9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015年高一理科数学不等式的最值问题



理科不等式的最值问题 一、基本不等式
1.若 a, b ? R , 则 a 2 ? b 2 ? 2ab 时取“=”)
2. 若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” )
2 2 变形: 若 a, b ? R , 则 ab ? a ? b (当且仅当 a ? b

2
<

br />a ?b? 3.若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
4.若 a, b ? R ,则 ( 5.

2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2

2ab a ?b a 2 ? b2 (当且仅当 a=b 时取“=”号)。 ? ab ? ? a?b 2 2 6. a ? b ? a ? b ? a ? b .
注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方 面有广泛的应用.

二、极值定理:已知 x, y 都是正数,则有
(1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 (3)已知 a, b, x, y ? R ,若 ax ? by ? 1 则有
?

1 2 s . 4

1 1 1 1 by ax ? ? (ax ? by )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) 2 。 x y x y x y a b ? (4)已知 a, b, x, y ? R ,若 ? ? 1 则有 x y a b ay bx x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )2 x y x y

不等式的最值复习题
1. (2013 高一下洪高 3)已知 x ? 2 ,则函数 y ? A.5 【答案】B B.4 C.8

x2 ? 4 x ? 8 的最小值是 x?2

( )

D.6

2(2013 高一下洪高 12) .函数 f (x) ?

x(8 ? 3x) 的最大值为



1

【答案】

4 3 3

3.(2013 高一下洪高 15)已知 a ? b ,且 ab ? 3 ,则 【答案】 2 6

a 2 ? b2 的最小值为 a ?b



4.(2014 武汉三中高一下期末 7)若 a, b, c ? 0 ,且 a(a ? b ? c ) ? 27 ,则 2a ? b ? c 的最小 值为( ) 【答案】B A.12 B. 6 3 C. 2 3 ? 2 D. 2 3 ? 2

5.(2014 高一外校下期中 9)已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ( x ?1)( y ?1) ?2 ,则 x ? y 的取值范围 是( ) B. [2, ??) C. [2 2 ? 2, ??) D. [ 2 ? 2, ??)

A. [3, ??) 【答案】C 解:设

x ?1 ? t1, y ?1 ? t2 , x ? y ? (t1 ? 1)(t2 ? 1) ? 2 t1t 2 ? 2
3 3 2 2

6. (2014 高一外校下期中 10) 已知 a , b 为不相等的两正数, 且a ?b ? a ?b , 则a ?b 的 取值范围是( A. (0, )
2 2

) B. (1, )

4 3

4 3

C. ( , 2)
2

4 3

D. (1, 2)

解: a ? ab ? b ? a ? b ? 0,(a ? b) ? ab ? (a ? b) ? 0

ab ? (a ? b)2 ? (a ? b) ? (

a?b 2 ) 2


7.(2014 高一下期末十九中 9)若正数 x,y 满足 x ? 3 y ? 5xy ,则 3x+4y 的最小值是( A.

24 5

B.

28 5

C. 5

D. 6

【答案】C

) ( b2 ? ) 8. (2014 高一下期末十九中 17) 若实数 a,b 满足 ab ? 4a ? b ? 1 ? 0(a ? 1) , 则 (a ?1
的最小值为 【答案】27 .

9.(2014 高一下武汉中学期中 6)如果 log3 m ? log3 n ? 4, 那么 m ? n 的最小值是( A. 4 【答案】D B. 4 3 C.9 D. 18



, x , y ? ( 0? , ?, )则 10 . ( 2013 高 一 下 期 末 统 考 15 ) 若 a , b 是 正 常 数 , a ? b
2

a b a 2 b 2 ( a ? b) 2 ,当且仅当 ? 时上式取等号,利用以上结论,可以得到函数 ? ? x y x y x? y
f ( x) ? 2 9 1 ? , x ? (0, ) 的 最 小 值 为 _________ , f ( x) 取 最 小 值 时 x 的 值 为 x 1? 2x 2

_____________. 【答案】25, 11. ( 2012

1 5
高 一 下 期 末 十 二 中 15 ) 已 知 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2 , 则 最 小 值 为

x 2 ? y 2 ? x 2 ? (2 ? y ) 2 ? (2 ? x) 2 ? y 2 ? (2 ? x) 2 ? (2 ? y ) 2
______. 【答案】 4 2

x, y 满 足 约 束 条 件 12 .( 2009 山 东 12 ) 设

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? ?x? y?2?0 ? x ? 0, y ? 0 ?

