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3.2《简单的三角恒等变换》(一)课件(人教A版必修4)



学习目标定位

基础自主学习

典例精析导悟

课堂基础达标

知能提升作业

一、选择题(每题4分,共16分)

1.计算2cos222.5°-1的结果等于(
1 (A) 2

)
(D) 3
2 3

(B) 2
2

(C) 3

【解题提示】直接套用倍角公式的逆用公式,即降幂公

式即可.
【解析】选B.2cos222.5°-1=cos45°=
2 . 2

? -sin4 ? +2的最小正周期是( ) 2 2 ? (A)π (B)2π (C) (D) ? 2 4 【解析】选B.y=cos4 ? -sin4 ? +2 2 2 =(cos2 ? -sin2 ? )·(cos2 ? +sin2 ? )+2 2 2 2 2 =(cos2 ? -sin2 ? )+2=cosα+2. 2 2

2.函数y=cos4

∴最小正周期为2π.

3.若已知sinx-cosx=sinx·cosx,则sin2x等于(

)

(A)2 2 +2
(C)-2 2 -2 1-sin2x= sin22x ∴sin22x+4sin2x-4=0.
1 4

(B)2 2 -2
(D)-2 2 +2

【解析】选B.由sinx-cosx=sinx·cosx,两边平方得:

∴sin2x=2 2 -2,sin2x=-2 2 -2(舍去).

4.(2010·郑州高一检测)下列各式中,值为
(A)sin15°cos15°
tan22.5? (C) 1-tan 2 22.5?

1 的是( 2 (B)cos2 ? -sin2 ? 12 12 ? (D) 1+cos 6 2

)

【解析】

二、填空题(每题4分,共8分) 5.(2010·全国Ⅱ改编)已知α 是第二象限的角,
4 tan(π +α )=- , 则tan ? =____. 3 2 ? 是第一象限或第三象限 2

【解析】∵α是第二象限的角,则 的角.

又∵tan(π+α)=- 4 ∴tanα=- 4 ,
? 2tan 2 =- 4 . 即 ? 3 1-tan 2 2 ?
3 3

∵tan

>0,∴tan ? =2.
2

2

答案:2

6.如果tan(α +β )= , tan(β 1+tan? =tan( ? +α) 1-tan? 4 =tan[(α+β)-(β- ? )] 4 ? tan(? +?)-tan(?- ) 4 = 3. = ? 22 1+tan(? +?)tan(?- ) 4 答案:3 22

【解题提示】逆用两角和的正切公式.
【解析】

2 5

? 1 )= , 那么 1+tan? =____. 4 4 1-tan?

三、解答题(每题8分,共16分)

7.已知向量 a =(cosx+sinx,sinx),
? ? ? =(cosx-sinx,2cosx),设f(x)= a ?b. b

?

(1)求函数f(x)的最小正周期. (2)当x∈[? ? , ]时,求函数f(x)的最大值及最小值. 4 4

【证明】(1)f(x)= a ?b =(cosx+sinx)(cosx-

? ?

sinx)+2sinxcosx
=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x = 2 sin(2x+
? ). 4 2? =π. 2

所以函数f(x)的最小正周期T=

? ≤x≤ ? , 4 4 ? ∴- ≤2x+ ? ≤ 3? , 4 4 4 -1≤ 2 sin(2x+ ? )≤ 2. 4 ∴当2x+ ? = ? ,即x= ? 时,f(x)有最大值 2 ; 8 4 2 ? 当2x+ =- ? ,即x=- ? 时,f(x)有最小值-1. 4 4 4

(2)∵-

8.已知sin(2α +β )=5sinβ .求证:2tan(α +β )=3tanα .

【证明】由条件得:sin[(α+β)+α]=5sin[(α+β)-α],
两边分别展开得 sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=5sin(α+β)cosα5cos(α+β)sinα. 整理得:4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα. 两边同除以cos(α+β)cosα得:2tan(α+β)=3tanα.

9.(10分)已知 m =(cosθ ,sinθ )和 n =( 2 值.
5

??

?

? ? ?? ? sinθ ,cosθ ),θ ∈(π ,2π )且| m+n |= 8 2 . 求cos( + )的 2 8

【解析】



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