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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.5.3


1.5.3

1.5.3
【学习要求】
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定积分的概念

1.了解定积分的概念,会用定义求定积分. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质. 【学法指导】 通过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背 景和实际意义截然不同的问题,进一步体会定积分的作 用及意义.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.5.3

一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点
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a=x0<x1<x2<?<xi-1<xi<?<xn=b将区间[a,b]等分 成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 n n b-a ∑ f ( ξ i)Δx ξi(i=1,2,?,n),作和式_______ = i∑ f(ξi), i=1 =1 n 概 念 当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常 数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 b ? af(x)dx 这里a与b分别叫作积分下限 _______, ________与积分上限 ________,

定 积 分

积分区间,函数f(x)叫做_________, 被积函数 x 区间[a,b]叫做________ 被积式 . 积分变量 ,f(x)dx叫做_______ 叫做_________

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.5.3

如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有 b f(x)≥0 ,那么定积分? 几何 ________ af(x)dx表示由
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定 积

曲线y=f(x) 直线x=a,x=b(a≠b),y=0 和__________ 意义 __________________________

所围成的曲边梯形的面积.
b

b k? ? k为常数); af(x)dx akf(x)dx=__________( 分 b b b ? ? f ( x )d x af2(x)dx ; a 1 __________ 基本 ? a[f1(x)± f2(x)]dx=__________± b c b ? ? f ( x )d x c f(x)dx a 性质 ?a f(x)dx=____________ +____________( 其中

a<c<b).

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.5.3

探究点一
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定积分的概念

问题1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,找 一下它们的共同点.

答 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取 极限”解决,都可以归结为一个特定形式和的极限.

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b 问题2 怎样正确认识定积分? af(x)dx?

1.5.3


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b (1)定积分?a f(x)dx是一个数值(极限值).它的值仅取决于

被积函数与积分上、下限,另外?b a f(x)dx与积分区间[ a,b] 息 息相关,不同的积分区间,所得值也不同.
b (2)定积分就是和的极限 lim f ( ξ ? i)·Δx,而? a f(x)dx只是这种极 →∞ n i=1 n

限的一种记号,读作“函数f(x)从a到b的定积分”. (3)函数f(x)在区间[ a,b] 上连续这一条件是不能忽视的,它 保证了和的极限(定积分)的存在(实际上,函数连续是定积分 存在的充分条件,而不是必要条件).

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1 3 例1 利用定积分的定义,计算? 0x dx的值.

1.5.3

解 令f(x)=x3.

(1)分割
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在区间[0,1] 上等间隔地插入n-1个分点,把区间[0,1] 等 i -1 i 分成n个小区间[ , ](i=1,2,?,n), n n i i-1 1 每个小区间的长度为Δx= - = . n n n

(2)近似代替、作和 i 取ξi=n(i=1,2,?,n),则 n i 1 3 ? 0x dx≈Sn=∑f( )·Δx i=1 n

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1.5.3

i 31 1 n 3 =∑ ( n) · = 4∑ i = = n n i 1 i 1
n

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1 1 2 2 =n4· n ( n + 1) 4 1 12 =4(1+n) . (3)取极限
1 3 ? 0x dx=limSn=lim n→∞ n→∞

1 12 1 4(1+n) =4.

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1.5.3

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小结

利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似

代替、求和、取极值”这一过程,需要注意的是在本题中将 近似代替、求和一起作为步骤(2),从而省略了解题步骤.

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2 跟踪训练1 用定义计算? 1(1+x)dx.

1.5.3


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? i-1 i? ? ? (1)分割:将区间[1,2] 等分成n个小区间 ?1+ , 1 + n n? ? ?

1 (i=1,2,?,n),每个小区间的长度Δx=n.
? i-1 i-1 i? ? ? (2)近似代替、求和:在 ?1+ ,1+n?上取点ξi=1+ n (i n ? ?

i-1 i-1 =1,2,?,n),于是f(ξi)=1+1+ n =2+ n ,
从而得 ?f (ξi)Δx= ?
i=1 n n

i=1

? i-1 1 n ? 1 ?2 i-1? 2 (2+ )· = n+ 2 [0 ?n+ n2 ? = n · n n i? n ? =1 ?

+1+2+…+(n-1)]

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1.5.3

n- 1 1 n?n-1? =2+ 2· =2+ . n 2 2n
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(3)取极限:S=lim →∞
n

? n-1? 1 5 ? ? ?2+ 2n ?=2+2=2. ? ?

5 2 因此? 1(1+x)dx= . 2

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1.5.3

探究点二

定积分的几何意义

问题1 从几何上看,如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒
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b 有f(x)≥0,那么? af(x)dx表示什么?
b 答 当函数f(x)≥0时,定积分? a f(x)dx在几何上表示由直线

x=a,x=b(a<b),y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的 面积.

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1.5.3

问题2

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b 当f(x)在区间[a,b]上连续且恒有f(x)≤0时,? af(x)dx

表示的含义是什么?若f(x)有正有负呢?
如果在区间[ a,b] 上,函数f(x)≤0时, 那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①). b-a 由于 n >0,f(ξi)≤0,故 b-a b f(ξi) n ≤0.从而定积分? af(x)dx≤0,
这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值,
b 即? af(x)dx=-S.

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1.5.3

当f(x)在区间[a,b]上有正有负时,定积
b 分? af(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图

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象及直线x=a,x=b(a≠b)之间各部分面 积的代数和(在x轴上方的取正,在x轴下方的取负).(如图 ②),
b 即? af(x)dx=-S1+S2-S3.

