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各高校自主招生数学试题



汇智起航自主招生特训数学资料

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自主招生试题特点:试题难度高于高考,有的达到竞赛难度,试题灵活,毫无 规律可寻,但各个学校有自己命题风格。一般说来,各高校对后续性的知识点: 如,函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略: 注重基础: 1、 一般说来, 自主招生中, 基础题目分数比例大约占

60-70% 2、适当拓展知识面,自主招生中,有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手,并进行分析。 方程的根的问题:
1. 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,且 f ( x) ? x 没有实数根.那么 f ( f ( x)) ? x 是
2

否有实数根?并证明你的结论. (08 交大) 2. 设 f ( x) ? (1 ? a) x4 ? x3 ? (3a ? 2) x2 ? 4a ,试证明对任意实数 a : (1)方程 f ( x) ? 0 总有相同实根; (2)存在 x0 ,恒有 f ( x0 ) ? 0 . (07 交大) 3.(06 交大)设 k ? 9, 解方程 x3 ? 2kx 2 ? k 2 x ? 9k ? 27 ? 0 4. (05 复旦)在实数范围内求方程: 4 10 ? x ? 4 7 ? x ? 3 的实数根.
3 2 5.(05 交大) x ? ax ? bx ? c ? 0 的三根分别为 a,b,c,并且 a,b,c 是不全为零的有理数,

求 a,b,c 的值.

6. 解方程: .求方程 x ? x ? 2 x ? ? ? 2 x ? 2 3x (n 重根)的解.(09 交大)
凸函数问题 1. (2009 复旦) 如果一个函数 f(x)在其定义区间内对任意 x,y 都满足
f ( x? y f ( x) ? f ( y ) ,则称这个函数时下凸函数,下列函数 )? 2 2

(1) (3) (4)

f ( x) ? 2 x
f ( x) ? log 2

(2)

f ( x) ? x

3

x( x ? 0)

? x, x ? 0, f ( x) ? ? ?2 x, x ? 0,

中是下凸函数的有-------------------。

1

汇智起航自主招生特训数学资料 A.(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4)

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2. (06 复旦)设 x1,x2∈(0,

1 2 1 (3) 2
(1)

? ) ,且 x1≠x2,下列不等式中成立的是: 2 x ? x2 x ? x2 1 (tanx1+tanx2)>tan 1 ; (2) (tanx1+tanx2)<tan 1 ; 2 2 2 x ? x2 x ? x2 1 (sinx1+sinx2)>sin 1 ; (4) (sinx1+sinx2)<sin 1 2 2 2
B.(1),(4) C.(2),(3) D.(2),(4)

A. (1),(3)

? 3.(09,清华) x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1, n ? N , 证明: x 2 n ? y 2 n ?

1 2
2 n ?1

柯西不等式

设a1,a 2, ,a n 及b1,b2, ,bn为任意实数,则(a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn ) 2 ? ?
2 2 2 2 ? (a12 ? a 2 ? ? ? a n )(b12 ? b2 ? ? ? bn ),当且仅当

a a1 a 2 ? ??? n b1 b2 bn

(规定 ai ? 0时,bi ? 0)时等号成立。

2 2 ? 的最小值是______________. x y 2. 已知 2x+3y+4z=10,求 x2+y2+z2 的最小值。 3.P 为△ABC 内一点,它到三边 BC、CA、AB 的距离分别为 d1 , d2 , d3 ,S 为△ABC 的面积,
1.(03 交大)已知 x, y ? R ? ,x+2y=1,则

a b c (a ? b ? c) 2 求证: ? . (09 南大) ? ? d1 d2 d3 2S
4. 给定正整数 n 和正常数 a, 对于满足不等式 a1 ? a n ?1 ? a 的所有等差数列 a1,a2,a3,…,
2 2

2 n ?1

和式

i ? n ?1

? a 的最大值=_______.(07 复旦)
i

A.

10a (n ? 1) ; 2

B.

10a n; 2

C.

5a (n ? 1) ; 2

D.
2

5a n. 2
2

5. (07 复旦) a 和 b 取遍所有实数时, 当 则函数 f (a, b) ? (a ? 5 ? 3 cosb ) ? (a ? 2 sin b ) 所能达到的最小值为_____________. A.1; B.2; C.3;

D.4.

基础题
1. 求 f ( x) ?

ex 的单调区间及极值.(2007 年清华) x

2

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2.设正三角形 T1 边长为 a , Tn ?1 是 Tn 的中点三角形,

An 为 Tn 除去 Tn ?1 后剩下三个三角形内切圆面积之和.
求 lim
n ??

