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马长胜精品课件 高一数学第一章《图像平移、对称与翻折变换》PPT课件



适合高一学完第一章后拔高用15年10月5日

数缺形时少直观 形少数时难入微 数形结合百般好 数形分离万事休

华罗庚

作函数的图象的常用方法
一、描点作图法
其基本步骤是列表、描点、连线,首先:①确定函数 的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶 性、单调性、);其次:列表(尤其注意

特殊点、零点、最

大值点、最小值点、与坐标轴的交点);最后:描点,连
线.

二、变换作图法
平移,对称,翻折

一、函数图象平移的变换
基础练习1 上下平移

画出下列函数的图象, 并说明它 们的关系:

1 2 1 2 1 、y ? ? x 2、y ? ? x ? 3 3 3 1 2 3、y ? ? x ? 3 3

1.上下平移

1 2 如何由 y ? ? 3 x 的图象得到 1 2 1 2 y ? ? x ? 3 的图象。 y ? ? x ?3 、 3 3

y

5 4(0,3) 1 2 y ?? x ?3 3 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2 (0,-3) 1 2 – 3 1 2 y ? ? x –4 y ? ? x ?3 3 –5 3

函数y=f(x)+k与函数y=f(x) 图象间的关系:
当k>0 (k<0)时,把函数y=f(x)的 图象向上 (向下)平移k(-k)个单位 即得函数 y=f(x)+k 的图象.

简称:

上+下-

基础练习2 左右 平移

画出下列函数的图象, 并 说明它们的关系:
1 2 (1) y ? ? x 3 1
3

(2) y ? ? ( x ? 2) (3)
1 y ? ? ( x ? 2) 2 3

2

2.左右 平移

1 1 2 2 y ? ? ( x ? 2 ) 如何由 y ? ? 3 x 的图象得到 3 、 1

y

y ? ? ( x ? 2) 2 的图象。 3

5 x= - 2 4 x= 2 3 2 (-2,0) 1 (2,0) x –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 1 2 – 1 y ? ? ?x ? 2? 1 2 y ? ? ?x ? 2? 3 – 2 3 –3 1 2 y?? x –4 3 –5

y 1 2 练习如何由y ? x 得到 2 1 1 2 2 y ? (x ? 2)和y ? (x - 2) 5 2 2
1 2 y ? ?x ? 2? 2

4 3 2 1

1 2 y ? ?x - 2? 2

1 2 y? x 2

x

–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4

1 2 3 4 5

函数y=f(x+h)与函数y=f(x) 图象间的关系:
当h>0 (h<0)时,把函数y=f(x)的 图象向左(向右)平移h (-h)个单位 即得函数 y=f(x+h) 的图象.

简称:

左+右-

y=

2 ax

+k

y = a(x +h
左右平移

2 )

上下平移 y

= ax2

3.上下平移规律
当k>0时,向上平移k个单位

y=ax2

当k<0时,向下平移 k 个单位

y ? ax ? k
2

y ? f ( x)
4.左右平移规律

y ? f ( x) ? k

y=ax2

当h>0时,向左平移h个单位 当h<0时,向右平移 h 个单位

y=a(x+h)2

y ? f ( x)

y ? f ( x ? h)

一、平移变换的规律 y=f(x) + a
向上平 移a个单位 向左平移 向右平移 y=f(x+a) y=f(x) y=f(x-a) a个单位 a个单位 向下平 移a个单位

y=f(x) - a

(其中a>0)

规律:X变换:左加右减;y变换:上加下减

课堂练习
画出函数
1 1、y= (x+2)2+2的图象. 2 1 2、y= (x+2)2-3的图象. 2

1 2 y ? ? x ? 2 ? ? 2 x=-2 2

y

观察 y ? 1 x 2

(-2,2)

5 4 3 2 1

的图像
1 2 y? x 2

2 2 1 y ? ?x ? 2? ? 2 2 1 2 y ? ?x ? 2? ? 3 2

x

–5 –4 –3 –2 –1 O – 1 1 2 y ? ?x ? 2? ? 3 –2 2 –3 (-2,-3) –4

1 2 3 4 5

平移变换的应用1
例1、函数y ? 2 x
2

y

y=2(x-1)2+1
5 4. 3. 2.

y=2x2

y=2(x-1)2

的图像经过怎样 的变换可以得到 y ? 2( x ? 1) 2 ? 1 的图像?
-3. -2 -1

(先右后上)
1. 0. -1 1. 2. 3. x

探讨函数y=2x? , y=2(x-1)? , y=2(x-1)? +1的 图象的关系?

y

平移变换的应用
函数y ? 2 x 的
2
5 4. 3. 2.

y=2x2 +1

y=2x2
y=2(x-1)2+1

图像经过怎样 的变换可以得到 y ? 2( x ? 1) 2 ? 1 的图像?
-3. -2 -1

(先上后右)
1. 0. -1 1. 2. 3. x

探讨函数y=2x? , y=2x? +1, y=2(x-1)? +1的图 象的关系?

