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高二理科数学试卷马阳安2014.5



2013-2014 学年度第二学期高二理科数学试题
命题人:马阳安 审核人:张玉清
本试卷第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分。

第I卷

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的 四个选项中,只有一个项是符合题目要求的。 1.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的 是( A. ) 假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角
2011

C.假设没有一个钝角 2.i 为虚数单位,则?
?1+i? ? ?1-i?

=().

A.-i B.-1 C.i D.1
?1? 3.“因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提),而 y=? ?x 是指数函数(小前 ?3? ?1?x 提),所以函数 y=? ? 是增函数(结论)”,上面推理的错误在于( ). ?3?

A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错 4. 观 察 按下 列顺序 排 列 的等 式: 9 ? 0 ? 1 ? 1 , 9 ?1 ? 2 ? 11 , 9 ? 2 ? 3 ? 21 ,
9 ? 3 ? 4 ? 31,?,猜想第 n(n ? N* ) 个等式应为(



A. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 C. 9n ? (n ?1) ? 10n ?1

B. 9(n ?1) ? n ? 10n ? 9 D. 9(n ?1) ? (n ?1) ? 10n ? 10

5.若 ?1 (2 x ? ) dx = 3 + ln 2,则 a 的值为() A.6 6. B.4 C.3 D.2 )

a

1 x

f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于(
A.
19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3

? x 2 (0 ? x ? 1) a 7. 设 f ( x) ? ?2 ? x(1 ? x ? 2) ,则 ?1 f ( x ) dx 等于( ?

) D.不存在

A. 3
4

B. 4
5

C. 5
6

8. 命题“ ?x ? 0 ,都有 x 2 ? x ? 0 ”的否定 是( ..
2 A. ?x ? 0 ,使得 x ? x ? 0 2 C. ?x ? 0 ,使得 x ? x ? 0


2

B. ?x ? 0 ,都有 x ? x ? 0 2 D. ?x ? 0 ,都有 x ? x ? 0 ) D. (2,??) )

9.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 ( A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4)

1 10. 已知 f(x)=2x2-cos x,x∈[-1,1],则导函数 f′(x)是( A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值,又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值,又有最小值的奇函数 第 II 卷(非选择题 共 100 分) 注意事项:

用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案 无效.

二、填空题 :本大题共 5 小题, 每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题 卡相应位置。 11. 已 知 函 数 f ( x) ? ? x 2 ? x 的 图 象 上 的 一 点 A(?1, ? 2) 及 临 近 一 点
B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) 则
?y ? ?x



12.函数 y ?

sin x 的导数为 x

。 。

13.曲线 y ? f ( x) ? x 2 ? 1 在点 P(1,2) 处的切线方程为:

14. 通过与圆的有关性质类比, 可以推测球的有关性质,则与圆心距离相等的 两弦相等类比得到:
3



15.已知 a>0,函数 f(x)=x -ax 在[1,+∞)上是单调增函数,则 a 的最大 值是 。

三、解答题 :本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过 程或验算步骤. 16.(本小题满分 12 分)证明基本不等式 a ? b ?
2 ab (a ? 0, b ? 0) .

17. (本小题满分 12 分)已知复数 z ? (m2 ? 8m ? 15) ? (m2 ? 9m ? 18)i 在复平面内 表示的点为 A,实数 m 取什么值时, (1)z 为实数?z 为纯虚数? (2)A 位于第三象限? 18. (本小题满分 12 分)求由曲线 y ? x2 ? 2 与 y ? 3x , x ? 0 , x ? 2 所围成的 平面图形的面积(画出图形)。 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点 P (0,2) , 且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 .

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

20.(本小题满分 13 分) 利用数学归纳法证明 13+23+33+?+n3= 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ?
1 4 3 ?1 . 4x
1 4

n2(n+1)2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;
2 (Ⅱ)设 g ( x) ? ? x ? 2bx ? 4 ,若对任意 x1

? (0 , 2) , x2 ? ?1 , 2? ,

不等式

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 b 的取值范围.

