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数列理好题



数列专题(理)
1. (12 分)已知数列{ an }的首项 a1=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n+5 (1)求证{1+ an }为等比数列,并求数列{ an }的通项公式; (2) bn ?

an ? 1 , Tn 是数列{ bn }前 n 项和,求 Tn. an ? an ?1

2.(本小题满分 12

分)已知等差数列数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的各项均为 正数,公比是 q ,且满足: a1 ? 3, b1 ? 1, b2 ? S2 ? 12, S2 ? b2 q . (Ⅰ)求 ?an ? 与 {bn } ; (Ⅱ)设 cn ? 3bn ? ? 2 求 ? 的取值范围. 3. ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列 {an } 的 相 邻 两 项 an , an +1 是 关 于 x 的 方 程
an 3

? ? ? R ? ,若 ?cn ? 满足: cn?1 ? cn 对任意的 n ? N * 恒成立,

出 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由.

x2 ? 2n x ? bn ? 0(n ? N * ) 的两根,且 a1 ? 1 . 1 n (I)证明:数列 {an ? ? 2 } 是等比数列; 3 (II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (III)是否存在常数 ? ,使得 bn ? ? Sn ? 0 对于任意的正整数 n 都成立,若存在,求

4. (本题满分12分) 各项为正数的数列 ?an ? 的前n项和为 S n ,且满足: S n ? (1)求 an ;

1 2 1 1 an ? an ? n ? N ? . 4 2 4

?

?

?a n , n为奇数, ? (2)设函数 f ?n ? ? ? ? n ? Cn ? f ?2n ? 4??n ? N ? ?, 求数列 f , n 为偶数, ? ? ? 2 ? ? ?

?Cn ?的前n项和Tn .

1.解:⑴由已知: S n?1 ? 2S n ? n ? 5 当 n ? 2, Sn ? 2Sn?1 ? n ? 4 ②,

① 两式相减得: , ????3 分

Sn?1 ? Sn ? 2? Sn ? Sn?1 ? ?1
当 n ? 1 时, S 2 ? 2S1 ? 1 ? 5 又 a1 ? 5 ,

即 an?1 ? 2an ? 1(n ? 2)

? a2 ? a1 ? 2a1 ? 6

? a2 ? 11,从而 a2 ? 2a1 ? 1 ??4 分

? an?1 ? 2an ? 1(n ? N ? )

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,??5 分

即数列 ?an ?1 ? 是首项为 a1 ? 1 ? 6 ,公比为 2 的等比数列;

? an ? 1 ? 6 ? 2n?1 ? an ? 3 ? 2n ? 1 ??7 分

an ? 1 3 ? 2n 1 1 (2) bn ? ??10 分 ? ? ? n n ?1 n n ?1 an ? an?1 (3 ? 2 ? 1) ? (3 ? 2 ? 1) 3 ? 2 ? 1 3 ? 2 ? 1
Tn ? (
12 分 2. (Ⅰ)由已知可得 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ... ? ( n ? n?1 ) ? ? n?1 1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 5 3?2 ?1

?q ? 3 ? a2 ? 12 ?3 ? a2 ? q
2

,消去 a2 得: q 2 ? q ? 12 ? 0 ,解得 q ? 3 或

q ? ?4 (舍) ,? a2 ? 6, d ? 3 从而 an ? 3n, bn ? 3n?1
(Ⅱ)由(1)知: cn ? 3bn ? ? 2 3 ? 3n ? ? 2n . ∵ cn?1 ? cn 对任意的 n ? N 恒成立, 即: 3
* n ?1

an

? ? 2n?1 ? 3n ? ? 2n 恒成立,整理得:
n

3? * ? 2n ? 2 3n 对任意的 n ? N * 恒成立,即: ? ? 2 ? ? ? 对任意的 n ? N 恒成立. ?2?
3 ?3? ∵ y ? 2 ? ? 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,? ymin ? 2 ? 3 ? ? ? 3 . 2 ?2?
? ? 的取值范围为 ? ??,3? .
3.(本题满分 14 分) ( 1 )由题知 an ? an ?1 ? 2n ,? an ?1 ? 1 ? 2n ?1 ? ?(an ? 1 ? 2n ) ,故数列 {an ? 1 ? 2n } 是首项为 3 3 3
x

a1 ?

2 1 ,公比为—1 的等比数列. ? 3 3

??????3 分 ??????4 分

1 1 1 (2) an ? ? 2n ? ? (?1) n ?1 ,即 an ? [2n ? (?1) n ] . 3 3 3
由题知 S n ? a1 ? a2 ? a3 ?

1 ? an ? {(2 ? 22 ? 23 ? ? 2n ) ? [(?1) ? (?1) 2 ? 3 n 1 (?1) ? 1 ??????7 分 ? (?1)n ]} ? [2n ?1 ? 2 ? ] 3 2 1 1 (3) bn ? an an ?1 ? [2n ? (?1) n ] ? [2n ?1 ? (?1) n ?1 ] ? [2 2 n ?1 ? ( ?2) n ? 1] 9 9
??????8 分 要使 bn ? ? Sn ? 0 对任意 n ? N 都成立,
*

(?1)n ? 1 ] ? 0 (*)对任意 n ? N * 都成立. 3 2 1 ? ①当 n 为正奇数时,由(*)式得 (2n ?1 ? 2n ? 1) ? (2 n ?1 ? 1) ? 0 , 9 3 1 n ?1 ? 1 即 (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2n ?1 ? 1) ? 0 . 2n ?1 ? 1 ? 0 ,? ? ? (2n ? 1) 对任意正奇数 n 都 9 3 3 1 成立.当且仅当 n=1 时, (2 n ? 1) 有最小值 1,? ? ? 1 . ??????11 分
即 [22 n ?1 ? (?2) n ? 1] ?

