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黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文



2015-2016 学年度实验中学高二上学期期中考试题 数学(文)试卷
一.选择题: (每小题 5 分) 1.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12
B.2 C. 3

) D.1

A. 2 3

2.已知命题 p : ?x ? R, sin x

? 1, 则
A.?p : ?x0 ? R, sin x0 ? 1
C.?p : ?x0 ? R, sin x0 ? 1





B.?p : ?x ? R, sin x ? 1

D.?p : ?x ? R, sin x ? 1
4 (a ? 0) ,则点 P 的轨迹 a

3.设定点 F1 (0, 2) , F2 (0, ?2) ,动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ? 是( A.椭圆 ) B.线段
2

C.不存在

D.椭圆或线段

4.已知命题 p:关于 x 的函数 y=x -3ax+4 在[1,+∞)上是增函数,命题 q:函数 y=(2a x -1) 为减函数,若“p 且 q”为真命题,则实数 a 的取值范围是( )

2 A.( ??, ] 3

1 B.( 0, ) 2

1 2 C.( , ] 2 3

1 D.( ,1) 2

5.直线l : y ? k ( x ? 2 )与曲线x 2 ? y 2 ? 1( x ? 0)相交于A、B两点,则直线 l倾斜角 α的取值范围是()

A.[0,? )

? ? ? 3? B.( , ) ? ( , ) 4 2 2 4

C.[0, ) 2

?

? ? ? 3? D.[ , ) ? ( , ] 4 2 2 4

6.设命题 p:函数 y
x

? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 单位得到的曲线关于 y 轴对称;命 6 3
)

?

?

题 q:函数 y=|3 -1|在[-1,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( A.p 为假命题 B.┓q 为真命题 C.p∧q 为假命题

D.p∨q 为真命题

1

1 x2 y2 ? 2 ? 1的左右焦点分别为 F1 , F2 , 若椭圆上存在点 P使得 PF1 ? 2 PF2 , A.[ ,1) 2 a b 3 则椭圆的离心率范围是 ()
7.椭圆

1 B.( ,1) 3

2 C.[ ,1) 3

2 D.( ,1) 3
)

8.已知命题“?x ? R, ax2 ? 2 x ? 1 ? 0成立”为真命题,则实 数a的取值范围为 ( A.[0,1) B.( ??,1) C.[1,??) D.( ??,1]

x2 y 2 9.如图,F1 , F2分别为椭圆 2 + 2 = 1的左右焦点,点 P在椭圆上,ΔPOF2的面积为 a b 3的正三角形,则 b 2的值为()

A. 3

B.2 3

C.3 3

D.4 3

x2 y2 ? ? 1上有一动点 P ,圆 E : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,过圆心 E 任意作一条直线与 4 3 圆 E 交于 A, B 两点,圆 F : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,过圆心 F 任意作一条直线与圆 F 交于 C , D 10 .椭圆 两点,则 PA ? PB ? PC ? PD的最小值为 ( A.4 B .6 C .8 ) D .9

11.(选修4 ? 4)已知点 P的极坐标为( 1,?),则过点 P且垂直极轴的直线方程 是()
A.? ? 1
B.? ? cos ?
C.? ? — 1 cos ? D.? ? 1 cos ?

12.(选修4 - 4)已知抛物线 y 2 ? 8x的焦点为F , 过F作直线l交抛物线与A、B两点, 设 FA ? m, FB ? n, 则m ? n的取值范围()
A ( . 0,4]
B(0,14]

C.[4, ? ?)

D.[16, ? ?)

二.填空题(每小题 5 分)

13 .若抛物线C1 : y 2 ? 2 px( p ? 0)与双曲线C2 : 则抛物线C1的方程为 _________

x2 - y 2 ? 1的一个焦点相同, 3

? x ? 5 cos? 14.( 选修 4 - 4)在平面直角坐标系 xoy中,曲线 C1和C2的参数方程分别为 ? (?为参数, ? y ? 5 sin ? ? ?x ? 1 ? ? 0 ? ? ? )和? 2 ? y?? ? ?

?

2 t 2 (t为参数),则曲线 C 与C 的交点坐标为 ________ 1 2 2 t 2
2

15 .椭圆

x2 y2 ? ? 1的左右焦点为F1 ,F2 , P为椭圆上任意一点,使 得∠F1PF2为钝角, 9 4 则点P的横坐标的取值范围是 _______

16.给出下列命题: (1“若 ) x ? 2, 则x ? 3”的否命题; (2“ ) ?a ? (0,??),函数y ? a x在定义域内单调递增” 的否定; (3)“?是函数y ? sin x的一个周期”或“ 2?是函数y ? sin 2 x的一个周期” ; (4)“x 2 ? y 2 ? 0”是“xy ? 0”的必要条件 其中真命题的序号是_________
三、解答题: (满分 70 分) 2 17.已知 a>0,a≠1,设 p:函数 y=loga(x+3)在(0,+∞)上单调递减,q:函数 y=x +(2a -3)x+1 的图象与 x 轴交于不同的两点.如果 p∨q 真,p∧q 假,求实数 a 的取值范围.