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1.5.3

例2 利用几何意义计算下列定积分:
3 2 3 (1)? -3 9-x dx;(2)? -1(3x+1)dx.

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解 (1)在平面上y= 9-x2表示的几何图形为以原点为圆 心以3为半径的上半圆,
1 2 其面积为S=2·π·3 . 由定积分的几何意义知? -3
3

9 9-x dx=2π.
2

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1.5.3

(2)由直线x=-1,x=3,y=0,以及 y=3x+1所围成的图形,如图所示:
3 ? -1(3x+1)dx表示由直线x=-1,x=3,

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y=0以及y=3x+1所围成的图形在x轴 上方的面积减去在x轴下方的面积,
3 ∴? -1(3x+1)dx

1 1 1 1 = ×(3+ )×(3×3+1)- (- +1)×2 2 3 2 3

50 2 = 3 -3=16.

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1.5.3

小结
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利用几何意义求定积分,关键是准确确定被积函数的

图象,以及积分区间,正确利用相关的几何知识求面积.不 规则的图象常用分割法求面积,注意分割点的准确确定.

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1.5.3

跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值:
1 2π 1 (1)? cos x d x ; (3) ? -1xdx;(2)? -1|x|dx. 0
1 解 (1)如图(1),? -1xdx=-A1+A1=0.

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2π (2)如图(2),? 0 cos xdx=A1-A2+A3=0.

1 (3)如图(3),∵A1=A2,∴? -1|x|dx=2A1=2× =1. 2 (A1,A2,A3分别表示图中相应各处面积)
1

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1.5.3

探究点三

定积分的性质

问题1 定积分的性质可作哪些推广?
答 定积分的性质的推广
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b ①? a[ f1(x)± f2(x)± …± fn(x)] dx
b b b =? ? ?± ? af1(x)dx± af2(x)dx± afn(x)dx;

② ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ?
a c1

c1

c2

? ? f ( x)dx(其中n ? N* )
cn

b

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1.5.3

问题2 如果一个函数具有奇偶性,它的定积分有什么性 质?

答 奇、偶函数在区间[ -a,a] 上的定积分
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①若奇函数y=f(x)的图象在[ -a,a] 上连续不断,
a 则? -af(x)dx=0.

②若偶函数y=g(x)的图象在[ -a,a] 上连续不断,
a a 则? -ag(x)dx=2? 0g(x)dx.

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3 例3 计算? 9-x2-x3)dx的值; -3(

1.5.3

解 如图,

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2 π × 3 9π 3 2 由定积分的几何意义得? = , -3 9-x dx= 2 2 3 3 ? -3x dx=0,由定积分性质得

? -3( 9-x -x )dx=? -3

3

2

3

3

9π 9-x dx-? -3x dx= 2.
2 3 3

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1.5.3

小结 根据定积分的性质计算定积分,可以先借助于定积分
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的定义或几何意义求出相关函数的定积分,再利用函数的性 质、定积分的性质结合图形进行计算.

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1.5.3
4 3

跟踪训练3 56 = ,求: 3

1 2 3 15 2 2 7 4 2 1 3 已知? ,? 0x dx= ,? 1 x dx= 1 x dx= ,? 2 x dx 4

2 3 4 2 2 2 3 (1)? 03x dx;(2)? 16x dx;(3)? 1(3x -2x )dx.

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2 3 2 3 1 3 2 3 解 (1)? 3 x d x = 3 ? x d x = 3( ? x d x + ? 0 0 0 1x dx) 1 15 =3×(4+ 4 )=12;

4 2 4 2 2 2 4 2 (2)? 6 x d x = 6 ? x d x = 6( ? x d x + ? 1 1 1 2x dx)

7 56 =6×(3+ 3 )=126; 2 2 3 2 2 2 3 (3)? (3 x - 2 x )d x = ? 3 x d x - ? 1 1 12x dx 7 15 15 1 2 2 2 3 =3? =7- =- . 1x dx-2? 1x dx=3× -2× 3 4 2 2

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1.5.3

1.下列结论中成立的个数是
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1 3 ①? 0x dx= ? n

( C )

i=1

i3 1 ·; n3 n
n

1 3 ②? 0x dx=lim ? →∞ n

i=1 n

?i-1?3 1 ·; n3 n i3 1 ·. n3 n C.2 D.3

1 3 ③? 0x dx=lim ? →∞ n

i=1

A.0

B. 1

解析 ②③成立.

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1.5.3

b 2.定积分? af(x)dx的大小

( A )

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A.与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关 C.与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与f(x)、积分区间[a,b]和ξi的取法都有关

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1.5.3

3.根据定积分的几何意义,用不等号连接下列式子:
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1 1 2 ①? > ? 0xdx________ 0x dx; 2 2 2 ②? < ? 0 4-x dx________ 02dx.

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1.5.3
π 2 0

4.已知 ?

π 2 0

3 π 2 sin x d x = 1 , sin x d x = x π ?2 ? d x=24,求下列定
π
π 2 0

积分:
本 课 时 栏 目 开 关

2 π (sin x ? 3 x )d x . (1)? sin x d x ; (2) 0 ?

π 解 (1)? 0sin xdx

= ? sin x d x +
(2)

π 2 0

? sin x d x ? 2
π 2
π 2 0

π

?

π 2 0

(sin x ? 3 x 2 ) d x

? ? sin x d x ? 3? x 2 d x
π3 =1+ 8 .

π 2 0

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1.5.3

b 1.定积分?a f(x)dx是一个和式

i=1

?

n

b- a n f(ξi)的极限,是一个常

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数. 2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积 分;对于一些特殊函数,也可以利用几何意义求定积分. 3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.


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