,若目标函数

2 3 ? z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 12,则 a b 的最小值为(
25 A. 6
【答案】A



8 B. 3

11 C. 3

D. 4

13.(2009 天津 6)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则
a b

1 1 ? 的最小值为 a b

A 8
【答案】B

B 4

C1

D

1 4

14.(2010 四川 12)设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a ?
2

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 的最小值是 ab a(a ? b)
(D)5

(A)2
【答案】B

(B)4

( C) 2 5

a2 ?

1 1 1 ? ? a 2 ? 10ac ? 25c 2 ? a 2 ? ? ( a ? 5c ) 2 ab a (a ? b ) b(a ? b)

? a2 ?

4 ? 0 ? 4 当且仅当 b ? a ? b, a ? 5c 时取等号 a2

3

15. (2010 山东 14) 若对任意 x ? 0 ,
【答案】 a ?

x ? a 恒成立, 则 a 的取值范围是___________. x ? 3x ? 1
2

1 5
.

16. (2011 浙江 16) 设 x, y 为实数, 若 4x2 ? y 2 ? xy ? 1 , 则 2 x ? y 的最大值是 解析: 1 ? 4 x ? y ? xy ? (2 x ? y ) ?
2 2 2

3 3 2x ? y 2 (2 x) ? y ? (2 x ? y ) 2 ? ( ) 2 2 2

可解得 2x+y 的最大值为

2 10 。 (利用不等式) 5

17. (2011 重庆 7)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= A.

7 2

B.4

1 4 ? 的最小值是 a b 9 C. 2

D.5

【答案】C 18.(2011 湖南 10)设 x, y ? R ,则 ( x ?
2

1 1 )( 2 ? 4 y 2 ) 的最小值为 2 y x



【答案】9

解析:由柯西不等式可知 ( x 2 ?

1 1 )( ? 4 y 2 ) ? (1 ? 2) 2 ? 9 。 y 2 x2
1 1 1 ? ? ? xy ; xy x y

19.(2011 安徽 19) (Ⅰ)设 x ? 1, y ? 1,证明 x ? y ?

(Ⅱ) 1 ? a ? b ? c ,证明 loga b ? logb c ? logc a ? logb a ? logc b ? loga c 证明:(Ⅰ)由于 x≥1,y≥1;则 x+y+

1 1 1 ≤ + +xy?xy(x+y)+1≤x+y+(xy)2; xy x y

用作差法,右式﹣左式=(x+y+(xy)2)﹣(xy(x+y)+1) =((xy)2﹣1)﹣(xy(x+y)﹣(x+y)) =(xy+1)(xy﹣1)﹣(x+y)(xy﹣1) =(xy﹣1)(xy﹣x﹣y+1) =(xy﹣1)(x﹣1)(y﹣1); 又由 x≥1,y≥1,则 xy≥1;即右式﹣左式≥0,从而不等式得到证明. (Ⅱ)设 logab=x,logbc=y, 由换底公式可得:logba=

1 1 1 ,logcb= ,logac= ,logac=xy, x y xy

4

于是要证明的不等式可转化为 x+y+ 其中 logab=x≥1,logbc=y≥1,

1 1 1 ≤ + +xy; xy x y

由(Ⅰ)的结论可得,要证明的不等式成立. 20 . ( 2013 上海 12 )设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,

a2 f ( x) ? 9 x ? ? 7 ,若 f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________ x
【解答】 f (0) ? 0 ,故 0 ? a ? 1 ? a ? ?1 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 即 6 | a |? a ? 8 ,又 a ? ?1 ,故 a ? ?

