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《2.5等比数列的前n项和》教学设计



职称论文发表-----济南天之信 《2.5 等比数列的前 n 项和》教学设计
一、教学目标: 1.知识与技能: 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能 初步应用公式解决与之有关的问题。 2.过程与方法: 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、 分类讨论、方程等数学思想,继续培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思

维能力。 3.情感、态度、价值观: 通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物之间 等价转化和理论联系实际观点。 二、教学重、难点: 1.重点:等比数列的前 n 项和公式推导及应用。 2.难点:等比数列的前 n 项和公式推导方法及灵活应用公式解决有关问题。 三、授课类型:新授课 四、课时安排:1 课时 五、教材分析: 本节是对公式的教学,要充分揭示公式之间的内在联系,掌握与理解公式 的来龙去脉,掌握公式的导出方法,理解公式的成立条件。也就是让学生对本 课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件,直接 记忆公式的结论是降低教学要求,违背教学规律的做法。 六、教法与学法: 根据新课程标准及本节课的特征,在教学中,我主要采用问题教学法,以 教师设计的小设问层层推导,并穿插启发引导、互动讨论多种教学方式,希望 能达到起点低,落点高的教学效果。在课堂上学生的学法以观察发现、自主探 究、类比联想、归纳总结的方式学习,让学生体会由特殊到一般,再由一般回 到特殊的学习过程。 七、教学准备: 1.普通高中课程标准教科书数学(必修)5 及配套光盘; 2.课件《等比数列的前 n 项和》 。

八、教学过程: 1.复习回顾,知识准备: 复习等差数列和等比数列的定义、通项公式、性质等内容,即检查学生对 先前知识的掌握情况,又为本节课学习做好准备。 2.创设情境,引入课题: 首先故事引例后, 设置问题一:同学们,你们知道西萨要的是多少小麦吗? 在学生思考交流后容易得到发明者西萨要求的麦粒总数是:
s64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ... ? 263

①。紧接着提出问题二:你能说出此式的特点吗?让

学生观察得到这就是等比数列求和问题。再抛出第三个问题:你会计算吗? 设计意图:通过教科书故事引例,让学生从数学角度看待生活中的问题,体 现数学与生活的密切联系,激发探索兴趣。 3.师生互动,探究问题: 在上个环节提出第三个问题后,给学生时间思考交流,学生可能会用计算 器逐步计算,但是遇到阻力,计算量太巨大了,此时提出问题: 还有更好的方 法来计算吗?这里给学生留适当的时间思考后再提出问题 :如果①式两边同时 乘以 2 得: 2s64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ... ? 263 ? 264 ② 请你比较①、 ②两式, 你有什么发现? 在学生充分地比较、讨论后可以发现, 两式上下相对的一些项完全相同, 把两式相减,就可以,得到 s64 ? 264 ? 1 。到这里,学生会惊奇的发现如此简洁 的计算方式,从而激发强烈的学习兴趣,充分感受到成功的情感体验,和学好 数学的信心。 思考:纵观全过程,①式两边为什么要乘以 2 而不乘以其它的数呢?通过 反问,让学生能发现乘以 2 就是乘以公比,才能做减法消去相同的项,这是突 破错位相减法学习的关键。 设计意图:是让学生通过对特殊问题的解决,为下一步向一般过渡做好铺 垫。 4.类比联想,解决问题: 在这个环节中先给出教材问题,求和: sn ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ... ? a1q n?1 ,让学生 观察此式特点,与①式有何区别?学生会发现这依然是一个等比数列求和问题, 首项是 a1 ,公比是 q 。让学生类比联想使用刚得到的错位相减法,让学生自主探 究,合作交流,并评价学生的解法,教师适时提出问题,当通过错位相减得到
(1 - q)S n ? a1 (1 ? q n ) 时,能不能直接两边同除以 (1 ? q) 呢?从而引导学生对 q =1 和
q ? 1 进行分类讨论,得到完整准确的结果。
1

设计意图:本环节以问题为载体,学生活动为主体,在教师指导下,让学 生从特殊到一般,从已知到未知,步步深入,归纳总结,形成通法,解决了本 节课的大部分重点难点。增强了思维的严谨性和全面性并体验到学习的成功和 愉快。 5.新知运用,深化认识: 例 1:求下列等比数列前 8 项的和。 (1) , , ,...
1 1 1 2 4 8

(2) a1 ? 27, a9 ?

