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第11讲 §1.2.3 直线与平面的位置关系(三)



第 11 讲 §1.2.3

直线与平面的位置关系(三)

¤学习目标:1.理解斜线在平面内的射影、直线与平面所成角的概念;2.掌握求直线与平面所成角的基本 方法;3.掌握把空间两条直线的垂直问题与平面上两条直线的垂直的相互转化的方法. ¤知识讲解: 1.一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线(oblique line) ,斜线与 平面的交点叫做斜足.斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.过斜线上斜足以外的一点向平 面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影. 2.直线和平面所成角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的 角.特别地: (1)如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角为直角; (2)一条直线和平面平行或在平面内, 我们说它们所成的角为 0° .即线面所成角的范围为[0° ,90° ]. 3.最小角定理:斜线和平面所成的角,是斜线和它在平面内的射影所成的锐角,它是这条斜线和平面内经 过斜足的一切直线所成角中最小的角. A ¤例题精讲: 【例 1】如图,已知 AC,AB 分别是平面 ? 的垂线和斜线,C,B 分别是垂足和斜足, a ? ? , a ? BC .求证: a ? AB . a 证明:∵ AC ? ? , a ? ? ,∴ a ? AC .又 a ? BC , AC ? BC ? C ,∴ a ? 平 C B ? 面 ABC.又 AB ? 平面 ABC,∴ a ? AB . 解题回顾:此题结论即为三垂线定理.课本第 38 页 13 题: “求证:如果平面内的一条直线与这个平面内的 一条斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直”就是三垂线定理的逆定理. 【例 2】如图,已知∠BAC 在平面 ? 内, P ?? ,∠PAB =∠PAC.求证:点 P 在平面 ? 上 P 的射影在∠BAC 的平分线上. 证明:作 PO⊥ ? ,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为 O,E,F,连结 OE,OF,OA.

OA = OA,所以 Rt△AOE≌Rt△AOF.于是∠EAO =∠FAO,即点 P 在 ? 上的射影 O 在∠BAC 的平分线上. 【例 3】如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,线段 EF∥平面 ABCD,点 E,F 在平面 ABCD 的正投影分别 为 A,B,且 EF 到平面 ABCD 的距离为

PE ? AB, PF ? AC? ? E B ?PAE ? ?PAF? ? Rt?PAE ? Rt?PAF ? AE ? AF . O PA ? PA? A ? ? F C PO ? ? ? AB ? PO? ? AB ? ? ? ? AB ? 平面 PEO ? AB ? OE .同理,AC⊥OF 在 Rt△AOE 和 Rt△AOF 中,AE = AF, AB ? PE? ?

?

解: (1)连结 BD,由已知,有 EA⊥平面 ABCD,FB⊥平面 ABCD,∴EA∥FB. ∴∠BFD 就是 EA 与 FD 所成的角或其补角.由题意,得 FB ?

6 .求(1)EA 与 FD 所成的角; (2)FD 与平面 ABCD 所成的角. 3 E
F 6 , BD ? 2 ,FB⊥BD, 3 A C N

2 6 ∴ DF ? ? 2FB ,∴在 Rt△FBD 中,∠BFD = 60? ,∴EA 与 FD 所成的角为 60? . B 3 S ? (2)由(1)知,∠BDF 就是 FD 与平面 ABCD 所成的角,∵∠BDF = 30 ,∴FD 与平面 ? ABCD 所成的角为 30 . M

D

D 【例 4】 如图, 已知四棱锥 S—ABCD 的底面 ABCD 是正方形, SA⊥平面 ABCD, SA = AB, A M,N 分别为 SB,SD 的中点. (1)求 SB,SC 与底面 ABCD 所成角的正切值; (2)若 SA = B C a,求直线 AD 到平面 SBC 的距离; (3)求证:SC⊥平面 AMN. 解: (1)因为 SA⊥平面 ABCD,∴∠SBA 就是 SB 与平面 ABCD 所成的角.∵SA = AB,∴∠SBA = 45° . ∴tan∠SBA = 1.连 AC,由 SA⊥平面 ABCD,∴∠SCA 就是 SC 与平面 ABCD 所成的角.∵ AC ?

2 SA ,

SA ? BC? BC ? AM ? ? ? 2 SA ? 面 ABCD ? ∴ tan ?SCA ? . (2) ? BC ? AB? ? BC ? 面SAB ? ? AM ? SB ? ? AM ? 面SBC . ? ? BC ? 面ABCD? AM ? 面SAB? SB ? BC ? B? 2 ? ? AB ? SA ? A?
∴AM 就是 AD 到面 SBC 的距离.∵ AM ?

SC ? 面 SBC,∴AM⊥SC.同理可证:AN⊥面 SDC,∴AN⊥SC.又∵AM∩AN = A,∴SC⊥平面 AMN. 11

2 2 (3)∵AM⊥面 SBC, a ,∴直线 AD 到平面 SBC 的距离为 a . 2 2



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