a2 ? 7 ? a ?1 x

8 . 7
时,

21.(2013 天津 14) 设 a + b = 2, b>0, 则当 a = 【答案】-2

1 | a| 取得最小值. ? 2| a| b

22.(2013 山东 12)设正实数 x, y, z 满足 x ? 3xy ? 4 y ? z ? 0. 则当
2 2

xy 取得最大值时, z

2 1 2 ? ? 的最大值为 x y z
(A) 0 【答案】B 23.(2014 重庆 12)函数 f ( x) ? log 2 【答案】 ? (B) 1 (C)

9 4

(D) 3

x ?log 2 (2 x) 的最小值为_________.

1 4
2 2

24.(2014 辽宁 16) 对于 c ? 0 , 当非零实数 a, b 满足 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 , 且使 | 2a ? b | 最大时,

3 4 5 ? ? 的最小值为 a b c

.

【答案】 ?2

设2a ? b ? t, 则2a ? t ? b,因为4a2 ? 2ab ? 4b2 ? c ? 0 , 代入可得,6b2 -3tb+t2 -c=0 ①
? ? 0,可得8 8 8 c ?t? c , tmax ? c 5 5 5 代入①

5

b=

c 3 c 3 4 5 2 10 4 10 5 ,a ? , 所以 ? ? ? ? ? 10 2 10 a b c c c c

5 2 10 5 5 ? ? ?( ? 2)2 ? 2 ? ?2, c ? 时取等 c 2 c c
25. (2013 高一下期末统考 19)已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 4 y ? 5 . (1)求 xy 的最大值; (2)求

1 1 ? 的最小值. x y

26.(2014 高一外校下期中 17)已知 x ? 0, y ? 0 ,且 立,求实数 m 的取值范围

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成 x y

解 : 分析:x+2y>m +2m 恒成立,即 m +2m<x+2y 恒成立,只需求得 x+2y 的最小值即可. 解答:∵x>0,y>0,且 ,
6

2

2

∴x+2y=(x+2y) (

)=2+

+ +2≥8(当且仅当 x=4,y=2 时取到等号) .

∴(x+2y)min=8. 2 2 ∴x+2y>m +2m 恒成立,即 m +2m<(x+2y)min=8, 解得:-4<m<2. 27.(2013 高一下洪高 20)某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状) ,高度恒定,它的 后墙利用旧墙,地面利用原地面均不花钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖, 每米长造价 45 元,屋顶每平方米造价 20 元. (1)仓库面积 S 的最大允许值是多少? (2)为使面积 S 达到最大而实际投入又不超过预算,正面铁栅应设计为多长? 解: (1)设铁栅长 x 米,侧墙宽 y 米, 则由题意得: x ? 40 ? 2 y ? 45 ? xy ? 20 ? 3200 , 即 4x ? 9 y ? 2xy ? 320 ① (以上两处的“ ? ”号写成“ ? ”号不扣分) ②,

由于 4x ? 9 y ? 2 4x ? 9 y ? 12 xy

由①②可得 xy ? 6 xy ?160 ? 0 ,? xy ? 10 ? xy ? 100 , 所以 S 的最大允许值为 100 平分米. (2)由(1)得当面积 S 达到最大而实际投入又不超过预算时, 有: 4x ? 9 y 且 xy ? 100 ,从而 x ? 15 . 即正面铁栅应设计为 15 米长. 28.(2014 武昌重点高一下期末 19) 该小区准备将一块空置用地重新规划, 该 空地为矩形,面积 1800 平方米 , 中间挖成三个矩形池塘养鱼 , 下方两个 池塘形状一样,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围 ( 阴影部分所示 ) 种 植柳树 , 池塘周围的基围宽均为 2 米, 如图所示 , 池塘所占面积为 S 平方 米,其中 a : b ? 1: 2 . (Ⅰ) 试用 x, y 表示 S ; (Ⅱ) 若要使 S 最大,则 x, y 的值各为多少? 解:(Ⅰ)由题可得: xy ? 1800, b ? 2a ,则 y ? a ? b ? 6 ? 3a ? 6

