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宿迁市高三第三次调研考试数学参考答案



又 EN ? 平面 BDM , FM ? 平面 BDM

高三第三次调研考试数学一卷参考答案
一、填空题 1.5; 2.{2}; 3.28; 4.4; 5.

?EN //平面 BDM .

………………………………………………………………………………14 分

17.(1)在 Rt△ PA

E 中,由题意可知 ?APE ? ? ,AP=8,则 AE ? 8 tan ? .

1 ; 2

6.37;

7. ?2 ;

8. y 2 ?

x2 ?1; 3
2 e

所以 S

PAE

1 ? PA ? AE ? 32 tan ? .………………………………………………………………………2 分 2 1 , tan ?

9. 4 π ; 二、解答题

10. 2 ;

3 5 11. [ . ] ; 2 2

12. [0,3] ;

25 13. ; 13

14. (1 , e ) .

同理在 Rt△ PBF 中, ?PFB ? ? ,PB=1,则 BF ? 所以 S

PBF

1 1 . ……………………………………………………………………4 分 ? PB ? BF ? 2 2 tan ? 1 2 tan ?
…………………………………………………5 分
1 =8, 2 tan ?

15.解: (1) cos C ? , C ? ? 0, ? ? ,? sin C ?

1 3

2 2 ·……………………………………………………2 分 3

故△ PAE 与△ PFB 的面积之和为 32 tan ? ?

A? B ? C ? π,

?sin A ? sin ? B ? C ? ……………………………………………………………………………………3 分
1 2 2 ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin B ? cos B ,……………………………………………5 分 3 3 1 2 2 cos B ? 2 cos B , 由题意 sin B ? 3 3 1 2 ? sin B ? cos B , 3 3
? tan B ? 2 · ……………………………………………………………7 分
当且仅当 32 tan ? ?

≥ 2 32 tan ? ?

1 1 ,即 tan ? ? 时取等号, 2 tan ? 8

故当 AE=1km,BF=8km 时,△ PAE 与△ PFB 的面积之和最小. ……………………………………………6 分 (2)在 Rt△ PAE 中,由题意可知 ?APE ? ? ,则 PE ? 同理在 Rt△ PBF 中, ?PEB ? ? ,则 PF ? 令 f (? ) ? PE ? PF ? 则 f ?(? ) ?

8 . cos ?

1 . sin ?
…………………………………………………………8 分

(2)由(1)知 tan B ? 2 ,? sin B ?

6 3 , cos B ? · ……………………………………………………9 分 3 3

8 1 ? ,0?? ? , ? cos? sin ? 2

由正弦定理得

6 5 15 b c ? ? ,? b ? ·………………………………………………11 分 ? 3 2 2 2 sin B sin C 3

8sin ? cos? 8sin3 ? ? cos3 ? , ……………………………………………………………10 分 ? ? cos2 ? sin2 ? sin2 ? cos2 ?
1 ? 1 ,记 tan ?0 ? , 0 ? ?0 ? , 2 2 2

又 sin A ? 2 cos B ?

6 , ………………………………………………………………………………12 分 3

令 f ?(? ) ? 0 ,得 tan ? ?

当 ? ? (0, ?0 ) 时, f ?(? ) ? 0 , f (? ) 单调递减; 当 ? ? (?0 , ) 时, f ?(? ) ? 0 , f (? ) 单调递增. 2 所以 tan ? ?

1 1 15 6 5 2 ? S ? bc sin A ? ? ? 5? ? · ………………………………………………………………14 分 2 2 2 3 4

?

16. (1)∵ AE ? 平面 ECD , CD ? 平面 ECD , ∴ AE ? CD . 又∵ AB // CD , ?AB ? AE .……………………………………………………………2 分 在矩形 ABCD 中, AB ? AD ,…………………………………………………………………………4 分 ∵ AD
AE ? A , AD, AE ? 平面 ADE

1 时, f (? ) 取得最小值, ……………………………………………………………………12 分 2

1 BP 此时 AE ? AP ? tan ? ? 8 ? ? 4 , BF ? ?2. 2 tan ?
所以当 AE 为 4km,且 BF 为 2km 时,PE+PF 的值最小.…………………………………………………14 分 18.(1)由题意
c 3 2a 2 8 3 ? , ? ,解得 a ? 2, c ? 3 , a 2 c 3

? AB ? 平面 ADE .

