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两条直线的位置关系(教案)



课题

两条直线的位置关系

课时 课型

1 新授

教 学 目 标

知识与技能: 掌握两直线相交、平行、重合的等价条件,会根据直线的方程判断两条直线的 位置关系,让学生进一步体会归纳猜想、类比转化、分类讨论、数形结合等数学思 想。

过程方法与能力: 通过直线方程对直线位置关系的定量的分析,体现了用代数方法研究解决几何 问题,通过方程组的解的个数得出两直线相交、平行、重合的等价条件。 情感态度与价值观: 在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系,体会数、形的统一美,激发学生 学习数学的兴趣,对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育,培养学生勇于 探索、勇于创新的精神

重 点 分 析 难 点 分 析 学法 教具 板 书 设 计

位置关系与平行、垂直的条件。

位置关系与平行、垂直的条件。

图片、多媒体 一、新授 1、位置关系 (1)相交 (2)平行 (3)重合 2、平行 3、垂直 课题 例题:

教 学 过 程 与 内 容 一、复习: 形式 点斜式 斜截式 两点式 已知条件 直线方程 适用范围 不垂直于 x 轴的 直线 不垂直于 x 轴的 直线 不 垂直 于坐 标轴 的直线 不 垂直 于坐 标轴 的 直线 和不 过原 点的直线 无

师生活动

P ? x0 , y0 ? , k P ? 0, b ? , k
P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ?

y ? y0 ? k ? x ? x0 ?

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

截距式

? a, 0 ? , ? 0, b ?
二元一次方 程

x y ? ?1 a b
Ax ? By ? C ? 0

一般式

?A

2

? B 2 ? 0或 | A | ? | B |? 0 ?

二、新授 (一)方程组的解的个数与直线的位置关系之间的联系 形一:已知两直线的方程 条件

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ? Ai 2 ? Bi 2 ? 0 ?
方程组解的个数 位置关系

A1 B2 ? A2 B1 ? 0
1、



A1 B1 ? ? A2 B2 ? 0 ? A2 B2

B1C2 ? B2C1 ? ?x ? A B ? A B ? 1 2 2 1 1 个, ? ? y ? A2C1 ? A1C2 ? A1 B2 ? A2 B1 ?

相交

A1 B2 ? A2 B1 ? 0
2、 ? A2C1 ? A1C2 ? 0 ?

且B1C2 ? B2C1 ? 0
0个 平行



? A2 B2C2 ? 0 ?
3、

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

A1 ? ? A2 , B1 ? ? B2 , C1 ? ?C2 或 A1 B1 C1 ? ? ? A2 B2C2 ? 0 ? A2 B2 C2
无数个 重合

形二:设直线 l1 和 l 2 的斜率为 k 1 和 k 2 ,它们的方程分别是: l1 : y ? k1 x ? b1 ;

l 2 : y ? k 2 x ? b2 .

教 学 过 程 与 内 容 1、相交 ? k1 ? k2 2、 l1 // l 2 ? k 1 = k 2 且 b1 ? b2 3、重合 ? k 1 = k 2 且 b1 ? b2 (二)平行直线系: 1、与直线 y ? kx ? b 平行的直线系: y ? kx ? b1 ? b1 ? b ? 2、与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系: Ax ? By ? C1 ? 0 ? C1 ? C ? (三)两条直线互相垂直: 1、直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 垂直 ? k1k2 ? ?1 2、直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 垂直 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 (证明见教材) 3、 (1)与直线 y ? kx ? b ? k ? 0 ? 垂直的直线系: y ? ?
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1 x?m k

(2)与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系: Bx ? Ay ? m ? 0 (四)例题: 1、求过点 A(1,?4) 且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行和垂直的直线方程. 平行:解一:已知直线的斜率为 ? 它的斜率也是 ?