a米 y米 b米

y ?6 16 S ? ( x ? 4)a ? ( x ? 6) ? b ? (3x ? 16)a ? (3x ? 16) ? 1832 ? 6x ? y 3 3 16 16 (Ⅱ)方法一: S ? 1832 ? 6 x ? y ? 1832 ? 2 6 x ? y ? 1832 ? 480 ? 1352 3 3 16 当且仅当 6 x ? y ,即 x ? 40, y ? 45 时, S 取得最大值 1352 . 3 16 1800 9600 方法二: S ? 1800 ? 6 x ? ? ? 32 ? 1832 ? (6x ? ) 3 x x 9600 ? 1832 ? 2 6 x ? ? 1832 ? 480 ? 1352 x

x米

7

1800 9600 ,即 x ? 40 时取等号, S 取得最大值.此时 y ? ? 45 . x x 9600 方法三:设 S ? f ( x) ? 1832 ? (6x ? ) ( x ? 0) x 9600 6(40 ? x)(40 ? x) 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 40 f ?( x) ? 2 ? 6 ? x x2 当 0 ? x ? 40 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 40 时, f ?( x) ? 0 .
当且仅当 6 x ? ∴当 x ? 40 时, S 取得最大值.此时 y ? 45 .

8



更多相关文章:
2015年高一理科数学不等式的最值问题
2015年高一理科数学不等式的最值问题_数学_高中教育_教育专区。理科不等式的最值问题 一、基本不等式 1.若 a, b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2ab 时取“=...
2015年高考数学专题复习 最值问题训练
2015年高考数学专题复习 最值问题训练_高考_高中教育_教育专区。题型专题训练二 ...[6,8] 10. (06 年陕西卷)已知不等式 ( x ? y)( ? 的最小值为 ()...
2015届高三数学—不等式1:基本不等式经典例题+高考真题剖析(解析版)
2015届高三数学不等式1:基本不等式经典例题+高考真题剖析(解析版)_数学_高中...ab 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为...
2015年高考数学理真题分类汇编:专题07 不等式 Word版含解析
2015年高考数学理真题分类汇编:专题07 不等式 Word版含解析_高考_高中教育_教育...? 得最小值 2. 1 x ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的...
2015高考数学(文)试题+精品试题考点解析-利用柯西不等式求最值
2015高考数学(文)试题+精品试题考点解析-利用柯西不等式最值_数学_高中教育_教育专区。利用柯西不等式最值 2015 年陕西卷文-24. 选修 4-5:不等式选讲 【...
2015-2016学年高中数学 3.4第2课时 基本不等式的应用-证明与最值问题练习 新人教A版必修5
2015-2016学年高中数学 3.4第2课时 基本不等式的应用-证明与最值问题练习 新...(a,b∈R 等号在 a=b 时成立). 2 2 2 同理 b +c ≥ 2 (b+c)(...
难点04 基本不等式作为工具的应用问题(教学案)-备战2015年高考数学二轮复习精品资料(文理通用
(教学案)-备战2015年高考数学二轮复习精品资料(文理通用_高三数学_数学_高中教育...(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题...
2015年高考数学(文科)不等式汇编
2015年高考数学(文科)不等式汇编_数学_高中教育_教育专区。2015 年高考数学(...ab ,则 ab 的最小值为( a b C、2 2 ) D、4 1 2 1 2 1 2 2 ?...
2015年高考数学理真题分类汇编:专题 不等式
2015年高考数学理真题分类汇编:专题 不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...? 得最小值 2. 1 x ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的...
2015年全国高考文科数学分类汇编——7.不等式
2015年全国高考文科数学分类汇编——7.不等式_高考_高中教育_教育专区。2015 年...本题属于基础题, 是简单线性规划问题中最为简单的一种求最值问题, 在考查...
更多相关标签:
高一数学不等式    高一数学不等式测试题    高一数学不等式知识点    上海高一数学不等式    高一数学不等式解法    高一数学基本不等式    高一数学不等式习题    高一理科数学试题    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图