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《等差数列性质》PPT课件


南召一中数学组
2016.7.13

甘光银

尝试证明等差数列的下列性质

性质1:m、n∈N+ ,则等差 数列{an}中 an-am=(n-m)d 证明:an=a1+(n-1)d am=a1+(m-1)d ∴an-am=(n-m)d
算算?

性质2 :m、n、p、q∈N+,m+n= p+q,则等差数列{an}中an+am=ap+aq 证明:an+am=a1+(n-1)d+a1+ (m-1)d=2a1+(n+m)d-2d ∴ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1) d=2a1+(p+q)d-2d 又∵m+n=p+q ∴an+am=ap+aq
推广到相同个数的下标和相等的项之和 相等。如:a1+a3+a7=a2+a4+a5

特殊的如a4+a6=a3+a7=a5+a5=2a5等
?1 .在等差数列 {an} 中, a1 + a9 = 10 ,则
a5的值为( ?A.5 ) B.6 C. 8 D.10

?解析: ?答案:

∵a1+a9=2a5 ∴a5=5
A

2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20,求 a + a 1 20 分析:由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10 (2)已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8
分析: a3+a11 =a6+a8 =2a7 ,又已知

a3+a11=10,∴ a6+a7+a8= =15

3 (a3+a11) 2

(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187, 求a14及公差d. 分析: a4+a5+a6+a7=56 又 a4a7=187 ② , a4= 17 或 a7= 11 a4= 11 a7= 17 a4+a7=28 ① 解 ①、 ② 得

∴d=

-2或2,

从而a14= - 3或31

2.等差数列{an}中,a4+a5=15, a7=12,则 a2=( ) A.3 B.-3 3 3 C.2 D.-2 ?解析: 由题意知a4+a5=a2+a7
?∴a2=15-12=3,故选A.

?答案: A

课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,2a -5, -3a +2,则 a 等于( B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2

提示1:

2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)

2. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10= -35 提示: d=an+1—an= -4

3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70,a80=112,求a101;
解: 运用an-am=(n-m)d a80-a59=21d=112-70=42 ∴d=2, 运用an=am+(n-m)d ∴a101=a80+21d =112+42=154

(2) 若ap= q,aq= p ( p≠q ),求 a p+q
解: 运用an-am=(n-m)d的变形 a a n m d=

n -m a p -a q q - p d= p -q = p -q = -1

性质3 :等差数列{an}中 am、 am+k、am+2k、am+3k、...也成等差 数列 如a1、a3、a5、a7、... 等差

性质4 :{an}{bn}是等差数列,m、 s、k是常数, cn=m×an+s×bn+k, 则{cn}也是等差数列
即 两个等差数列各项对应相加的 和仍然是一个等差数列,等差数 列各项同乘或者加一个常数仍然 是等差数列。


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