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1.3.2二项式定理习题课



1.3.2二项式定习题课

一、复习回顾
1.二项式定理及其特例
0 n 0 1 n?1 1 k n? k k n 0 n (a ? b)n ? _____________________________________ Cn a b ? Cn a b ? ? Cn a b ? ? Cn ab 0 0 1 1 k k n n n Cn x ? Cn x ? ? Cn x ? ? Cn x (1 ? x) ? _____________________________________

2.二项式系数?系数? 3.二项展开式通项: Tk ?1

k n ?k k ? _____________________ n

C a

b

4.二项式系数性质(杨辉三角的规律)

(a ? b) 的二项式系数C , C , C 性质:
n 0 n 1 n n n

(1)C ? C (对称性)
m n

n?m n

(2)C ? C
m n

m ?1 n

?C

m n ?1
n 2 n

(3)当n为偶数时,C 最大
当n为奇数时, C
n ?1 2 n

=C

n ?1 2 n

且最大

0 1 n ( 4) C n ? Cn ? ? ? Cn

?2

n

二、典型题目
2 (2 x ? 例1.(1)求

类型一:二项展开式有关概念
1 6 ) 的展开式中的有理项 3 x
2 6?k

1 k k 6? k 解:(1)Tk ?1 ? C (2 x ) (? 3 ) ? (?1)k C6 2 x x 7k 有理项需12- 为整数 3 故k=0,3,6时,所取项均为有理项
k 6

12?

7k 3

T1 =(-1) C 2 x =64 x
3

0

T4 =(-1) C 2 x =-160x 1 6 6 0 -2 T7 =(-1)C6 2 x = 2 x

0 6 12 6 3 3 5 6

12 5

类型一:二项展开式有关概念

(2)求( x ? 2) ( x ?1)展开式中含x 的项系数
10 2 2

由(x+2)中的常数项? (x -1)中的x 可得x
10 2 2
0 0 10 2 2 8 故:C10 x 2 ? x2 ? C10 x 2 ? (?1) ? ?10496x2

k k 10?k 解 : ( x ? 2)10的通项是:C10 x 2

2

10 2 由(x+2)中的含 x2的项? (x-1) 中的常数项-1可得x2

则,该展开式中含x2项的系数为 ?10496

巩固练习:
3

1 9 1.(3 x ? ) 展开式中有理项的个数为( ) x

C
D.3

A.0

B.1

C.2

6 2.(1+x3 )(1-2x) 展开式中x5的系数为 _____

?132

类型二:二项式系数(系数)之和问题
7 2 已知 (1 ? 2 x ) = a ? a x ? a x ? 例2. 0 1 2

? a7 x7

求 : (1)a0

(2)a0 ? a1 ? a2 ?

a7

(3)a0 ? a2 ? a4 ? a6

(4)a1 ? a3 ? a5 ? a7 解 : (1)原式中令x ? 0得:a0 =1

(5) a0 ? a1 ? a2 ?

? a7

(2)原式中令x=1得:a0 ? a1 ? a2 ? a7 =-1 (3)原式中令x=-1得:a0 ? a1 ? a2 ? ? a7 =37 =2187

即:(a0 +a2 ? a4 ? a6) ? (a1 ? a3 +a5 ? a7 )=37 由(2)知(a0 +a ? a4 ? a6)( + a1 ? a3 +a5 ? a7 )=-17 72 3 -1 3 -1 ? a0 ? a2 ? a4 ? a6 = =1093 ,a1 ? a2 ? a5 ? a7 ==-1094 2 2 (5) a0 ? a1 ? a2 ? ? a7 =a0 ? a1 ? a2 ? ? a7

由(3)知 a0 ? a1 ? a2 ?

? a7 =37 =2187

巩固练习
1.已知(2x ?1)8 =a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? a8 x8

求: (1)a0 ? a1 ? a2 ? 答案: (1)a0 ? a1 ? a2 ?

a8

(2)a1 ? a3 ? a5 ? a7 (3) a0 ? a1 ?

? a7

a8 =1

(2)a1 ? a3 ? a5 ? a7 =-3280

(3) a0 ? a1 ?

? a7 =38 =6561

类型二:二项式系数(系数)之和问题
例3.

已知x10 +1=a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) 2 ?
(2)a0 ? a1 ? a2 ? a10

? a10 ( x ? 2)10

求 : (1)a6

解:(1)

x +1=( ? x-2)+2? ? 1
10 10

6 6 4 6 ?T7 =C10 (x-2) 2 =3360 (x-2)

? a6 ? 3360
(2) 令x-2=1,即x=3得:

a0 ? a1 ? a2 ?

a10 =310 +1=59050

类型三:二项式系数(系数)最大值问题
例4.

(1) 求( x ?1)9的展开式中系数最大的项

k 9? k 解:(1) Tk ?1 ? C9 x (?1)k

?k=4时,T4?1 ? C94 x9?4 (?1)4 =126 x5
9 即,(x-1) 展开式中系数最大的项是126 x5

类型三:二项式系数(系数)最大值问题
例4.

