC 1 ; (2)证法(一) :取 A1C1 中点 K ,连 QK , KM ,则 K 、 Q 、 N 、 M 共面, 取 A1 B1 中点 T ,连 C1T 、 TP ,设 C1T 交 KQ 于 O , TP 交 MN 于 S , 易证 OS // C1 P ,则 PC1 // 平面 MNQ . 证法(二)连 C1 B ,证明平面 MNQ // 平面 C1 PB ,则 PC1 // 平面 MNQ . 16.(Ⅰ)解:由


b a?b

?

sin 2C sin A ? sin 2C

及正弦定理有: sin B

? sin 2C
?C ?

? ? B ?? , 3 2 3 B ? C ? ? (舍 ) ;∴ B ? 2C ? ? ,则 A ? C ,∴ ?ABC为等腰 三角形.??????7 分 ??? ??? ? ? 2 ? a2 2 2 (? a ? c ) , 而 ( Ⅱ ) ∵ | BA ? BC |? 2 , ∴ a ? c ? 2ac ? cos B ? 4 , ∴ cos B ? a2 ??? ??? ? ? 1 4 2 c o s ? ? c o s C ,∴ ? cos B ? 1 ,∴ 1 ? a 2 ? ,∴ BA ? BC ? ( ,1) .???14 分 B 2 2 3 3
B ? 2C
或 若

B ? 2C ? ?

B ? 2C

, 且

?

?

, ∴

2

17.解(1)设圆柱高为 h ,圆柱底面半径为 2 x ,半球面半径为 3 x . 则V ? ∴h ?

2 3

? (3 x ) 3 ? ? ( 2 x ) 2 h ,即 34? ? 18?x 3 ? 4?x 2 ? h ,
?
2

34 ? 18 x 3 4x 2
2

17 ? 9 x 3 2x 2
2



S ? 2?R球 ? ?R球 ? 2?R柱 ? 2?R柱 h

? 3? (3 x ) ? 2? ( 2 x ) ? 2? ? ( 2 x ) ?
2 2

17 ? 9 x 3 2x 2
) ;

y N A P O M B x

? 17 ? ( x 2 ? ) x

2

(0 ? x ?

3

17 9

(2)由求导列表知 x ? 1 时, S 最小值为 51? .

18.解: (1)设 P ( x 0 , y 0 ) ,可得 AB : x 0 x ? y 0 y ? b 令 y ? 0 则 xM ?

2

b2 x0

,令 x ? 0 则 y N ?

b2 y0



∴ S ?MON ?
2

1 2

OM ? ON ?
2

1

? , 2 | x0 y 0 |

b4

由于

x0 a

2

?

y0 b

2

? 1 ,则由基本不等式得 1 ? 2 ?

| x0 y 0 | | ab |

,∴ | x 0 y 0 |?

| ab | 2



则 S ?MON

? 2 a ?| x 0 |? ? 1 b b ? 2 ,取“ ? ”时 ? ? ? ? 2 ab a ?| y |? ? 2 b ? 0 2 2 ?
4 3

∴ ?MON 的面积最小值为

b3 a



(2) P A 、 P B 互相垂直,则四边形 OAP B 为正方形, 即 OP ?
'

'

'

'

2b ,∴ x 0 ? y 0 ? 2b 2 ,又 x 0 ? a 2 (1 ?
2 2

2

y0

2

b2

),

得: (

a2 b
2

? 1) y 0 ? a 2 ? 2b 2 ,由 0 ? y 0 ? b 2 得 a ?
2
2

2b ,

∴a ?

2b 时, P ' 存在; 0 ? b ? a ?
1 x a ? a x

2b 时, P ' 不存在.

19. 解: (1)① f ?(x ) = ?1 ?

,? f ?(1) ? a ? 0 ,∴函数 f(x)不具有“1—1 驻点性”;

②由 f ?(x ) = ?1 ?

1

1 1 ?( x ? )2 ? a ? 2 4 , ? = x x x

1 1 (ⅰ)当 a+4<0,即 a< ? 时, f ?(x ) <0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数;
4

1 1 (ⅱ)当 a+4=0,即 a= ? 时,显然 f ?(x ) ≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数;
4

1 1 1 1 (ⅲ)当 a+4>0,即 a> ? 时,由 f ?(x ) =0 得 x ? ? a ? ,
4
2 4

当?

1 4

<a<0 时,
1 2 ? a? 1 4

1 2

? a? 1 2

1 4

? 0 ,∴x?(0, a ? 1 4

1 2

? a?

1 4

)时, f ?(x ) <0;

x?( a ?

, a?

? a?

)时, f ?(x ) >0;

x?( a ?

1 2

? a? 1 2

1 4

, +∞)时, f ?(x ) <0;
1 4

当 a>0 时, x?( a ?
1 2

? a?
1 4

<0 ,∴x?(0, a ?

1 2

? a?

1 4

)时, f ?(x ) >0;

? a?

,+∞)时, f ?(x ) <0;

综上所述:当 a≤ ? 当?
1 4

1 4

时,函数 f(x)的单调递减区间为(0,+∞);
1 2 ? a? 1 4 1 4

<a<0 时, 函数 f(x)的单调递减区间为(0, a ?
1 2 ? a? 1 4

)和( a ?

1 2

? a?

1 4

,+∞),

函数 f(x)的单调递增区间为( a ?

,a ?
1 2

1 2

? a? 1 4

);

当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0, a ? 函数 f(x)的单调递减区间为( a ?
1 2 ? a? 1 4

? a?

