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广东省2012届高三全真模拟卷数学理 33



广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 33
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 定义集合运算: A ? B = { z | z = xy, x ∈ A, y ∈ B} .设

A = {1, 2} , B = {0, 2} ,则集合 A ? B 的所有元素之和为(
A.0;B.2;C.3;D.6 2. 复数



( 2 + 2i) 4 等于( (1 ? 3i ) 5
B.-1+



A.1+

3i

3i

C.1 -

3i

D.-1-

3i

3. 把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 曲线方程是( ) A.(1-y)sinx+2y-3=0 C.(y+1)sinx+2y+1=0 4. 在区间 [ ?1,1] 上随机取一个数 x , cos A.

π
2

个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到的

B.(y-1)sinx+2y-3=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0

πx
2

的值介于 0 到 D.

1 之间的概率为( 2



1 3

B.

2

π

C.

1 2

2 3

5. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S3 = 6, a1 =4, 则公差 d 等于 A.1 B

5 3

C.- 2

D 3 ( )

6. 若 log 2 a<0, ( )b >1,则 A.a>1,b>0 B.a>1,b<0 C. 0<a<1, b>0

1 2

D. 0<a<1, b< 0 )

7. 若 a > 0, b > 0 且 a + b = 4 ,则下列不等式恒成立的是 ( A.

1 1 1 1 B. + ≤ 1 > ab 2 a b

C. ab ≥ 2 D.
x

1 1 ≤ 2 8 a +b
2

8. 若函数 f ( x ) 的零点与 g ( x ) = 4 + 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ( x ) 可 以是 A. f ( x ) = 4 x ? 1 C. f ( x ) = e ? 1
x

B. f ( x ) = ( x ? 1) D. f ( x ) = In ? x ?

2

? ?

1? ? 2?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~12题)

9. 若函数 f(x)=a-x-a(a>0 且 a ≠ 1)有两个零点, 则实数 a 的取值范 围是 .

10. 设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) 。

则该几何体的体积为

m3
.

11. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是

12. 已知︱ OA ︱=1,︱ OB ︱= 3 , OA ? OB =0,点 C 在∠ AOB 内,且∠ AOC=30°,设

OC =m OA +n OB (m、n∈R),则 R

m 等于 n
2

(二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题) 13. (不等式选讲选做题)不等式 x + 3 ? x ? 1 ≤ a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的 取值范围为 14. (坐标系与参数方程选做题)设直线 l1 的参数方程为 ? 方程为 y=3x+4 则 l1 与 l2 的距离为_______ 15. (几何证明选讲选做题) 如图,已知: △ ABC 内接于 圆 O ,点 D 在 OC 的延长线上, AD 是⊙ O 的切线,若 ∠B = 30° ,

?x = 1+ t (t 为参数) ,直线 l2 的 ? y = 1 + 3t

AC = 2 ,则 OD 的长为



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解 答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤.

16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = sin (ω x + ? )(ω > 0, 0 ≤ ? ≤ π ) 为偶函数,且其图像上相邻的一个最高点和 最低点之间的距离为 4 + π 。
2

(1)求函数 f(x)的解析式;

2 sin(2α ? ) + 1 2 4 (2)若 sin α + f (α ) = , 求 的值。 3 1 + tan α

π

17. 本题满分 12 分) ( 某商场准备在节日期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 3 种服装商品、2 种 家电商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动。 (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率; (2)商场对选出的商品采用有奖促销,即在该商品现价的基础上价格提高 180 元,同时 允许顾客每购买 1 件促销商品有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都可获得奖 金 100 元,假设顾客每次抽奖时中奖 与否是等可能的,试分析此种有奖促销方案对 商场是否有利。

18. (本小题满分 14 分) 一个几何体的三视图如右图所示 ,其中正视图和侧视图是腰长为 6 的两个全等的等腰直 角三角形. (Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (Ⅱ) 用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼? 试证明你的结论; (Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点为 E, 求平面 AB1E 与平 面 ABC 所成二面角的余弦值.