…………………………………………………………………………………6 分

(2)连 AN 交 BD 于 F 点,连接 FM ………………………………………………………………………8 分 ∵ AB // CD 且 AB ? 2 DN
? AF ? 2 FN

………………………………………………………………………………………10 分
……………………………………………………………………………12 分

? b ? 1 ,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ·………………………………………………………………………4 分 4

又 AM=2ME ?EN // FM

(2)解法一: S?TBC ?

1 BC ? t ? t 2

…………………………………………………………………………6 分

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?8t ?4 直线 TB 方程为: y ? x ? 1 ,联立 ? ,得 xE ? 2 t t ?4 ?y ? 1 x ?1 ? t ?

? x2 ? y2 ? 1 ? 3 24t ? 直线 TC 方程为: y ? x ? 1 ,联立 ? 4 ,得 xF ? 2 ………………………………………8 分 t t ? 36 ? y ? 3 x ?1 ? t ?
k? S?TBC S?TEF
t

? ?8t t 2 ? 4 ? 所以 E ? 2 , 2 ? 到 TC : 3x ? ty ? t ? 0 的距离 ?t ?4 t ?4?
2 ?24t t ? t ? 4 ? ? ?t t2 ? 4 t2 ? 4

1 TB ? TC ? sin ?BTC TB ? TC TB TC xT ? xB xT ? xC ? ? ? ? ………………………………10 分 ?2 ? 1 TE TF xT ? xE xT ? xF TE ? TF TE ? TF ? sin ?ETF 2

d?

t2 ? 9

?

2 t ? t 2 ? 12 ?

t 2 ? 4 ? ? ? t 2 ? 36 ? ? t ? ? ? 2 …………………………………………………………………12 分 8t 24t ? t ? 12 ? ? ? t 2 ? 12 ? t? 2 t? 2 t ?4 t ? 36
令 t 2 ? 12 ? m ? 12 ,则

t 2 ? 9 ?t 2 ? 4?

………………………………………………………………8 分

? x2 ? y2 ? 1 ? 3 24t ?4 直线 TC 方程为: y ? x ? 1 ,联立 ? ,得 xF ? 2 , t t ? 36 ? y ? 3 x ?1 ? t ?

k?

(m ? 8)(m ? 24) 16 192 4 ? 1 ? ? 2 ≤ , …………………………………………………………………… 14 分 m2 m m 3

当且仅当 m ? 24 ,即 t ? ?2 3 等号成立 所以 k 的最大值为

? 24t 36 ? t 2 ? 24t ? ? 36 ? t 2 ? ? F? 2 , 2 ? ? ,? TF ? ? t ? 2 ? ? ?2? 2 t ? 36 ? ? t ? 36 ? ? ? t ? 36 t ? 36 ?
? t 2 ? t 2 ? 12 ? ? ? 3t 2 ? 36 ?
2 2

2

2

4 . ………………………………………………………………………………………16 分 3

1 1 19.(1) 因为 an ? 0 ,当 n ? 1 时, a1 ? a12 ? a1 ,解得 a1 ? 1 .………………………………………………1 分 2 2
…………………………………10 分

?t

2

? 36 ?

2

?

?t

2

? 12 ? ? t 2 ? 9 ?
2

?t

2

? 36 ?

2

?t ?

2

? 12 ? t 2 ? 9 t 2 ? 36
2

1 1 由 Sn ? an 2 ? an , 2 2 1 1 当 n ? 2, Sn?1 ? an?12 ? an?1 , 2 2 1 2 1 2 两式相减,得 (an ? an (an +an?1 ) ? 0 .……………………………………………………………2 分 ?1 ) ? 2 2
又因为 an ? 0 ,所以 an +an ?1 ? 0 , 所以 an ? an ?1 =1 , an ? a1 ? (n ? 1) ? 1 ? n .…………………………………………………………………4 分 由 b2 ? a2 , b4 ? a6 . 得 q 2 ?
b4 a6 ? ? 3, b2 a2

? S?TEF

2 2 2 t ? t 2 ? 12 ? 1 1 ? t ? 12 ? t ? 9 2 t ? t ? 12 ? ? TF ? d ? ? ? ? 2 2 2 2 t 2 ? 36 t 2 ? 9 ? t 2 ? 4 ? ? t ? 36 ?? t ? 4 ?

2 2 S?TBC ? t ? 36 ?? t ? 4 ? ? ?k ? 2 S?TEF ? t 2 ? 12?

……………………………………………………………………………12 分

令 t 2 ? 12 ? m ? 12 ,则

k?

(m ? 8)(m ? 24) 16 192 4 ? 1 ? ? 2 ≤ , …………………………………………………………………… 14 分 2 m m m 3

所以 bn ? b2 ? qn?2 ? 2 ? ( 3)n?2 .