24 x 3k 4 ? 1 1 解:(2) Tk ?1 ? C8k ( x )8?k ( 4 )k ? ( )k C8k x 4 2 2 x 设第k+1项的系数最大,则有 1 k ?1 k ?1 ? 1 k k ( ) C8 ? ( ) C8 ? ? 2 2 ? 2?k ?3 ?( 1 ) k C k ? ( 1 ) k ?1 C k ?1 8 8 ? ? 2 2

(2) 求( x ?

1

)8的展开式中系数最大的项

?
7 4

? k ? 2或3时,项的系数最大

即为T3 =7 x , T4 ? 7 x

5 2

巩固练习
2 8 求( x ? 2 ) 的展开式中二项式系数最大的项以及系数最大的项 x 5k 4? 2 解:Tk ?1 ? C8k ( x )8?k (- 2 ) k ? (?1) k 2k C8k x 2 x 2 4 4 4 ? 二项式系数最大的项为T5 ? C8 ( x ) (- 2 ) ? 1120 x ?6 x 设第k+1项的系数绝对值最大,则有
k k k ?1 k ?1 ? 2 C ? 2 C8 ? 8 5?k ?6 ? k k k ?1 k ?1 ? ?2 C8 ? 2 C8 ? k ? 5或6时,项的系数绝对值最大

?
? 17 2

即为T6 =-1792 x , T7 ? 1792 x-11 故:系数最大的项为T7 ? 1792x-11

类型四:整除、不等式证明、近似值问题
1 n * 例5. (1)证明2 ? (1+ ) ? 3, n ? n n 1 n 证明:(1) 先证2 ?(1+ ) n 1 n 1 1 2 1 2 n 1 n (1+ ) =1+C n ( ) ? C n ( ) ? ? C n ( ) n n n n 1 1 2 2 n n =1+1 ? C ( ) ? ? C ( ) ? 2 (n=2时取=) n n 1 n n n 下证(1+ ) ? 3 n 11 当n=1时,(1+ ) ? 3成立 11 n 1 1 2 1 2 n 1 n 当n ? 2时,(1+ ) ? 1+C n ( ) ? C n ( ) ? ? C n ( ) n n n n

1 2 ? 1+1 ? C ( ) ? n
2 n

1 n ?C ( ) n
n n

1 n 2 1 2 (1+ ) ? 1+1 ? Cn ( ) ? n n

1 n ?C ( ) n
n n

n(n ? 1) 1 n(n ? 1)(n ? 2) 1 ? 1+1 ? ? 2 2! n 3! n3

n(n ? 1) ? n!

1 1 nn
1 n

1 n (n ? 1) 1 n (n ? 1) (n ? 2) 1 n (n ? 1) (n ? 2) ? 1+1 ? ? ? 2! n n 3! n n n n! n n n 1 1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ? 2? ? ? 2! 3! n! 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? 3? ?3 2 2 3 n ?1 n n 1 n 综上所述:2 ?(1+ ) ? 3, n ? n*成立 n

类型四:整除、不等式证明、近似值问题

例5.(2)证明8 ? 1能被7整除
n
n 证明: 8n ?1=(7+1) ?1 0 0 1 1 2 2 =C7 7 ? C7 7 ? C7 7 ?

7 7 C7 7 ?1 7

? C 7 ?C 7 ?
1 1 7 2 7 2 1 2 1 ? 7(C7 ? C7 7 ?

C 7

7 7

7 6 C7 7)

?8 ?1能被7整除
n

类型四:整除、不等式证明、近似值问题

例6.(1)求1.0009 的近似值(精确到0.001)
10 解: 1.000910 =(1+0.0009) 0 1 2 =C10 0.00090 ? C10 0.00091 ? C10 0.00092 ?

10

10 ? C10 0.000910

=1 ? 0.009 ? 0.00003645 ? ? 1 ? 0.009 ? 0.00003645 ? 1.009

类型四:整除、不等式证明、近似值问题

例6.(2)求89 除以87的余数
10 解: 8910 =( 87+2)

10

=C 87 2 +C 87 2 +C 87 2 + +C 87 2 0 1 2 7 2 9 10 =87(C10 87 2 +C10 87 2 +C10 87 2 + +C10) +2
0 8 1 2 7 2 =87(C10 87920 +C1 87 2 +C 87 2+ 10 10 9 +C10 ) +87 ?11+67

0 10

10 0

1 10 9 0

9 1

2 10 8 1

8 2

10 10

0 10

故:8910除以87的余数为67

巩固练习 6 1.求1.05 的近似值(结果精确到0.01)

答案: 1.34

2.今天是星期一,则过2 天后是星期几?
答案:星期二

102

知识小结:

类型一:二项展开式有关概念 类型二:二项式系数(系数)之和问题
类型三:二项式系数(系数)最大值问题 类型四:整除、不等式证明、近似值问题



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