19. (本小题满分 14 分) 已 知 f ( x ) = ( x ? 1)
2

, g ( x ) = 10( x ? 1)

, 数 列

{a n }

满 足 a1 = 2 ,

(a n +1 ? a n )g(a n ) + f (a n ) = 0 , b n =
(Ⅰ)求证:数列 {a n ? 1}是等比数列;

9 ( n + 2)(a n ? 1) . 10

(Ⅱ)当 n 取何值时, b n 取最大值,并求出最大值; (III)若

tm t m +1 * < 对任意 m ∈ N 恒成立,求实数的取值 范围. b m b m +1

20. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + x + 2( x ∈ R ) (Ⅰ)若 f ( x)在x ∈ (?∞,+ ∞)上是增函数, 求实数a的取值范围 。 ( Ⅱ ) a = 0时, 曲线f ( x) = x 3 + x + 2 的 切 线 斜 率 的 取 值 范 围 记 为 集 合 A , 曲 线

f ( x) = x 3 + x + 2上不同两点p( x1 , y1 ),Q ( x 2 , y 2 ) 连线斜率取值范围记为集合 B,
你认为集合 A、B 之间有怎样的关系, (真子集、相等) ,并证明你的结论。 (Ⅲ)a = 3时,f ( x) = x 3 + 3 x 2 + x + 2的导函数f ′( x)是二次函数, f ′( x) 的图象关于轴对 称。你认为三次函数 f ( x) = x 3 + 3 x 2 + x + 2 的图象是否具有某种对称性,并证明你 的结论。

21. (本小题满分 14 分) 设直线 l : y = k ( x + 1) 与椭圆 x + 3 y = a ( a > 0) 相交于 A、B 两个不同的点,与 x
2 2 2

轴相交于点 C,记 O 为坐标原点. (I)证明: a >
2

3k 2 ; 1 + 3k 2

(II)若 AC = 2CB, 求?OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程. 参考答案 1-8 DBCACDDA 9. {a | a > 1} 13. (?∞, ?1] U [4, +∞ ) 一、选择题 1.答案:D 【解析】[解题思路]根据 A ? B 的定义,让 x 在 A 中逐一取值,让 y 在 B 中逐一取值, xy 在 值就是 A ? B 的元素 [解析]:正确解答本题,必需清楚集合 A ? B 中的元素,显然,根据题中定义的集合运算知 14. 10. 4
3 10 5

11. 4

12.3

15.4

A ? B = {0,2,4} ,故应选择 D
2.答案: B 【解 析】解法一: 2 + 2i = 2

2 (cos

π

+ i sin ) , 4 4
3i = 2(cos

π

故(2+2i) =2 (cosπ+isinπ)=-2 ,1-

4

6

6

π

? i sin ) , 3 3

π

故 (1 ?

3i) 5 =

5π 5π cos + i sin 3 3
? 2 6 (cos

25

.

(2 + 2i ) 4 于是 = (1 ? 3i ) 5
所以选 B.

5π 5π + i sin ) 3 3 = ?2( 1 ? 3 i ) = 1 + 3i , 5 2 2 2

16(1 + i ) 4 1 (2i ) 2 2 =? = 2 1 1 3 5 3 2 1 3 解法二:原式= ? 2 5 ( ? + i) (? + i) ? ? i 2 2 2 2 2 2

=

?4 ? 4(1 ? 3i ) = = ?1 + 3i 4 1 + 3i
4

∴应选 B 解法三: i 的辐角主值是 45°, (2+2i) 的辐角是 180°; 2+2 则 1-
5

3 i 的一个辐角是-60°,

( 2 + 2i) 4 则(1- 3 i) 的辐角是-300°,所以 的一个辐角是 480°,它在第二象限,从 (1 ? 3i ) 5
而排除 A、C、D,选 B. 3. 答案:C 【解析】将原方程整理为:y=

π 1 ,因为要将原曲线向右、向下分别移动 个单位和 1 2 + cos x 2
π
-1 为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.