1 , q ? 0. 243

设计意图:此题选自教材 P56 例题,通过对本题的学习和解答,研究公式 特点,直接套用公式,促进学生新的数学认知结构的形成,目的一方面是加深 对公式的认识和理解,另一方面是提高分析、类比、和综合能力。 6.强化练习,变式应用: 强化练习: 根据下列各题中的条件, 求相应的等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn : (1) a1 ? 3, q ? 2, n ? 6 (2) a1 ? ?2.7, q ? ? , a n ?
1 3 1 90

变式应用: “远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖 头几盏灯?”这首中国古诗的答案是多少? 设计意图:采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解,通过 直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学 生新的数学认知结构的形成。通过以上形式,让全体学生都参与教学,以此培 养学生的参与意识和竞争意识。变式应用题也体现了数学的文化价值。 7.拓展提升,形成技能: 求和: (a ? 1) ? (a 2 ? 2) ? ... ? (a n ? n), a ? 0 。 设计意图:针对学生素质的差异进行分层指导,既使学生掌握基础知识, 又使学有余力的学生有所提高。 8.感悟高考,学有所得: (1) (2008 宁夏卷 4)设等比数列的公比 q=2,前 n 项和为 Sn ,则 A. 2 B. 4 C.
15 2

S4 ? a2

D.

17 2

(2) (2013 全国卷 3) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 S 3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 , 则 a1 ? (
2

)

A.

1 9

B. -

1 9

C.

1 3

D. -

1 3

(3) (2009 宁夏卷 14)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 4a1 ,2a2 , a3 成等差 数列。若 a1 ? 1 ,则 S 4 ? 设计意图:题目选自近几年高考题,让学生感受高考要求,明确考点,形 成技能。解题时,以学生分析为主,教师适时给予点拨。 9.小结归纳,总结体系: 设计意图:提出问题,引导学生回顾公式及其推导方法,鼓励学生积极回 答,知识性内容的小结将把知识转化为学生的内在素质,思想方法的小结从更 高层次上思考问题,既培养了学生的语言表达能力和思维的严谨性,又有利于 学生构建完整的知识体系,养成良好的学习习惯。 10.课后作业,分层巩固 必做: (1)习题 2.5:A 组 1、2、4; (2)步步高:基础过关 3、5。 选做:求和 x ? 2x 2 ? 3x 3 ? ... ? nxn ; 设计意图:作业是必做题选取教材习题,使新知得到有效巩固。出选做题 的目的是注意分层教学和因材施教,让学有余力的学生有思考的空间。 九、教学反思: 1.问题情境故事化。采用叙述故事来创设问题情景,意在营造和谐、积极 的学习气氛,激发学生的探究欲,让学生感受数学的应用价值,通过问题的解 决,在特殊方法之中蕴涵一般规律,使学生自己去体会其中的思想方法,为进 一步学习奠定基石。 2.问题情境与公式推导探究活动化。教学中本着以学生发展为本的理念, 充分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会,通过他们自主 学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法,共享学习成果,体验数学学习 成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流,发展学生的数学观察能力和语 言表达能力,培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发, 借助于变式教学的模式,培养学生思维的发散性、深度与广度,加深学生对知 识的理解。 3.巩固练习结构、层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练 练习,强化对公式的理解和运用。通过例题的分析,进一步强化了公式的结构 特征,促进学生主动建构,有助于学生形成知识模块,优化知识体系,加强对 数学思想方法的感悟。 4.板书设计人性化。必要的推理和演算过程板书在黑板上,有助于学生的
3

阅读和理解,即时在黑板上整理总结归纳知识,作到知识和思想方法的一目了 然,方便学生作笔记。 5.通过推导方法的研究,使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前 n 项 和公式。错位相减:变加为减,等价转化;递推思想:纵横联系,揭示本质; 等比定理:回归定义,自然朴实。学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的 数学思想,培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过精 讲例题,发散一点变式教学,使学生既巩固了知识,又形成了技能。在此基础 上,通过民主和谐的课堂氛围,培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯, 也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。 {1}薛编辑,天之信{J}2355.417.69.4 {2}《2.5 等比数列的前 n 项和》教学设计

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