返回

y ? 2x

2

y ? 2x ? 1
2
2

y ? 2( x ? 1)

2

y ? 2( x ?1) ? 1
y ? 2( x ? 1) 2 ? 1的图像可以由 y ? 2 x 2先向上平移一个单位,
再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上 平移一个单位而得到.

平移变换的应用2

例2、画出下列函数的图像,并指出函数 的单调区间.
1 ( 1 )y ? f ( x) ? x 3x ? 7 (3)y ? x?2 1 (2)y ? x?2

平移变换的应用

解:

3? 1 . x?2 向左平移 向上平移 1 1 y ? 3? 1 . y? y? x?2 x ? 2 3个单位 x 2 个单位
因此:我们可将函数 y

3x ? 7 例2. 画出函数 y ? x?2 3( x ? 2) ? 1 3 x ? 7 y? ? ? x?2 x?2

的图象。

1 y? x 的图象先沿x轴向左平移2个单位,
再沿y轴向上平移3个单位得到函

1 的图象。 y ? 3? x?2
所以原函数的递减区间是

o

x

( ?? , ?2) 和 ( ?2, ?? ).

【1】写出函数 y ? 2 x ? 6 的单调区间.
x?2

y

?2 解析? ? y ? 2? x?2

o

x

课堂练习2

1 1 (1) y ? 向左平移 个单位得到 。 2x 2 (2)y ? f ( x)恒过点(1,1), 则y ? f ( x - 4)过 点 。 (5,1) (3)f ( x)图像关于x ? 1对称,则f ( x - 4) 关于x ? 5 对称。

1 y? 2x ? 1

二、函数图象对称的变换
例3.
1 设f(x)= x

(x>0),求函数y=-f(x)、y=f(-x)、y=-f(-x)

的解析式及其定义域,并分别作出它们的图象。 y y y
y=f(x) y=f(-x) y=f(x) y=f(x)

o

1

x

o

1

x

o
y=-f(-x)

1

x

y=-f(x)

横坐标不变 纵坐标取相反数 图象关于x轴对称 1 ? x ? 0? y ? ? f ( x) ? ? ? x

横坐标取相反数 纵坐标不变

横坐标、纵坐标 同时取相反数

对 称 变 换

图象关于y轴对称 图象关于原点对称 1 1 ?x ? 0? y ? ? f (-x) ? ? ? ?x ? 0? y ? f (- x) ? ? ?x ?x

二、对称变换的规律 关于x轴对称

y=f(x)
y=f(x)

y= f(-x) 关于原点对称 y= - f(-x) y=f(x)

关于y轴对称

y= - f(x)

关于谁 对称, 谁不变

三、函数图象的翻折变换
2 x 例4. 设f(x)= ? 2 x ? 3

求函数y=|f(x)|、y=f(|x|)

的解 析式,并分别作出它们的图象。
解:( 1 )由f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3得,y ? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3

(2)由f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3得,y ? f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3

(1)函数y = |x2-2x-3|的图象画法如下:

解法一:当 , 即 x ≤- 1 或 x≥3 时 , y = x2-2x-3 =( x-1)2-4. 当 x2-2x-3<0, 即 -1<x<3时, y =-(x2-2x-3) =-(x-1)2+4.

x2-2x-3≥0

y
4

分段画图

-1

o
-4

1

3

x

? x 2 ? 2 x ? 3, x ≤ ?1, 或x ≥ 3, ? y ?? 2 ?? x ? 2 x ? 3, ? 1 ? x ? 3.