个单位,因此可得 y=

1

2 + cos( x ? ) 2
评述:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解,可 直接化为: y+1)cos(x- ( 4.答案:A 【解析】 在区间[-1, 1]上随机取一个数 x,即 x ∈ [ ?1,1] 时,要使 cos 需使 ?

π
2

)+2(y+1)-1=0,即得 C 选项.

πx
2

的值介于 0 到

π
2



πx
2

≤?

π
3



π
3



πx
2



π
2

1 之间, 2

∴ ?1 ≤ x ≤ ?

2 2 2 或 ≤ x ≤ 1 ,区间长度为 ,由几何概 3 3 3

2 1 1 型知 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 3 = .故选 A. 2 2 2 3

πx

5.答案:C 【解析】∵ S3 = 6 = 6.答案:D 【解析】由 log 2 a < 0 得 0 < a <, 由 ( )b > 1 得 b < 0 ,所以选 D 项。 7.答案:D 8.答案:A 【解析】 f ( x ) = 4 x ? 1 的零点为 x= 点为 x=0, f ( x ) = In ? x ?

3 (a1 + a3 ) 且 a3 = a1 + 2d a1 =4 ∴ d=2 .故选 C 2

1 2

1 2 x , f ( x ) = ( x ? 1) 的零点为 x=1, f ( x ) = e ? 1 的零 4

? ?

3 1? x ? 的零点为 x= .现在我们来估算 g ( x ) = 4 + 2 x ? 2 的零点, 2 2?

因 为 g(0)= -1,g(

1 1 )=1, 所 以 g(x) 的 零 点 x ∈ (0, ), 又 函 数 f ( x ) 的 零 点 与 2 2

g ( x ) = 4 x + 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f ( x ) = 4 x ? 1 的零点适合,故
选 A。 二、填空题 9.答案: {a | a > 1} 【解析】设函数 y = a ( a > 0, 且 a ≠ 1} 和函数 y = x + a ,则函数 f(x)=a-x-a(a>0 且 a ≠ 1)
x

有两个零点, 就是函数 y = a ( a > 0, 且 a ≠ 1} 与函数 y = x + a 有两个交点,由图象可知当
x

0 < a < 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a > 1 时,因为函数 y = a x (a > 1) 的图象过点
(0,1),而直线 y = x + a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以 实数 a 的取值范围是 {a | a > 1} . 10 答案:4 11.答案:4 【解析】 对于 k = 0, s = 1,∴ k = 1 , 而对于 k = 1, s = 3,∴ k = 2 , 则 后面是 k = 3, s = 3 + 8 + 211 ,∴ k = 4 ,不 符合条件时输出的 k = 4 . 12.答案:3 【解析】 OA = 1, OB = 3, OA.OB = 0, 点 C 在 AB 上,且 ∠AOC = 30 o 。

k = 2, s = 3 + 8,∴ k = 3 ,

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

设 A 点坐标为

(1, B 点的坐标为(0, 3 ), 点的坐标为(x, 0), C y)=( 则∴ m=

uuu r uuu r 3 3 uuur , ), OC = mOA + nOB ( m, n ∈ R ) , 4 4

3 1 m ,n= , =3 4 4 n

13.答案: (?∞, ?1] U [4, +∞ ) 【 解 析 】 因 为 ?4 ≤ x + 3 ? x ? 1 ≤ 4对x + 3 ? x ? 1 ≤ a ? 3a 对 任 意 x 恒 成 立 , 所 以
2

a 2 ? 3a ≥ 4即a 2 ? 3a ≥ 0,解得a ≥ 4或a ≤ ?1
14.答案:
3 10 5 |4+2| 10 = 3 10 。 5

【解析】由题直线 l1 的普通方程为 3 x ? y ? 2 = 0 ,故它与与 l2 的距离为 15.答案:4

【解析】连结 OA ,则 ∠COA = 2∠CBA = 60 0 ,且由 OC = OA 知 ?COA 为正三角形,所以

OA = 2 。又因为 AD 是⊙ O 的切线,即 OA ⊥ AD ,所以 OD = 2OA = 4

三、解答题 16.

