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选修4-1 第2讲 直线与圆的位置关系



第 2 讲直线与圆的位置关系
一、填空题 1.如图,在圆内接四边形 ABCD 中,∠A=60°,∠B=9 0°,AB=2,CD=1, 则 BC=________. 解析延长 BC 交 AD 的延长线于 P, ∵∠B=90°, ∠A=60°, ∴∠P=30°,∠CDP=∠B=90°. 在 Rt△CDP 中 ,CD=1, ∴PC=2. 在 Rt△ABP 中, BP= 3AB

=2 3, ∴BC=BP-PC=2 3-2. 答案 2 3-2 2.如图,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB, 则 AB=________.

解 析 由 弦 切 角 定 理 得 ∠PAB = ∠ACB , 又 因 为 ∠BAC = ∠APB , 所 以 AB PB △PAB∽△ ACB,可得BC=AB,将 PB=7,BC=5 代入得 AB= 35. 答案 35 3.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=72° ,⊙O 过 A、B 两点且与 BC 相切于点 B,与 AC 交于点 D,连接 BD, 若 BC= 5-1,则 AC=________. 解析 由题易知,∠C=∠ABC=72° ,∠A=∠DBC= 36° ,所以△BCD∽△ACB,

又易知 BD=AD=BC,所以 BC2=CD· AC=(AC-BC)· AC,解得 AC=2. 答案 2 4.如图, 已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分 别为 3 cm, 4 cm, 以 AC 为直径的圆与 AB 交于 D, BD 则DA=________. 解析 ∵∠C=90° ,AC 为圆的直径, ∴BC 为圆的切线,AB 为圆的割线, ∴BC2=BD· AB,即 16=BD· 5,解得 BD= 16 9 BD 16 ∴DA=BA-BD=5- 5 =5,∴DA= 9 . 答案 16 9 16 , 5

5.如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 PB 1 PC 1 BC DC 相 交于 点 P ,若 PA = 2 , PD = 3 , 则 AD 的 值 为 ________. 解析 ∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD, ∴△PCB∽△PAD, PB PC BC ∴PD= PA =DA, PB 1 PC 1 BC 6 ∵ PA =2,PD=3,∴AD= 6 . 答案 6 6

6.如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E, EF⊥DB,垂足为 F,若 AB=6,AE=1,则 DF· DB =________. 解析 由题意知,AB=6,AE=1, ∴ BE = 5. ∴ CE· DE = DE2 = AE· BE = 5. 在 Rt △ DEB 中,∵EF⊥DB,∴由射影定理得 DF· DB=DE2=5. 答案 5

7.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,∠BOD=110°,则∠BCD=______度.

解析:∵∠BOD=110°, 1 ∠BAD=2∠BOD, ∴∠BAD=55°. ∵四边形 ABCD 内接于⊙O, ∴∠BAD+∠BCD=180°, ∴∠BCD=125°.[来源:Z*xx*k.Com] 答案:125 8.如图,⊙O 和⊙O′相交于 A、B 两点,过 A 作两圆 的切线分别交两圆于 C、D.若 BC=2,BD=4,则 AB 的长为________. 解析 ∵AC、AD 分别是两圆的切线, ∴∠C=∠2,∠1=∠D, ∴△ACB∽△DAB. BC AB ∴AB=BD, ∴AB2=BC· BD=2×4=8. ∴AB= 8=2 2(舍去负值). 答案 2 2 二、解答题 9.如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直 线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF∥ AB, 证明:(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.

证明 (1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DE∥BC.又已知 CF∥AB, 故四边形 BCFD 是平行四边形,所以 CF=BD=AD.而 CF∥AD,连结 AF, 所以四边形 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF. 因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC. (2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD.所以∠BGD=∠BDG. 由 BC=CD 知∠CBD=∠CDB. 而∠DGB=∠EFC=∠DBC, 故△BCD∽△GBD. 10.如图,已知 AB 是半圆的直径,D 是 AB 上的一点,CD⊥AB,CD 交半圆于 点 E,CT 是半圆的切线,T 是切点,

求证:BE 2+CT2=BC2. 证明:连接 AE,AF,∵AB 是直径, ∴∠AEB=∠AFB=90°,

又∠CDB=90°,∠ABF=∠DBC, ∴△DBC∽△FBA, AB BF ∴CB=BD, 即 AB· BD=BC· BF, ∵∠AEB=90°,CD⊥AB,

∴BE2=BD· AB(射影定理). ∵CT 是切线,CB 是割线, ∴CT2=CF· CB. ∴BC2-CT2=BC2-CF· CB =BC(BC-CF)=BC· BF, ∴BE2=BC2-CT2,即 BE2+CT2=BC2.



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