(1)函数y = |f(x)|= |x2-2x-3|的图象画法如下:

解法二:先作出f(x)= 2x-3的图像
保留函数y=f(x)在x轴

x24

y

变换画图

上方的图像,将在x轴下方 的图像翻折到x轴的上方 就得到函数y=|f(x)|的图像

-1

o
-4

1

3

x

y ? f ( x) ? x ? 2 x ? 3
2

(留上翻下)

函数y= f ( x) 与函数y=f(x)

图象间的关系:
保留函数y=f(x)在x轴的上方的 图象,把它在x轴的下方的图象沿x 轴翻折,即得到y= f ( x) 的图象.
(留上翻下)

(2)函数 y ? f ( x ) =x2 -2|x|-3 的图像画法如下:
画法一

y o y o x

2 ? x ? ? 2 x ? 3, x ≥ 0, y?? 2 ? ? x ? 2 x ? 3, x ? 0.

(分段作图) y
y
-1 1

o

1

x

x

-1

-3

o

x

-3

画法二 (2)由f

( x) ? x ? 2 x ? 3得,
2 2

y ? f ( x ) ? x ? 2 x ? 3,为偶函数。 一般的将函数y=f(x)图像去掉y轴左方的部分, 画法如下: 保留y轴右方的部分并且把它关于y轴作对称就 得到函数 y=f(|x|)的图像 (利用偶函数作图) y
先画出f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 在y轴右侧的图像; y轴左侧的图像可以利用 对称性 作出。(即再把 y轴右侧的图像 翻折到左侧) .从而得到 y ? f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3的图像.

-1

o

1

x

-3

(去左翻右)

2 ( 2 )由 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3得, 画法三 2 y ? f ( x ) ? x ? 2 x ? 3画法如下:

一般的将函数y=f(x)图像去掉y轴左方的部分, 保留y轴右方的部分并且把它关于y轴作对称就 得到函数y=f(|x|)的图像 (去左翻右) y
先画出f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图像,保留y轴右侧的 图像;再把y轴右侧的图像 翻折到左侧;最后去掉 f ( x)在 y轴左侧部分的图像就得 到 y ? f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3的图像.
-1 1

o

x

-3

函数 y=f(|x|) 与函数y=f(x)图象间的关系:
将函数y=f(x)图像去掉y轴左方的部分,保 留y轴右方的部分并且把它关于y轴作对称 就得到函数y=f(|x|)的图像

(去左翻右)

三、函数图象的翻折:

(1) y=f(x)
y? x
2

保留Y轴右边的部分 并把这部分沿Y轴翻折

y=f(|x|)

?2 x ?3

(去左翻右)

(2) y=f(x)
2

y=|f(x)| 再把X轴下方的部分沿X轴翻折 (留上翻下)

保留X轴上方的部分

y ?| x ? 2 x ? 3 |

适应练习 分别作出下列函数的图像:

1、y ? x ? 4 x ? 3
2
2 解: 1、 y ? x ? 4x ? 3 2 y ? x ? 4x ? 3 2、

2、 y ? x ? 4 x ? 3
2

保留x轴上方图像,再将x轴 下方图像对称翻折到x轴上方

y ? x2 ? 4x ? 3

保留y轴右侧图像,再将y轴右 y ? x 2 ? 4 x ? 3 方图像对称翻折到y轴左方
y ? x2 ? 4x ? 3
4 3 2

y ? x2 ? 4x ? 3
y

?0,3?

4 3 2 1

注意区分
?2,1? ?1,0?
2

y

?3,0?
3 4

y ? f ( x )与 y ? f ( x) 的表
x

?0,3?

-4

-3 -2

-1

0 1 -1 -2 -3

现形式哦!

?? 3,0?
-4 -3 -2

??1,0?
-1

1 0 1 -1 -2

?1,0?
2

?3,0?
3 4

?2,?1?
y ? x ? 4x ? 3
2

x

?? 2,?1?
y ? x ?4 x ?3
2

?2,?1?

-3

图1

图2

巩固练习.(1) y=x2-2|x|-1; (2)y = | x 2 -x |的图象:

2 ? ?x -2x-1,x≥0, (1)y=? 2 ? ?x +2x-1,x<0.

图象如图 3.