(1) Q f ( x ) 为偶函数, sin ( ?ω x + ? ) = sin (ω x + ? ) , ? 2sin ω x cos ? = 0恒成立 ∴ cos ? = 0 ∴ 又0 ≤ ? ≤

π
2

,∴? =

π
2

.其图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为 4 + π 2 , T = 4 + π 2 ? 22 = π ,∴T = 2π ∴ω = 1,∴ f ( x ) = cos x 2

设其最小正周期为T , 则

sin 2α ? cos 2α + 1 2sin α cos α + 2sin 2 α = = 2sin α cos α , ( 2 ) Q原式 = sin α 1 + tan α 1+ cos α 2 4 5 5 又 sin α + cos α = ,∴1 + 2sin α cos α = ,∴ 2sin α cos α = ? ,∴ 原式 = ? 3 9 9 9
17. 解: (1)从 3 种服装商品、2 种家电商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品,一共有
3 3 C 9 种不同的选法,选出的 3 种商品中,没有日用商品的选法有 C 5 种,所以选出的 3 种

商品中至少有一种日用商品的概率为 P = 1 ?

3 C5 5 37 = 1? = . ……(4 分) 3 42 42 C9

(2) 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ, 其所有可能的取值为 0, 100, 200,300。 (单元:元)

1 , 8 1 3 1 3 1 1 2 1 同理可得 P (ξ = 100) = C 3 ( ) ? ( ) 2 = , P (ξ = 200) = C 3 ( ) 2 ? ( ) = , 2 2 8 2 2 8 1 1 P (ξ = 300) = ( ) 3 = . 2 8
ξ=0 表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 P (ξ = 0) = ( ) 3 = 于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是

1 2

1 3 3 1 Eξ = 0 × + 100 × + 200 × + 300 × = 150 < 180. …………(11 分) 8 8 8 8
故促销方案对商场有利。 18. 解: (Ⅰ)该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面 ABCD 是边长为 6 的正方形,高为 CC1=6,故所求 体积是

V =

1 2 × 6 × 6 = 72 3

------------------------4 分

(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍, 故用 3 个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为 6 的 正方体,其拼法如图 2 所示. ------------6 分

证明:∵面 ABCD、面 ABB1A1、面 AA1D1D 为全等的 正方形,于是 VC1 ? ABCD = VC1 ? ABB1 A1 = VC1 ? AA1D1D , 故所拼图形成立.---8 分 (Ⅲ)以 C 为原点,CD、CB、CC1 所在直线分别为 x、y、 z 轴建立直角坐标系(如图 3) , ∵正方体棱长为 6, 则 E(0,0,3) 1(0,6,6) ,B ,A(6,6,0). 设向量 n=(x,y,z) ,满足 n⊥ EB1 ,n⊥ AB1 ,

?x = z ?6 y + 3 z = 0 ? 于是 ? ,解得 ? 1 . ?? 6 x + 6 z = 0 ?y = ? 2 z ?


---12

取 z=2,得 n=(2,-1,2). 又 BB1 = (0,0,6) ,

cos < n, BB1 >=

n ? BB1 | n || BB1 |

=

12 2 = 18 3
2 .------14 分 3

故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为

19. 解: (I)∵ (a n +1 ? a n )g(a n ) + f (a n ) = 0 , f (a n ) = (a n ? 1) 2 , g(a n ) = 10(a n ? 1) , ∴ (a n +1 ? a n )10(a n - 1) + (a n - 1) 2 = 0 . 即 (a n ? 1)(10a n +1 - 9a n - 1) = 0 . 又 a 1 = 2 ,可知对任何 n ∈ N * , a n ? 1 ≠ 0 ,所以 a n +1 = 2分

9 1 a n + .………… 10 10

9 1 a n + ?1 a ? 1 10 9 10 ∵ n +1 , = = a n ?1 a n ?1 10
∴ {a n ? 1}是以 a 1 ? 1 = 1 为首项,公比为 (II)由(I)可知 a n ? 1 = (

