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等差数列的前n项和



等差数列的前 n 项和
一、教学内容分析 本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书〃数学( 5) 》 (人教 A 版)中第二章的第三节“等差数列的前 n 项和” (第一课 时) .本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前 n 项和以 及该求和公式的应用.等差数列在现实生活中比较常见,因此等差数 列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题.同时,求数列 前

n 项和也是数列研究的基本问题,通过对公式推导,可以让学生进 一步掌握从特殊到一般的研究问题方法. 二、学生学习情况分析 在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质, 也对高斯算法有所了解,这都为倒序相加法的教学提供了基础;同时 学生已有了函数知识,因此在教学中可适当渗透函数思想.高斯的算 法与一般的等差数列求和还有一定的距离, 如何从首尾配对法引出倒 序相加法,这是学生学习的障碍. 三、设计思想 建构主义学习理论认为,学习是学生积极主动地建构知识的过 程,因此,应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展, 让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验, 自主地在教师 的引导下促进对新知识的建构.在教学过程中,根据教学内容,从介 绍高斯的算法开始, 探究这种方法如何推广到一般等差数列的前 n 项

和的求法.通过设计一些从简单到复杂,从特殊到一般的问题,层层 铺垫,组织和启发学生获得公式的推导思路,并且充分引导学生展开 自主、合作、探究学习,通过生生互动和师生互动等形式,让学生在 问题解决中学会思考、学会学习.同时根据我校的特点,为了促进成 绩优秀学生的发展,还设计了选做题和探索题,进一步培养优秀生用 函数观点分析、解决问题的能力,达到了分层教学的目的. 四、教学目标 1. 理解等差数列前 n 项和公式的推导过程; 掌握并能熟练运用等 差数列前 n 项和公式;了解倒序相加法的原理; 2. 通过公式的推导过程,体验从特殊到一般的研究方法,渗透函 数思想与方程(组)思想,培养学生观察、归纳、反思的能力;通过 小组讨论学习,培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质. 五、教学重点和难点 本节教学重点是探索并掌握等差数列前 n 项和公式,学会用公式 解决一些实际问题;难点是等差数列前 n 项和公式推导思路的获得. 六、教学过程设计 (一)创设情景,唤起学生知识经验的感悟和体验 世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格,传说陵寝中有 一个三角形图案, 以相同大小的圆宝石 你知道这个图案一共花了多少宝石 体展示三角形图案) [ 设计意图 ] 情境学习理论 镶饰而成, 共有 100 层, 吗?

认为:数学学习总是与一定的知识背景, 即“情境” 相联系.从实际问题入手,

图中蕴含算数,能激发学生学习新知识的 兴趣,并且可引导学生共同探讨高斯算法 更一般的应用,为新课的讲解作铺垫. [知识链接] 高斯,德国著名数学家,被誉为“数学王子” 。200 多 年前,高斯的算术教师提出了下面的问题: 1+2+3+…+100=? 据说,当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时,10 岁的高斯却用 下面的方法迅速算出了正确答案: (1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5050. [ 学情预设 ] 高斯的算法蕴涵着求等差数列前 n 项和一般的规律 性.教学时,应给学生提供充裕的时间和空间,让学生自己去观察、 探索发现这种数列的内在规律.学生对高斯的算法是熟悉的,知道采 用首尾配对的方法来求和, 但估计他们对这种方法的认识可能处于记 忆阶段,为了促进学生对这种算法的进一步理解,设计了以下三道由 易到难的问题.

(二)由易到难,在自主探究与合作中学习 问题 1 图案中,第 1 层到第 51 层一共有多少颗宝石? 该题组织学生分组讨论,在合作中学习,并把小组发现的方法一 一呈现.

[学情预设] 学生可能出现以下求法 方法 1:原式=(1+2+3+……+50)+51 方法 2:原式=0+1+2+……+50+51 方法 3:原式=(1+2+…+25+27…+51)+26 以上方法实际上是用了“化归思想” ,将奇数个项问题转化为偶 数个项求解,教师应进行充分肯定与表扬. [设计意图] 这是求奇数个项和的问题,若简单地摹仿高斯算法, 将出现不能全部配对的问题,借此渗透化归思想. 问题 2:求图案中从第 1 层到第 n 层(1<n <100,n ∈N*)共有多少颗宝石? [ 学情预设 ] 学生通过激 烈的讨论后,发现 n 为奇数 时不能配对,可能会分 n 为奇数、偶数的情况分别求解,教师如何引 导学生避免讨论成为该环节的关键. [设计意图] 从求确定的前 n 个正整数之和到求一般项数的前 n 个 正整数之和, 让学生领会从特殊到一般的研究方法, 旨在让学生对 “首 尾配对求和”这一算法的改进. 启发: (多媒体演示)如右图,在三角形图案右侧倒放一个全等 的三角形与原图补成平行四边形. [设计意图] 借助几何图形的直观性,能启迪思路,唤醒学生记忆 深处的东西,并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型.