(3)y = | x 2 -x |的图像,画法如下:
? x2 ? x y?? 2 ?? x ? x
x ?x?0 x2 ? x ? 0
2

y

1 2 1 ? ? (x ? 2) ? 4 ?? 1 1 ?? ( x ? )2 ? 2 4 ?

x ? 0或x ? 1 0? x?1

o

1 1 2

x

(分段作图)

(3)y = | x 2 -x |的图像,画法如下:
? x2 ? x y?? 2 ?? x ? x
x ?x?0 x2 ? x ? 0
2

y

1 2 1 ? ? (x ? 2) ? 4 ?? 1 1 ?? ( x ? )2 ? 2 4 ?

x ? 0或x ? 1 0? x?1

o

1 2

1

x

(变换作图)

(10全国15· )直线y=1与曲线y=x2 -|x|+a有四个交 点,则a的取值范围是________.
解析:如图,作出 y=x2-|x|+a 的图像,若要使 y=1 与 1 其有 4 个交点,则需满足 a- <1<a, 4 5 解得 1<a< . 4
? 5? 答案:?1,4? ? ?

? x 2 ? bx ? c( x ? 0) 【练】 设函数f ( x) ? ? ,若f(-4)=f(0), ?2( x ? 0) f(-2)=-2,求关于x的方程 f(x)=x 的解的个数.

由两个条件可求出b,c,再利用图象或解方 程求解.
解法一:由f ? -4 ? ? f ? 0 ?,f ? -2 ? ? -2, 可求得b ? 4,c ? 2, ? x 2 ? 4 x ? 2( x ? 0) 所以f ( x) ? ? , ?2( x ? 0) ?x ? 0 ?x ? 0 所以方程f ( x) ? x等价于 ? ,或 ? 2 ?x ? 2 ?x ? 4x ? 2 ? x 即x ? 2, 或x ? -1,或x ? -2,即f ( x) ? x有3个解.

45

解法二:由f ? -4 ? ? f ? 0 ?,f ? -2 ? ? -2, 可求得b ? 4,c ? 2, ? x 2 ? 4 x ? 2( x ? 0) 所以f ( x) ? ? , ?2( x ? 0) 图象如图所示.方程f ( x) ? x的解 的个数,即y ? f ( x)与y ? x的交点 个数.由图知两图象有A,B,C 三个交点.故方程f ( x) ? x有三个解.

46

练出高分
1.函数y=-

1 x+1

的图象是( B )

2、已知函数y=f(x) 1 的图象如图所,分别画 o 1 -1 出下列函数的图象: -2 -0.5 (1) y = f(-x); (2) y = - f(x).
y 1 -2 -1 o 1 -0.5 x 2 -2 -1 0.5 y

y

x 2

o
-1

1

2

x

y = f(-x)

y = - f(x)

3、如图为y ? f ( x)的图象,求作 y ? ? f ( x), y ? f (? x), y ?| f ( x) |, y ? f (| x |)的图像

4、画出下列函数的图像 ?2 x ? 1 ?1 (1) y ? (2) y ? ? x ? 2 ? ? 3 x ?1 5、分别画出下列函数的图像,并指出它们 的单调区间 (1) y ? 2 x ? 3 (2) y ? 2 x ? 3 (3) y ? x ? x ? 2
2

(4) y ? x ? x ? 2
2

练出高分
6.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}.
2 ? ??x-2? -1, x∈?-∞,1]∪[3,+∞? f(x)=? 2 ? ?-?x-2? +1, x∈?1,3?



作出函数图像如图.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
5

6.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}.

(1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞); 函数的减区间为(-∞,1],[2,3] .
(2)在同一坐标系中作出 y=f(x)和 y=m 的图像,使两函数图 像有四个不同的交点(如图).

由图知 0<m<1,∴M={m|0<m<1}.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

3x-1 7.函数y= 的图象( x+2
A.关于点(-2,3)对称 C.关于直线x=-2对称 解析:y=

) B.关于点(2,-3)对称 D.关于直线y=-3对称

3x-1 3?x+2?-7 7 = =3- , x+2 x+2 x+2

所以关于点(-2,3)对称.故选A. 答案:A

8、作函数 y =

1 x
2

的图象.