1 9

?

[2n?1 ? 2 ?

3

②当 n 为正偶数时,由(*)式得 (22 n ?1 ? 2n ? 1) ?

1 2? n 即 (2n ?1 ? 1)(2n ? 1) ? (2 ? 1) ? 0 . 9 3 1 2n ? 1 ? 0 ,? ? ? (2n ?1 ? 1) 对任意正整 n 都成立. 6 当且仅当 n=2 时, ? ? 1 (2n?1 ? 1) 有最小值 3 ,? ? ? 3 .
6
2
2

1 9

?
3

(2n ?1 ? 2) ? 0 ,

综上所述,存在常数 ? ,使得 bn ? ? Sn ? 0 对任意 n ? N * 都成立,且 ? 的取值范围是

(?? ,1)
4. (本题满分12分) 各项为正数的数列 ?an ? 的前n项和为 S n ,且满足: S n ? (1)求 an ;

??????14 分

1 2 1 1 an ? an ? n ? N ? . 4 2 4

?

?

?a n , n为奇数, ? (2)设函数 f ?n ? ? ? ? n ? Cn ? f ?2n ? 4??n ? N ? ?, 求数列 f , n 为偶数, ? ? ? 2 ? ? ?

?Cn ?的前n项和Tn .
4、解: (1)由 S n ?

1 2 1 1 1 1 1 an ? an ? ①得,当 n≥2 时, S n ?1 ? an ?12 ? an ?1 ? ②; 4 2 4 4 2 4

由①-②化简得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,又∵数列 {an } 各项为正数,∴当 n≥2 时,

an ? an?1 ? 2 ,故数列 {an } 成等差数列,公差为 2,又 a1 ? S1 ?

1 2 1 1 a1 ? a1 ? , 4 2 4

解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1; ????????5 分

?an , n为奇数 ? (2)由分段函数 f (n) ? ? n f ( ), n为偶数 ? ? 2

可以得到:

c1 ? f (6) ? f (3) ? a3 ? 5, c2 ? f (8) ? f (4) ? f (2) ? f (1) ? a1 ? 1



?????????? 7分 当 n
n


?1 n

3



n? N?


n



cn ? (

f 2 ?

4 ?f

)

?2

?n ( f

, ? 2 ?2

2 ?

?1

)

?n

(

故当n ? 3,时,Tn ? 5 ? 1 ? (22 ? 1) ? (23 ? 1) ? 4(1 ? 2n ? 2 ) ? (n ? 2) ? 2n ? n 1? 2 ?5, n ? 1 ?Tn ? ? n ?2 ? n, n ? 2 ? 6?

? (2 n ?1 ? 1)

????????12 分

n 2 ? 3n . 5. (14 分)数列{ an }的前 n 项和为 Sn,已知 Sn ? 2
(Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)若数列{ cn }满足 cn ? ?

? ?an , n为奇数 , 求数列{ cn }的前 n 项和 Tn. n ? ?2 , n为偶数

(Ⅲ)张三同学利用第(Ⅱ)题中的 Tn 设计了一个程序流程图,但李四同学认为这个 程序如果被执行会是一个“死循环”(即程序会永远循环下去,而无法结束) .你是否 同意李四同学的观点?请说明理由.

5. 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ; 当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? 1 ,则 a n ? n ? 1(n ? N ? ) ??????????4 分 ( Ⅱ ) 当

n











Tn ? (a1 ? a3 ? ... ? a n ?1 ) ? (2 2 ? 2 4 ? ... ? 2 n ) ?


n 2 ? 2n 4 n ? (2 ? 1) 4 3

n











n ?1









Tn ? (a1 ? a3 ? ... ? a n ) ? (2 2 ? 2 4 ? ... ? 2 n ?1 ) ?

n 2 ? 4n ? 3 4 n ?1 ? (2 ? 1) 4 3

? n 2 ? 2n 4 n ? (2 ? 1), n偶数 ? ? 4 3 则 Tn ? ? ??????????????????9 2 n ? 4 n ? 3 4 ? ? (2n ?1 ? 1),n奇数 ? 4 3 ?
分 (Ⅲ) 记 d n ? Tn ? P 当 n 为偶数时, d n ?

4 n 47 n 2 ? 1? ? , d n ? 2 ? d n ? 2n ? 2 ? 47. 所以从第 4 项开始,数 ? 3 2
均 小 于 2012 , d12 ? 2012, 则 , d1 0

列 ?dn ? 的 偶 数 项 开 始 递 增 , 而 且 d2 , d4 ,

dn ? 2012(n为偶数) .
当 n 为奇数时, d n ?

4 n ?1 3 2 ? 1? ? 23n ? , d n ? 2 ? d n ? 2n ?1 ? 46. 所以从第 5 项开始,数 ? 3 4

列 ?dn ? 的 奇 数 项 开 始 递 增 , 而 且 d1 , d3 ,

, d11 均 小 于 2012 , d13 ? 2012, 则

dn ? 2012(n为奇数) .
故李四同学的观点是正确的.????????????14 分



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