?A
k ?1

n

k

.(2007 年清华)

3. 圆内接四边形 ABCD 中,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4, 求 ABCD 的外接圆半径.(北大 2009) 4. 已知一公差为正整数无穷项等差数列,其中有 3 项:13,25,41. 求证:2009 为数列中一项. (2009,北大) 5. 求最小正整数 n ,使得 I ? ( ?

1 2

1 2 3

i ) n 为纯虚数,并求出 I .(06,清华)

6. 已知 a、b 为非负数, M ? a ? b , a ? b ? 1 ,求 M 的最值.(06,清华)
4 4

7. 已 知 sin ?、 ?、 ? 为 等 差 数 列 , sin ?、 ?、 ? 为 等 比 数 列 , 求 sin cos sin cos

cos2? ?

1 cos2? 的值.(06,清华) 2

8. 比较 log24 25 与 log25 26 的大小并说明理由. (04 复旦) 求证:边长为 1 的正五边形对角线长为

9.

5 ?1 (08 北大). 2

10. 四面体 ABCD 中,AB=CD,AC=BD,AD=BC。 (1)求证:这个四面体的四个面都是锐角三角形。 (2)设底面为 BCD,设另外三个面与面 BCD 所形成的二面角为 α,β,γ。 求证:cosα+cosβ+cosγ=1。 11.(09 清华) (1) x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1, n ? N ? , 证明: x 2 n ? y 2 n ?

1 2
2 n ?1

(2)已知 x,y,z>0,a,b,c 是 x,y,z 的一个排列。求证: 12. 求所有 3 项的公差为 8 的自然数数列,满足各项均为素数。 13. 求所有满足 tan A ? tan B ? tan C ? [tan A] ? [tan B] ? [tan C] 的非直角三角形(这里 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数)

a b c ? ? ? 3。 x y z

(2009 年南京大学自主招生试题) 14. 求由正整数组成的集合 S ,使 S 中的元素之和等于元素之积(06,清华)。
3

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15.

5 ?1 5 ?1

的整数部分为 A,小数部分为 B。

(1)求 A,B;

2 2 (2)求 A ? B ?

AB ; 2

(3)求 lim( B ? B ? ? ? B ) 。(09,清华)
2 2 n n ??

16. (09 复旦).定义全集 X 的子集 A

? X 的特征函数为

f

? X,下列命题中不准确的是_______________. A.A ? B ? f ( x ) ≤ f ( x ) ,? x ?X
对 A,B
A B

?1, x ? A, 这里, C X A 表示 A 在 X 中的补集。那么, ( x) ? ? A ?0, x ? C X A,

B. c. D.

f

CX
A? B

A

( x) ? 1 ?

f

A

( x)

,? x ?X

f
f

( x) ?
( x)

f
f

A

( x)
( x)

f
+

B

( x ) ,? x ?X
( x)

?

A? B

A

f

,? x ?X

B

17. (09 复旦).半径为 R 的球内部装 4 个有相同半径 r 的小球,则小球半径 r 的最大可能值 是_______________。 A.

3 2? 3

R

B.

6 3? 6

R

C.

1 R 1? 3
? ?? a1x ? a0 ,

D.

5 2? 5

R

中等题
18. 给出一个整系数多项式 f ( x) ? an x ? an?1 x
n n?1

使 f ( x) ? 0 有一个根为 2 ? 3 3 (2009 清华) 19.. 通信工程中常用 n 元数组 (a1 , a2 , a3 ,……an ) 表示信息, 其中 ai ? 0 或 1,i、n ? N . 设

u ? ( 1a 2,a 3 …… )n , v ? (b1, b2 , b3……bn ) , d (u, v) 表示 u 和 v 中相对应的元素不同的 a, a
个数. (1) u ? (0,0,0,0,0) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u, v) ? 1 ; (2) u ? (1,1,1,1,1) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u, v) ? 3 ; (3)令 w ? (0, 0, 0……0) , u ? (a1 , a2 , a3……an ) , v ? (b1 , b2 , b3……bn ) , ?? ?? ?
n个 0

求证: d (u, w) ? d (v, w) ? d (u, v) . (08 交大)

4

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20.证明:若 f(f(x) )有唯一不动点,f(x)也有唯一不动点(09 交大) 21. 已知 A(?1, ?1) ,△ABC 是正三角形,且 B、C 在双曲线 xy ? 1( x ? 0) 一支上. (1)求证 B、C 关于直线 y ? x 对称; (2)求△ABC 的周长.(07,清华) 22. 是否存在实数 x,使 tan x ? 3, cot x ? 3 均为有理数?(09,北大) 23.对于集合 M ? R ,称 M 为开集,当且仅当 ?P ? M , ?r ? 0 , 0
2

使得 {P ? R

2

PP0 ? r} ? M .