略: y ?
y

1

1 ? , x2 | x |

图象如右图.
y

1 y= x

1 y= |x|
x o x

o

9、得到函数y=f(1-x)的图象,只需 将函数y=f(-x)的图象怎么变换得到

10、函数y=f(1-x)与函数y=f(x-1)的图象的对称 轴方程为( D ) (A)x=0 (B)y=0 (C)x=1 (D)x=-1

f ( x)
关 于
轴 对 称

????? ??
向右平移一个单位
对称轴向右平移 1个单位 ?? ????? ??

f ( x ?1)
关 于 一 直 对 线 称 x=

f (? x) ????? ?? f [?( x ?1)] ? f (1 ? x)
向右平移1个单位

y

f ( x)

f ( x ? 1)

y

f (? x)

f (1 ? x)

?1

O

1

x

【11】 (2010·湖南卷)用min{a,b}表示a、b两数 中的最小值,若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关 1 ? 于直线x= 2 对称,则t的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1

先作出y=|x|的图象,再作出y=|x|关于 1 x ? ? 对称的图象,从而确定t的值.

2

57

由题意画出f(x)=min{|x|, |x+t|}的图象, 1 ? 因为其图象关于x= 对称, 2 则-t=-1,所以t=1.

本题通过新定义考查学生的创新能力,考查函 数的图象及数形结合的能力。

58

12.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取
值范围是________.
解析:由题意 a=|x|+x 令
? ?2x,x≥0, y=|x|+x=? ? ?0,x<0,

图象

如图所示,故要使 a=|x|+x 只有一解则 a>0.

答案:(0,+∞)

归纳总结
函数图象的变换
平移变换 对称变换 翻折变换

左 右 平 移

上 下 平 移

关 于 x 轴

关 于 y 轴

关 于 原 点

上 下 翻 折

左 右 翻 折

归纳总结
上下平移规律

平移变换
y ? f ( x) ? k

y ? f ( x)

当k>0时,向上平移k个单位

当k<0时,向下平移 k 个单位

左右平移规律

y ? f ( x)

当h>0时,向左平移h个单位 当h<0时,向右平移 h 个单位

y ? f ( x ? h)

归纳总结
对 称 变 换
y = f(x) 关于 y 轴 对 称 的图象 y = f(x) 关于 x 轴 的图象 对 称 y = f(x) 关于原点 对 称 的图象

y = f( -x ) 的图象 y = - f(x) 的图象
y = - f( -x ) 的图象

图象的翻折不换:

(1) y=f(x)

保留Y轴右边的部分 并把这部分沿Y轴翻折

y=f(|x|)

(去左翻右) (2) y=f(x) y=|f(x)| 再把X轴下方的部分沿X轴翻折 (留上翻下)
保留X轴上方的部分

2.几个重要结论 (1)若 f(m+x)=f(m-x)恒成立,则 y=f(x)的图像关于直线

x =m

对称.

(2)设函数 y=f(x)定义在实数集上,则函数 y=f(x-m)与 y =f(m-x)(m>0)的图像关于直线

x=m

对称.

(3)若 f(a+x)=f(b-x),对任意 x∈R 恒成立,则 y=f(x)的 a +b 图像关于 x= 2 对称. b-a (4)函数 y=f(a+x)与函数 y=f(b-x)的图像关于 x= 对 2 称.

深度剖析
【例】

识图与辨图

?-2x,?-1≤x≤0? 已知 f(x)=? , 则下列函数的图像错误 ? x,?0<x≤1?

的是

( D )

? ?-2x,?-1≤x≤0? 已知 f(x)=? ? x,?0<x≤1? ?

,则下列函数的图像错误的是 (

)

解析: 先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图像, 再将函数 y=f(x) 的图像向右平移 1 个单位长度即可得到 y=f(x-1)的图像,因此 A 正确; 作函数 y=f(x)的图像关于 y 轴的对称图形,即可得到 y=
f(-x)的图像,因此 B 正确;
y=f(x)的值域是[0,2],因此 y=|f(x)|的图像与 y=f(x)的图像重 合,C 正确;

? ?-2x,?-1≤x≤0? 已知 f(x)=? ? x,?0<x≤1? ?

,则下列函数的图像错误的是 (

)

y=f(|x|)的定义域是[-1,1], 且是一个偶函数, 当 0≤x≤1 时, y=f(|x|) = x,相应这部分图像不是一条线段,因此选项 D 不正确.

综上所述,选 D.

思维升华
函数图像的识辨可从以下方面入手: (1) 从函数的定义域,判断图像的左右位置; 从函数的值域,判断图像的上下位置;
(2)从函数的单调性,判断图像的变化趋势;

(3)从函数的奇偶性,判断图像的对称性;

(4)从函数的周期性,判断图像的循环往复;

(5)从函数的特征点,排除不合要求的图像.

解题是一种实践性技能 , 就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚



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