18 .(选修 4 - 4)过点P(

10 , 0)作倾斜角为 α的直线与曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 1交于M , N两点, 2 求 PM ? PN 的最小值及相应的 α值.

19 .(选修 4 - 4)直线l的极坐标方程为: ?cos? - ? sin ? ? 4 ? 0,曲线C的参数方程为: ? x ? 2 cos? (?为参数) ? ? y ? sin ? ( 1)写出l与C的直角坐标方程 ; (2)求C上的点到 l距离的最大值与最小值 .

20 .已知点A( 3, 0), B(3, 0), 动点P满足 PA ? 2 PB ( 1)若点P的轨迹为曲线 C , 求此曲线的方程 ; (2)若点Q在直线l1 : x ? y ? 3 ? 0上,直线 l2经过点Q且与曲线 C只有一个 公共点M,求 QM 的最小值.

3

21(选修 4 - 4)已知极坐标系的极点 与直角坐标系的原点重 合,极轴与直角坐标系 的x轴的 正半轴重合,且两个坐 标系的单位长度相同, 已知直线 l的参数方程为 ? x ? ?1 ? t cos? (t 为参数),曲线 C的极坐标方程为 ? ? 4 cos? . ? ? y ? 1 ? t sin ? ( 1)若直线 l的斜率为 - 1,求直线 l与曲线C交点的极坐标; (2)若直线 l与曲线C的相交弦长为 2 3,求直线 l的参数方程 .

22.已知椭圆的两个焦点 F 1 (? 3,0), F 2 ( 3,0) ,且椭圆短轴的两个端点与 F2 构成正三角形. (1)求椭圆的方程; (2)过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线 l 与椭圆交于不同两点 P、Q,若在 x 轴上存在 定点 E( m ,0) ,使 PE ? QE 恒为定值,求 m 的值.

答案 一.ACDCB
2

DABBB CD 14.(2,1) 15. (? 3 5 , 3 5 ) 5 5 16.(1)(2)(3)

二.13. y ? 8x

三.17 解 对于命题 p:当 0<a<1 时,函数 y=loga(x+3)在(0,+∞)上单调递减. 对于命题 q:如果函数 y=x +(2a-3)x+1 的图象与 x 轴交于不同的两点, 那么 Δ =(2a-3) -4>0, 1 5 2 即 4a -12a+5>0?a< ,或 a> . 2 2 又∵a>0,所以如果 q 为真命题, 1 5 那么 0<a< 或 a> . 2 2 1 5 如果 q 为假命题,那么 ≤a<1,或 1<a≤ . 2 2 ∵p∨q 为真,p∧q 为假,∴p 与 q 一真一假.
4
2 2

0<a<1, ? ? 如果 p 真 q 假,那么?1 5 ≤a<1,或1<a≤ , ? 2 ?2 1 ? ≤a<1. 2

a>1, ? ? 如果 p 假 q 真,那么? 1 5 0<a< ,或a> , ? 2 2 ?
1 5 ∴a 的取值范围是[ ,1)∪( ,+∞) 2 2

5 ?a> . 2

18.当? ?

?
6

或? ?

5? 6 时,有最小值为 6 5

19 .(1) x ? y ? 4 ? 0 (2)d max ? 4 2 ? 10 4 2 ? 10 , d min ? 2 2

20.(1)(x ? 5) 2 ? y 2 ? 16(2)d min ? 4
7? ) 4

21.

(1)( 0,0)( 2 2 ,

4 ? ? x ? ?1 ? 5 t ? x ? ?1 ? t ( 2) ? (t为参数)或 ? (t为参数) 3 ? y ?1 ? y ?1? t 5 ?

22.解: (1)由题意知 ∴ b =1

c = 3 又∵椭圆的短轴的两个端点与 F 构成正三角形
∴椭圆的方程为

从而 a ? 2

x2 ? y 2 =1 ??????3 分 4

(2)设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? k ?x ? 1?

? x2 ? ? y2 ? 1 ?4 ? y ? k ? x ? 1? ?

消y得

?4k

2

? 1 x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 ????5 分

?

设 P?x1 , y1 ?, Q?x2 , y 2 ? ,则由韦达定理得

x1 ? x 2 ?

8k 2 4k 2 ? 1

x1 x2 ?

4k 2 ? 4 ????7 分 4k 2 ? 1

则 PE ? ?m ? x1 ,? y1 ?QE ? ?m ? x2 ,? y2 ?
5

∴ PE ? QE ? ?m ? x1 ??m ? x2 ? ? y1 y2 = m 2 ? m?x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? y1 y2 = m ? m ? x1 ? x2 ? ? x1x2 ? k
2
2

2

? x1 ?1?? x2 ?1?

2 ? 8k 2 4k 2 ? 4 8k 2 2 ? 4k ? 4 =m ?m 2 ? 2 ?k ? ? 2 ? 1? 2 ? ? 4k ? 1 4k ? 1 ? 4k ? 1 4k ? 1 ?

=

?4m

2

? 8m ? 1 k 2 ? m 2 ? 4 4k 2 ? 1

?

?

?

???????????10

要使上式为定值须

4m2 ? 8m ? 1 4 ? , m ? 17 2 m ?4 1 8

6



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