……………………………………………………………………6 分

当且仅当 m ? 24 ,即 t ? ?2 3 等号成立, 所以 k 的最大值为

4 . 3

……………………………………………………………………………………16 分

?n, n ? 2k ? 1(k ? N ? ) ? (2)由题意得 cn ? ? , n ?1 ? 2 ? 2 ? 3 , n ? 2 k ( k ? N ) ?

解法二:直线 TB 方程为: y ? x ? 1 ,

1 t

所以 T2 m ? (a1 ? a3 ?

? a2m?1 ) ? (b2 ? b4 ?

? b2 m )

? x2 ? y2 ? 1 ? ?8t ?4 联立 ? ,得 xE ? 2 …………………………………………………………………………· 6分 t ?4 ?y ? 1 x ?1 ? t ?

?

m(1 ? 2m ? 1) 2(1 ? 3m ) m ? ? 3 ? m2 ? 1 2 1? 3

………………………………………………………8 分

T2m?1 ? T2m ? b2m ? 3m ? m2 ? 1 ? 2 ? 3m?1 ? 3m?1 ? m2 ? 1

所以

T2m 3m ? m2 ? 1 2(m2 ? 1) ? m?1 ? 3 ? ? 3 ……………………………………………………10 分 T2m?1 3 ? m2 ? 1 3m?1 ? m2 ? 1


当?

3 3 ?a? 时,f(x)在区间(a, ?a ? a2 ? 1 )上是单调减函数,在区间( ?a ? a2 ? 1 ,+?)上是单调增函 3 3

T 故若 2 m 为 ?cn ? 中的项只能为 c1 , c2 , c3 .………………………………………………………………11 分 T2 m ?1
(Ⅰ)若 3 ?

当 a??

2(m 2 ? 1) =1 ,则 3m ?1 ? 0 ,所以 m 无解. ……………………………………………12 分 3m?1 ? m 2 ? 1
2(m ? 1) =2 ? 3m?1 ? 1 ? m2 ? 0 2 3 ? m ?1
2 m ?1

3 时 , f(x) 在 区 间 (a, ?a ? a2 ? 1 ),( ?a ? a2 ? 1 , +?) 上 是 单 调 增 函 数 , 在 区 间 3

( ?a ? a2 ? 1 , ?a ? a2 ? 1 )上是单调减函数. …………………………………………………………10 分 (3)设 P(x1,f(x1)),则 P 点处的切线斜率 m1=x12+2ax1?1, 又设过 P 点的切线与曲线 y=f(x)相切于点 Q(x2,f(x2)),x1?x2,则 Q 点处的切线方程为 y?f(x2)=( x22+2ax2?1)(x?x2), 所以 f(x1)?f(x2)=( x22+2ax2?1)(x1?x2), 化简,得 x1+2x2=?3a. ………………………………………………………………………………12 分

(Ⅱ)若 3 ?

显然 m ? 1 不符合题意, m ? 2 符合题意. 当 m ? 3 时,即 f (m) ? 3 设 g (m) ? 3
m?1 m?1

? 1 ? m , 则 f ?(m) ? 3
2

m?1

ln 3 ? 2m,

ln 3 ? 2m, 则 g?(m) ? 3m?1 (ln 3)2 ? 2 ? 0 ,

因为两条切线相互垂直,所以(x12+2ax1?1)(x22+2ax2?1)= ?1, 即(4x22+8ax2+3a2?1)(x22+2ax2?1)= ?1. 令 t= x22+2ax2?1??(a2+1),则关于 t 的方程 t(4t+3a2+3)= ?1 在 t? [?(a2 ? 1),0) 上有解,……………14 分 1 1 所以 3a2+3=?4t? ?4(当且仅当 t=? 时取等号), t 2 1 解得 a2? , 3 故 a 的取值范围是 (??, ?
3 3 ] [ , ??) 3 3

即 f ?(m) ? 3m?1 ln3 ? 2m 为增函数,故 f ?(m) ? f ?(3) ? 0 ,即 f ( m) 为增函数 故 f (m) ? f (3) ? 1 ? 0. 故当 m ? 3 时方程 3
m?1

? 1 ? m2 =0 无解,即 m ? 2

是方程唯一解。………………………………………………………………………………15 分 (Ⅲ)若 3 ?

