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2.3.3直线与平面、平面与平面垂直的性质



2.3.3

直线与平面垂直

平面与平面垂直的性质

问题提出

1.直线与平面垂直的定义是什么? 如何判定直线与平面垂直? 2. 在直线与平面垂直的条件下, 能得到哪些结论?

知识探究(一)直线与平面垂直的性质定理

思考1:如图,长方体ABCD—A1

B1C1D1 中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线 与底面ABCD的位置关系如何?它们 彼此之间具有什么位置关系?
C1 B1 C B A A1 D D1

思考2:如果直线a,b都垂直于同一 条直线l,那么直线a,b的位置关系 如何?
l
a b a b

l

b

l
a

思考3:一个平面的垂线有多少条? 这些直线彼此之间具有什么位置关 系?

思考4:

a

b

α

根据上述分析,得到一个什么结论?

垂直于同一个平面的两条直线平行
上述定理叫做直线与平面垂直的性质定理. 用符号语言可表述为: .

a ? ? , b ? ? ? a // b

知识探究(二)直线与平面垂直的性质探究

思考1:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//a,则b与α 的位置关 系如何?
a
b

α

思考2:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//α ,则a与b的位置关 系如何?
b

a

α

思考3:设l为直线,α ,β 为平面, 若l⊥α ,α //β ,则l与β 的位置关 系如何?
l
α β

思考4:设l为直线,α 、β 为平面, 若l⊥α ,l⊥β ,则平面α 、β 的位 置关系如何?

l α

β

例1:判断下列命题是否正确,正确的在括号 内打对号,错误的打错号。 (1)在空间中,垂直于同一直线的两条直线 互相平行。 ( ) (2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 ( ) (3)垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 ( ) (4)一条直线在平面内,另一条直线与这个 平面垂直,则这两条直线互相垂直。( )

巩固练习: 课本P71 练习2

例2 如图,已知 ? ? ? ? l , CA ? ? , 于点A,CB ? ? 于点B, a ? ? , a ? AB, 求证:a // l .
β B α l A a

C

? .(2012年高考(江苏))如图,在直三棱 E 分别 柱 ABC ? A1B1C1 中, A1 B1 ? A1C1, D , CC1 上的点(点D 不同于点C),且 是棱 BC , AD ? DE , F 为B1C1 的中点. ? 求证:(1)平面 ADE ?平面 BCC1 B1 ; ? (2)直线 A1F // 平面 ADE .

问题提出

1.平面与平面垂直的定义是什 么?如何判定平面与平面垂直?

2. 在平面与平面垂直的条件下, 能得到哪些结论?

知识探究(三)平面与平面垂直的性质定理

思考5:如果平面α 与平面β 互相垂 直,直线l在平面α 内,那么直线l与 平面β 的位置关系有哪几种可能?
α l α l α

l
β β β

思考6:黑板所在平面与地面所在平 面垂直,在黑板上是否存在直线与 地面垂直?若存在,怎样画线?
α

β

据上分析可得什么定理?试用文字 β 语言表述之.
D
B C A

α

定理 若两个平面互相垂直,则在 一个平面内垂直交线的直线与另一 个平面垂直.

上述定理叫做两平面垂直的性质定理, 结合下图,如何用符号语言描述这个定理
α l

β
m

? ? ? , l ? ? , ? ? ? ? m, l ? m ? l ? ?.
面面垂直

?

线面垂直

理论迁移

如图,已知α ⊥β ,a⊥β , a ? ? ,试判断直线 a与平面α 的位 置关系,并说明理由. 例3
α b m β a

巩固练习: 1、P72探究 2、P73 练习1,2

作业:
P74 习题B 第4题



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