2 ,因为所求直线与已知直线平行,因此 3

2 3

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根据点斜式,得到所求直线的方程是 y ? 4 ? ? 即

2 x ? 3 y ? 10 ? 0 . 解二:设与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线 l 的方程为 2 x ? 3 y ? ? ? 0 (? ? 5) , ∵ l 经过点 A(1,?4) ,∴ 2 ? 1 ? 3 ? (?4) ? ? ? 0 ,解之得 ? ? 10 ∴ 所求直线方程为 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 .

2 ( x ? 1) 3

注意:①解法一求直线方程的方法是通法,必须掌握; ②解法二是常常采用的解题技巧。一般地,直线 Ax ? By ? C ? 0 中系数

A 、 B 确定直线的斜率,因此,与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程可设为 Ax ? By ? ? ? 0(? ? C ) ,其中 ? 待定 (直线系) 垂直:同上。 3x ? 2 y ? 11 ? 0 5 2、求与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行,且在两坐标轴上的截距之和为 的直线 6
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的方程. 解:设直线的方程为 2 x ? 3 y ? ? ? 0 (? ? 5) ,令 x ? 0 ,则在 y 轴上的 截

教 学 过 程 与 内 容 距为 b ? ? 由a ?b ? ?

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?
3

;令 y ? 0 ,则在 x 轴上的截距为 a ? ?

?
2



5 得 ? ? ?1 ,∴所求直线方程为 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 2 3 6 3、已知直线 (a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂 直,求 a 的值. 解 : ∵ A1 ? a ? 2 , A2 ? a ? 1 , B1 ? 1 ? a , B2 ? 2a ? 3 且两直线互相 ? ?
垂直 ∴ (a ? 2)(a ? 1) ? (1 ? a)(2a ? 3) ? 0 ,解之得 a ? ?1
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?

?

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引申: 已知直线 (a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与 (a ? 1) x ? ? a ? 1? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 (1)互相平行求 a 的值; (2)互相垂直求 a 的值 注意:1、若用斜率来解,则需讨论 2、若用系数关系来求,仍需检验。 4、求过直线 x ? y ? 0和x ? 2 y ? 3 的交点,且斜率为 2 的直线方程。 法 1:求交点,由点斜式写直线方程,存在问题是,有时求交点困难。
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法 2:设过两直线交点的直线系: ? x ? y ? ? ? ? x ? 2 y ? 3? ? 0 则: ?

1? ? 1 ? 2 ? ? ? ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 ?1 ? 2? 5

练习: 1.求使直线 x ? 2ay ? 1 和 2 x ? 2ay ? 1 平行的实数 a 的取值。 (答案: a ? 0 ) 2.当 a 为何实数时,两直线 x ? ay ? 2a ? 2 和 ax ? y ? a ? 1 平行? ( 答案: a =1) 3.求直线 Ax ? 2 y ? 1 ? 0 和直线 6 x ? 4 y ? C ? 0 平行的条件.
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A ? 2 ?1 ∴平行的条件是 A ? 3 且 C ? 2 ? ? 6 ?4 C 4.已知直线 l1 : x ? ay ? 2a ? 2 ? 0 , l 2 : ax ? y ? 1 ? a ? 0 (ⅰ)若 l1 ∥ l 2 ,试求 a 的值;(ⅱ) 若 l1 ⊥ l 2 ,试求 a 的值
分析:∵ l1 ∥ l 2 ∴
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小结 :本节知识重点是掌握两条直线垂直的判断条件,并能熟练地判断;难点 是对斜率的讨论,即利用斜率判定两直线垂直时,要注意考虑斜率不存在时是否 满足题意,以防漏解 作业 P 1, 2,3, 4. 94
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反 馈 练 习 教 学 后 记

P ? x0 , y0 ? 不在直线 l1 : f ? x, y ? ? 0 上,则直线 l2 : f ? x, y ? ? f ? x0 , y0 ? ? 0 与直线

l1 : f ? x, y ? ? 0 平行。



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