2(m 2 ? 1) ? 3, 则 m2 ? 1 ,即 m ? 1 . m ?1 2 3 ? m ?1
…………………………………………………………………16 分
2

综上所述, m ? 1 或 m ? 2

20.(1)当 a=?1 时,f ?(x)=x ?2x?1,所以函数 f(x)在[0,1]上单调递减,……………………………………2 分 1 1 1 由 f (1)= ,即 ?1?1+b= ,解得 b=2. 3 3 3 ………………………………………………………………4 分

……………………………………………………………16 分

(2) f ?(x)=x2+2ax?1 的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为 x=?a, 因为△ =4a2+4>0,f ?(x)=0 有两个不等实根 x1,2= ?a ? a2 ? 1 ① 当方程 f ?(x)=0 在区间(a,+?)上无实根时,有
? ? a ? a, 3 解得 a ? . …………………………………………………………………………………6 分 ? 3 ? f ?(a) ? 0,

…………………………………………5 分

② 当方程 f ?(x)=0 在区间 (??,a] 与(a,+?)上各有一个实根时,有
? f ?(a) ? 0, 3 3 ?a? f ?(a)<0,或 ? ,解得 ? . ………………………………………………………8 分 3 3 ? ? a ? a,

③ 当方程 f ?(x)=0 在区间(a,+?)上有两个实根时,有
? ? a ? a, 3 解得 a ? ? . ? ? 3 f ( a ) ? 0, ?

综上:当 a ?

3 时, f(x)在区间(a,+?)上是单调增函数; 3

高三第三次调研考试数学附加卷参考答案
21B.解法一: 设 xy ? 1 上任意一点 ? x, y ? 在矩阵 A 所对应的变换作用下对应的点 ? x?, y?? ,则

以 EB, EC , EA 分别为 x, y, z 轴,建立如图空间直角坐标系, 则 B ?1,0,0 ? , C 0, 3,0 , A 0,0, 3 , · · · · · ·3 分 (1)设 P ? a,0,0? , CQ ? ? CA= 0, ? 3? , 3? , 则 PQ ? PC ? CQ ? ?a, 3,0 ? 0, ? 3? , 3? ? ?a, 3 ? 3? , 3?

?

? ?

? 2 ? ? 2 ?x? ?1 ? x ? ? ? ? A ? ?? ? ? 2 ? y? ?y ? ? ?? ? 2

? 2? ? x? ?x ? 2 ? ? ? , …………4 分,由此得 ? ? ? ? 2 ? ? y? ? ? y? ? ? 2 ? ?

2 ? x? ? y ? ? , 2 2 ? y ? ? x? ? , 2

……………………6 分
2

?

? ?
2

?

?

?

? ?

?
2

代入方程 xy ? 1 ,得 y?2 ? x?2 ? 2 . 所以 xy ? 1 在矩阵 A 所对应的线性变换作用下的曲线方程为 y 2 ? x2 ? 2 . 解法二: …………………………10 分

1? 3 ? PQ ? a ? 3 ? 3? ? 3? ? a ? 6? ? 6? ? 3 ? a ? 6 ? ? ? ? ? ……………………………5 分 2? 2 ? 6 1 当 a ? 0, ? ? 时, PQ 长度最小值为 …………………………………………………………………6 分 2 . 2
2 2 2 2

?

?

? ? A?? ? ? ?

2 2 2 2

2? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

…………4 分,设 xy ? 1 上任意一点 ? x, y ? 在矩阵 A 所对应的线性变换作用下的像为点

? 3 3? (2)由(1)知 PQ ? ? 0, ,设平面 ACD 的一个法向量为 n= ? x, y, z ? ? 2 , 2 ? ? ? ?
?? x, y, z ? ? 1,0, 3 ? 0 ? ? ? x ? 3z ? 0 由 n ? DA ,n ? DC 得 ? ,化简得 ? ,取 n ? x ? 3 y ? 0 ? ?? x, y, z ? ? 1, 3,0 ? 0 ? ?
设 PQ 与平面 ACD 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? PQ, n ?|?
? 3 10 ? . 5 6 ? 5 2

? ?

? ?

?

3, ?1, ?1

? ………………8分

? x?, y??
? ?x ? ? ? ? y? ? ?

? ? x ? ? ? , 则 ? ??? ? y? ? ? ? ?

2 2 2 2

?

? 2 2 2? x? y, ? x? ? ?? x ? ? 2 2 2 ? , 其 坐 标 变 换 公 式 为 由 此 得 ? ? ? 2 ?? y ? 2 2 ? y? ? ? x? y, ? 2 ? ? 2 2

2 ? ?? , y ? ?x 2 ……………………6 分,代入方程 xy ? 1 ,得 y?2 ? x?2 ? 2 . 2 ? ?? , x ? ?y 2
2 ? , 得 ? x ? 2? ? y2 ? 4 , 所 以 C1 的 普 通 方 程 为 :

故直线 PQ 与平面 ACD 所成角的正弦值为

10 .…………………………………………………………10 分 5

23.(1)当 n=3 时, ( a ? b )3 ? (a ? 3b) a ? (b ? 3a) b ,

? a(a ? 3b)2 ? b(b ? 3a)2 .