答案说明:未详细审查,使用前请做一遍 1 B 填空: 11. 12.
?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x
x cos x ? sin x Bs51u.co1111 x2

2 A

3 A

4 B

5 D

6 D

7 C

8 C

9 D

10 D

13. 2 x ? y ? 0 14.2 与球心距离相等的两截面圆相等 15. 3

解答题 16.略. 17. (1)当 m2 ? 9m ? 18 =0 即 m=3 或 m=6 时,z 为实数; ???3 分 当 m2 ? 8m ? 15 ? 0 , m2 ? 9m ? 18 ? 0 即 m=5 时,z 为纯虚数.??? 6 分
? m 2 ? 8m ? 15 ? 0 ?3 ? m ? 5 (2)当 ? 2 即? 即 3<m<5 时,对应点在第三象限.?12 分 ?m ? 9m ? 18 ? 0 ?3 ? m ? 6

18. 解: S ? ?0 ( x2 ? 2 ? 3x)dx ? ?1 (3x ? x2 ? 2)dx ? 1 19. 解 : ( Ⅰ ) 由 f ( x) 的 图 象 经 过 P ( 0 , 2 ) , 知 d=2 , 所 以
f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 2, f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c. 由 在 M (?1, f (?1)) 处 的 切 线 方 程 是
6x ? y ? 7 ? 0

1

2



? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.

?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0,
f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2.

故 所 求 的 解 析 式 是

(2) f ?( x) ? 3x 2 ? 6x ? 3. 解得 x1 ? 1 ? 2, x2 ? 1 ? 2.

令3x 2 ? 6x ? 3 ? 0,即x 2 ? 2x ? 1 ? 0.

当 x ? 1 ? 2, 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0; 当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0. 故 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2在(??,1 ? 2 ) 内是增函数,在 (1 ? 2,1 ? 2 ) 内是减函数, 在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数.

20. 证明:① 当 n=1 时,左边=13=1,右边= ? 12 ? ?1 ? 1?2 ? 1 , 故等式成立. ② 假设 n=k( k ? N ,且 k≥1)时等式成立. 即 13+23+33+?+k 3+= k2(k+1)2 成立. 则当 n=k+1 时,13+23+33+?+k 3+(k+1)3 = k 2 (k ? 1) 2 ? (k ? 1) 3
2 2 1 1 ? ?k ? 1? ?(k ? 1) ? 1? = (k ? 1) 2 ?k 2 ? 4(k ? 1)? ? ?k ? 1?2 ?k ? 1?2 4 . 4 4

1 4

——3 分

1 4

——5 分

1 4

1

故 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (1 , 3) ; 单 调 递 减 区 间 是
(0 , 1) , (3 , ? ?)

. . . . .4 分

(II)若对任意 x1 ? (0 , 2) , x2 ? ?1 , 2? ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,

问题等价于 f ( x) min ? g ( x) max , 由(I)可知,在 (0 , 2) 上, x ? 1 是函数极小值点,这个极小值是唯一的 极值点, 故也是最小值点,所以 f ( x) min ? f (1) ? ? ;
g ( x) ? ?x2 ? 2bx ? 4 , x ? ?1, 2?
1 2



当 b ? 1 时, g ( x)max ? g (1) ? 2b ? 5 ; 当 1 ? b ? 2 时, g( x)max ? g (b) ? b2 ? 4 ; 当 b ? 2 时, g ( x)max ? g (2) ? 4b ? 8 ; 问题等价于 ? ?
?b ? 1 1 ? ? 2b ? 5 ? ? 2

或? ?

?1 ? b ? 2 1 ? ? b2 ? 4 ? ? 2

或? ?

?b ? 2 1 ? ? 4b ? 8 ? ? 2



解得 b ? 1 或1 ? b ? 即b ?

14 或 b?? 2

? 14 14 ? ,所以实数 b 的取值范围是 ? ?? , ? ? 2 2 ? ?



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