判断集合 {( x, y) 4x ? 2 y ? 5 ? 0} 与 {( x, y) x ? 0, y ? 0} 是否 为开集,并证明你的结论.(2007 年清华)。

24.{an }首项为a, 公差为b,?bn ?首项为b1 , 公比为a(a, b ? N * )且a1 ? a ? b1 ? b ? a2 ? b2 ? a3 (1)求a的值.(2)若?m, n ? N *使am ? 1 ? bn , 求b的值. (3)在(2)的条件下, 求? ai .
i ?1 m

25.定义在 R 上的函数 f ? x ? ?

4x ?1? ?2? ? n ?1? , Sn ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? x 4 ?2 ?n? ?n? ? n ?

n=2,3,…

(1) 求 S n ; (2) 是否存在常数 M>0, ?n ? 2 ,有

1 1 1 (05 复旦) ? ??? ?M . S2 S3 Sn?1
2

26.已知线段 AB 长度为 3 ,两端均在抛物线 x ? y 上,试求 AB 的中点 M 到 y 轴的最短 距离和此时 M 点的坐标. (07 交大) 27.有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面?并证明。 (抛物线内部指焦点所在的一侧) (09 清华)
2 28. 数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an ?1 , aN ? 1 且 aN ?1 ? 1 ,其中 N ??2,3,4,??

①求证: a1 ? 1 ;
a1 ? cos k? ?k ? Z ? 2 N ?2 。

② 求证:

a 3 ? 2a 4 2 29.(03 交大)求证: a ? 3a ? 1 为最简分式.
5

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30.(04 复旦)若存在 M ,使任意 t ? D ( D 为函数 f (x) 的定义域) ,都有 f ( x) ? M , 则称函数 f (x) 有界.问函数 f ( x) ?
2

1 1 1 sin 在 x ? (0, ) 上是否有界? x x 2

31.对于集合 M ? R ,称 M 为开集,当且仅当 ?P ? M , ?r ? 0 , 0 使 得

{P ? R 2 PP0 ? r} ? M

.

判 断 集 合

{( x, y) 4x ? 2 y ? 5 ? 0} 与

{( x, y) x ? 0, y ? 0}是否为开集,并证明你的结论.(2007 年清华)。
32.已知六边形 AC1BA1CB1 中 AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1, ∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 求证:△ ABC 面积是六边形 AC1BA1CB1 的一半(08,北大)

较难题
33.定义闭集合 S,若 a, b ? S ,则 a ? b ? S , a ? b ? S .(1) 举一例,真包含于 R 的无限 闭集合.(2) 求证对任意两个闭集合 S1,S2 ? R,存在 c ? R ,但 c ? S1 ? S2 . (03 复旦) 34.排球单循坏赛,南方球队比北方球队多 9 支,南方球队总得分是北方球队的 9 倍。 求证:冠军是一支南方球队(胜得 1 分 败得 0 分)(08 北大) 35.已知 f (x) 满足:对实数 a、 b 有 f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) ,且 f ( x) ? 1, 求证 f (x) 恒为零. (05 清华) (可用以下结论:若 lim g ( x) ? 0, f ( x) ? M , M 为一常数,那么 lim( f ( x) ? g ( x)) ? 0 )
x ??
x ??

36 已知对 ? x, a cos x ? b cos 2 x ? ?1恒成立,求 a+b 的最大值.(09 北大)

37.某次考试共有 333 名学生做对了 1000 道题,做对 3 道及以下为不及格, 6 道及以上为优秀,考场中每人做题数目不全同奇偶. 问:不及格者与优秀者哪个多?(09 北大) 38. 已知

6

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a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 a1a2 ? a2 a3 ? a3a1 ? b1b2 ? b2b3 ? b3b1 min(a1 , a2 , a3 ) ? min(b1 , b2 , b3 ) 求证: max(a1 , a2 , a3 ) ? max(b1 , b2 , b3 )
39。证明:正整数列 (08 北大)

a1 , a2 ,?a2n?1 是常数列的充要条件是其满足性质 p:

对数列中任意 2n 项,存在一种方法将这 2n 项分为两类(每类 n 个数), 使得两类数之和相等.(09 清华)

40.

7



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