………………………………………………2 分

所以 xy ? 1 在矩阵 A 所对应的线性变换作用下的曲线方程为 y 2 ? x2 ? 2 .……………………………10 分
os , ?x ? 2 ? 2 c ? 21C. 解 法 一 : 将 ? 消去参数 ? y ? 2 s i?n

当 n=4 时, ( a ? b )4 ? a2 ? 4a ab ? 6ab ? 4b ab ? b2 ? (a 2 ? 6ab ? b2 ) ? 4(a ? b) ab ,

? (a2 ? 6ab ? b2 )2 ? 16ab(a ? b)2 . …………………………………………………4 分
(2)证明:由二项式定理得 ( a ? b ) ?
n

x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .…………4 分
将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程得: x ? y ? 4 ? 0 .……………………………………………6 分

? (?1) C
k k ?0

n

k n

( a ) n?k ( b ) k ,

若 n 为奇数,则
0 2 n?3 n?1 ( a ? b ) n ? [Cn ( a ) n ? Cn ( a ) n?2 ( b ) 2 ? ?? Cn ( a )3 ( b ) n?3 ? Cn ( a )( b ) n?1 ]
1 3 ? [ Cn ( a )n?1 ( b ) ? Cn ( a ) n ?3 ( b ) 3 ? n ?2 n ? Cn ( a )2 ( b )n?2 ? Cn ( b )n ] 分析各项指数的奇偶性易知,可将上式表示为

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x ? 4, ? x ? 2, 由? 解得 ? 或? ……………………………………………………………8 分 ?y ? 0 ? y ? ?2. ? x ? y ? 4 ? 0, 7? ? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 4, 0 ? 或 ? 2 2, ? . ………………………………………………10 分 4 ? ?
? x ? 2 ? 2 c?o s , 解 法 二 : 将 ? 消 去 参 数 i n ?y ? 2 s ?
2 2
2 ? , 得 ? x ? 2? ? y2 ? 4 , 所 以 C1 的 普 通 方 程 为 :

( a ? b ) n ? u1 a ? v1 b 的形式,其中 u1 , v1 ? N * ,
n 也即 ( a ? b ) ?

u12 a ? v12 b ?

p ? q ,其中 p ? u12 a , q ? v12b , p, q ? N * .…………………6 分

若 n 为偶数,则
0 2 n ?2 n ( a ? b ) n ? [Cn ( a ) n ? Cn ( a ) n?2 ( b ) 2 ? ?? Cn ( a ) 2 ( b ) n?2 ? Cn ( b)n ]
1 3 ? [ Cn ( a )n?1 ( b ) ? Cn ( a ) n ?3 ( b )3 ? n ?3 n ?1 ? Cn ( a )3 ( b )n?3 ? Cn a ( b )n?1 ]

x ? y ? 4 x ? 0 . …………………4 分 所以 C1 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? .…………………………………………………………………………6 分
? 2 π? ? 代入 ? cos ? ? ? ? ? 2 2 ,得 cos(2? ? ) ? ,……………………………………………………………8 分 4 2 4? ?

类似地,可将上式表示为 ( a ? b ) n ? u2 ? v2 ab 的形式,其中 u2 , v2 ? N ,
*
n 也即 ( a ? b ) ? 2 2 u2 ? v2 ab ?

7? ? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 4, 0 ? 或 ? 2 2, ? .…………………………………………………10 分 4 ? ? 22.解:取 BD 中点 E ,连结 AE , CE ,则 AE ? BD , CE ? BD , AE ? CE ? 3 ,
AC ? 6 ,? AE 2 ? CE 2 ? AC 2 ,??ACE 为直角三角形,? AE ? CE , ?AE ? 平面 BCD . ……………………………………………………………………………………2 分

2 2 * p ? q ,其中 p ? u 2 , q ? v2 ab , p, q ? N . ………………8 分

同理可得 ( a ? b ) n 可表示为 ( a ? b ) n ? 从而有

p? q,

p ? q ? ( p ? q )( p ? q ) ? ( a ? b ) n ( a ? b ) n ? (a ? b) n ,
综上可知结论成立. ……………………………………………………………………………………10 分



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