),

, +∞);

(2)由题设得: g ?(x ) =3bx2+6x+c,∵g(x)具有“1—1 驻点性”,∴ g (1) ? 1 且 g ?(1) ? 0 ,
? b ? c ? ?4 ?3b ? c ? ?6

即?

,解得 ?

?b ? ?1 ? c ? ?3

,∴ g ?(x ) = ? 3x2+6x ? 3= ? 3(x ? 1)2≤0,

故 g(x)在定义域 R 上单调递减. x ? ? x2 x ? ? x1 x ? ? x2 x ? ? x2 ①当 λ≥0 时, ? ? 1 ? 1 ? x1 , ? ? 1 ? 2 ? x2 ,即 α?[x1,x2),同理 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? β?(x1,x2], 由 g(x)的单调性可知:g(α),g(β)?[ g(x2),g(x1)], ∴|g(α) ? g(β)|≤|g(x1) ? g(x2)|与题设|g(α) ? g(β)|>|g(x1) ? g(x2)|不符; x ? ? x2 x ? ? x1 x ? ? x1 x2 ? ? x2 ②当 ? 1<λ<0 时, ? ? 1 ? 1 ? x1 , ? ? 2 ? ? x2 , 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 即 α<x1<x2<β,∴g(β)<g(x2)<g(x1)<g(α),∴|g(α) ? g(β)|>|g(x1) ? g(x2)|,符合题 设; x ? ? x2 x ? ? x2 x ? ? x1 x1 ? ? x1 ③当 λ< ? 1 时, ? ? 1 ? 2 ? x2 , ? ? 2 ? ? x1 ,即 β<x1<x2 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? <α, ∴g(α)<g(x2)<g(x1)<g(β),∴|g(α) ? g(β)|>|g(x1) ? g(x2)|也符合题设; 由此,综合①②③得所求的 λ 的取值范围是 λ<0 且 ? ? ?1 . 20.解(1)由已知 a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 ? 4 k , ∴ a 2 k ?1 ? a1 ? ( a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 ) ? ( a 2 k ?1 ? a 2 k ?3 ) ? ? ? ? ? ( a 3 ? a1 )

? 4{k ? ( k ? 1) ? ? ? ? ? 2 ? 1] ? 2k ( k ? 1)
由 a1 ? 0 得 a 2 k ?1 ? 2( k ? 1) ? k ,∴ a 2 k ?1 ? 2( k ? 1) ? k ( a1 ? 0 也适合) ,

∴ 2 a 2 k ? 2( k ? 1) ? k ? 2( k ? 1) ? k , a 2 k ? 2k , a 2 k ? 2 ? 2( k ? 1) ,
2 2



a 2 k ?1 a2k

?

a2k ?2 a 2 k ?1

?

k ?1 k

,∴ a 2 k 、 a 2 k ?1 、 a 2 k ? 2 成等比数列;

(2) (ⅰ) a 2 k ?1 ,a 2 k ,a 2 k ?1 成等差数列, 2 a 2 k ? a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 , 2 ? 由 则 得

a 2 k ?1 a2k

?

a 2 k ?1 a2k



由 a 2 k , a 2 k ?1 , a 2 k ? 2 成等比数列,其公比为 q k ,则 2 ?

1 q k ?1

? qk ,

可得

1 qk ? 1

?

1 q k ?1 ? 1

,又易求 q1 ? 2 ,∴求得 q k ? ? 1( k ? 2 )

k ?1 k



(ⅱ)若 1, q v , q t 成等比数列,则 (
2 2
2 2

v ?1 v

)2 ?
2

t ?1 t

,即 v ? 2vt ? t ? 0 ,
2

∴ (v ? t ) ? t ? t ,由于 t ? t ? t ? (t ? 1) ∴这样的 t , v 不存在.

附加题 23.解(1)由于 ( 3 ? 1) ∴ B n ? ( 3 ? 1)
2 n ?1

2 n ?1

? (0,1) ,且 ( 3 ? 1) 2 n ?1 ? ( 3 ? 1) 2 n ?1 ? Z ,

∴ C1 B1 ? ( 3 ? 1) ? ( 3 ? 1) ? 2 , C 2 B 2 ? ( 3 ? 1) ? ( 3 ? 1) ? 2 ? 8 ;
3 3 3

(2) C n B n ? ( 3 ? 1)

2 n ?1

? ( 3 ? 1) 2 n ?1 ? 2 2 n ?1 ;
2 n ?1

(3) a n ? C n ? B n ? ( 3 ? 1)

? ( 3 ? 1) 2 n ?1 ,

n ? 2 时, a 2 ? C 2 ? B 2 ? ( 3 ? 1) 3 ? ( 3 ? 1) 3 ? 20 ,则 a 2 是 4 的倍数,
假设 a k ( k ? 2 )是 4 的倍数,即 ( 3 ? 1) 则 a x ?1 ? ( 3 ? 1)
2 k ?1
2 k ?1

? ( 3 ? 1) 2 k ?1 是 4 的倍数,

? ( 3 ? 1) 2 k ?1 ? ( 4 ? 2 3 ) ? ( 3 ? 1) 2 k ?1 ? ( 4 ? 2 3 ) ? ( 3 ? 1) 2 k ?1

? 4[( 3 ? 1) 2 k ?1 ? ( 3 ? 1) 2 k ?1 ] ? 2 3 ? [( 3 ? 1) 2 k ?1 ? ( 3 ? 1) 2 k ?1 ]
由归纳假设 ( 3 ? 1)
2 k ?1

? ( 3 ? 1) 2 k ?1 ? Z , ? ( 3 ? 1) 2 k ?1 ? 2 3t , t ? z ,

由二项式定理 ( 3 ? 1)

2 k ?1

从而 a k ?1 是 4 的倍数.



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