通过以上启发学生再自主探究,相信容易得出解法: ∵1 + 2 + 3 +…(n-1) + n + 1

n +(n-1)+ (n-2)+… + 2

____________________________________________________________________

(n+1) + (n+1) + (n+1) +… +(n+1) + ∴1+2+3+…+n=
n ( n +1) 2

(n+1)

问题 3: 在公差为 d 的等差数列{an}中,定义前 n 项和 Sn=a1+a2+…+an,如何求 Sn? 由前面的大量铺垫,学生应容易得出如下过程: ∵Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +…+[a1+(n-1)d]

Sn=an + (an-d) +(an-2d)+…+[an-(n-1)d] ∴
2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ??? ? (a1 ? an )
n个

? Sn ?

n(a1 ? an ) 2

(公式 1)

组织学生讨论: 在公式 1 中若将 an=a1+(n-1)d 代入又可得出哪个表达式? 即: Sn ? na1 ?
n(n ? 1) d (公式 2) 2

(三)设置典例,促进学生对公式的应用 对于以上两个公式,初学的学生在解决一些问题时,往往不知道 该如何选取.教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分 析,根据公式各自的特点,帮助学生恰当地选择合适的公式. 例1 为了参加冬季运动会的 5000m 长跑比赛, 某同学给自己制

定了 7 天的训练计划(单位:m)如下表: 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000

问这个同学 7 天一共将跑多长的距离? [设计意图] 该例题是将课本 P53 习题 2.3A 组第 3 题改编成表格 形式,可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可 以从首项、末项、项数出发,选用公式 1;也可以从首项、公差、项 数出发,选用公式 2,通过两种方法的比较,引导学生在解题时注意 选择适当的公式,以便于计算. 例 2 已知等差数列 5,4 7
2

,3 7
125 ? 7

4

,…

求(1)数列{an}的通项公式; (2)数列{an}的前几项和为

(3)Sn 的最大值为多少?并求出此时相应的 n 的值。 [设计意图] 通项公式与求和公式中共有 a1、d、n、an、Sn 五个基 本元素,如果已知其中三个,就可求其余两个,主要是训练学生的方 程(组)思想。第(3)小题是让学生初步接触用函数观点解决数列 问题,为以后函数与数列的综合打下基础. [ 知 识 链 接 ] ( 1 ) 由 Sn ? na1 ?
d d 2 ? A, a1 ? ? B, 则Sn ? A n ? 2 2 n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n, 若 令 2 2 2

d ? 0 时,点 (n, Sn ) 是在常数项为 0 B , 可知当 n

的二次函数图象上,可由二次函数的知识解决 Sn 的最值问题; (2)若数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? An2 ? Bn ( A、B ? R ) ,则数列 {an } 一定是等差数列; (3)由 Sn ? An2 ? Bn ,可知
Sn ? S ? ? An ? B ,点 ? n, n ? 在直线上; n ? n?

(4) 在等差数列 {an } 中, 当 ak ? 0, ak ?1 ? 0 时, 当 ak ? 0, ak ?1 ? 0 Sk 最大, 时, Sk 最小。 (四)反馈调控,实现学生对知识的掌握 练习 1 已知等差数列{an}的前 10 项和是 310,前 20 项的和

是 1220,求前 n 项和 Sn. 练习 2 等差数列{an}中,a1= - 4, a8= -18, n=8,求

公差 d 及前 n 项和 Sn. 选做题 已知函数 f(x)=
1 ,则 f(-5)+f(-4)+…… 2 + 2
x

+f(0)+……+f(5)+f(6)的值为 [设计意图] 分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时,

拓展自主发展的空间,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使 不同层次的学生都可以获得成功的喜悦,看到自己的潜能,从而实现 “以人为本”的教育理念. (五)回顾反思,深化知识 组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法,小组之间 互相补充完成课堂小结,实现对等差数列前 n 项和公式的再次深化. 1.从特殊到一般的研究方法; 2.体会倒序相加的算法,掌握等差数列的两个求和公式,领会方 程(组)思想; 3. 前 n 项和公式的函数意义 4、用梯形面积公式记忆等差数列的前 n 项和公式;

[知识链接]

(六)布置作业 1.课本 P52 习题 2.3,第 1 题(1) (3) ,第 2 题(3) (4) ,第 5 题 2.探索题 ( 1 )数列 { n ( n +1) } 的前 n 项和 Sn = 1×2 + …+ n ×( n +1) ,求 Sn ; (2)若公差为 d(d≠0)的等差数列 { an }中, Tn =
1 a 1a2
1
1 1

+ 2×3

1

+ 3×4

1

+

1 a 2a 3

+

1 1 +…+ ,你能否由题(1)的启发,得到 Tn 的表达式? a 3a 4 a n -1 a n

七、教学反思 “等差数列前 n 项和”的推导不只一种方法,本节课是通过介绍 高斯的算法,探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和.该方法 反映了等差数列的本质,可以进一步促进学生对等差数列性质的理 解,而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路.本节课

教学过程的难点在于如何获得推导公式的 “倒序相加法” 这一思路. 为 了突破这一难点,在教学中采用了以问题驱动的教学方法,设计的三 个问题体现了分析、解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提 炼方法,再试图运用这一方法解决一般问题.在教学过程中,通过教 师的层层引导、学生的合作学习与自主探究,尤其是借助图形的直观 性,学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了.



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