9 的等比数列.………4 分 10

9 n ?1 ( n ∈ N* ) . ) 10 9 9 ∴ bn = (n + 2)(a n ? 1) = (n + 2)( ) n . 10 10 9 (n + 3)( ) n +1 b n +1 9 1 10 = = (1 + ) .……………………………5 分 9 n bn 10 n+2 (n + 2)( ) 10

当 n=7 时,

b8 = 1, b 8 = b 7 ; b7 b n +1 > 1 , b n +1 > b n ; bn b n +1 < 1 , b n +1 < b n . bn

当 n<7 时,

当 n>7 时,

98 ∴当 n=7 或 n=8 时, b n 取最大值,最大值为 b 7 = b 8 = 7 .…… 8 分 10
(III)由

tm t m +1 1 10t m < ,得 t [ ? ]<0 b m b m +1 m + 2 9(m + 3)

(*)

依题意(*)式对任意 m ∈ N * 恒成立, ①当 t=0 时, (*)式显然不成立,因此 t=0 不合题意.…………9 分 ②当 t<0 时,由

1 10t ? > 0 ,可知 t m < 0 ( m ∈ N * ) . m + 2 9(m + 3)

而当 m 是偶数时 t m > 0 ,因此 t<0 不合题意.…………10 分 ③当 t>0 时,由 t m > 0 ( m ∈ N * ), ∴

1 10t ? <0 m + 2 9(m + 3)
设 h (m) =

∴t >

9(m + 3) . 10(m + 2)

( m ∈ N * )……11 分

9(m + 3) 10(m + 2)

( m ∈ N* )

∵ h ( m + 1) ? h ( m) =

9( m + 4) 9(m + 3) 9 1 ? =? ? < 0, 10(m + 3) 10(m + 2) 10 (m + 2)(m + 3)

∴ h (1) > h ( 2) > L > h ( m ? 1) > h ( m ) > L .

6 . 5 6 所以实数的取值范围是 t > .…………………………………13 分 5
∴ h ( m) 的最 大值为 h (1) = 20. (Ⅰ)Q f ( x) = x 3 + ax 2 + x + 2 分) 若 ? = 4a 2 ? 12 < 0

得 f ′( x) = 3x 2 + 2ax + 1

(1

即 ? 3<a< 3时

对于 x ∈ R

有 f ′( x) > 0

∴ f ( x)在R上单调递增
a 3

(3 分)

若 ? = 4a 2 ? 12 = 0

即 a=± 3时

对于 x ∈ R, 有f ′( x) ≥ 0 当且仅当f ′(? ) = 0 故 f(x)在 R 上单调递增 若△> 0,显然不合 (4 分)

综合所述, f ( x)在R上是增函数, a取值范围为a ∈ ? 3 , 3 (Ⅱ) B ? A

[

]

(5 分) (6 分)

证明:Q f ( x) = x 3 + x + 2 设 PQ 斜率 K,则 k =

有 f ′( x) = 3 x 2 + 1 ≥ 1
3 ( x1

故A = [1, + ∞ )

(7 分)

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = x1 ? x 2

?

3 x2 )

+ ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

=

2 ( x1 ? x 2 )( x12 + x1 x 2 + x 2 + 1) x1 ? x 2
2 x 2 2 3x 2 ) + +1 2 4

(8 分)

2 = x12 + x1 x 2 + x 2 + 1 = ( x1 +

(9 分)

Q x1 ≠ x 2

故若 x 2 = 0
若 x1 +



x2 =0 2

x2 = x1 ≠ 0 2 x 有 x1 = ? 2 ≠ 0 得 x 2 ≠ 0 2 x1 +

Q ( x1 +

2 x 2 2 3x 2 ) + >0 2 4

得k >1 故 B? A

∴ B = (1,+∞ )
(10 分)

(Ⅲ) f ( x) = x 3 + 3x 2 + x + 2的图象具备中心对称 证明 1,由 f ′( x) = 3 x 2 + 6 x + 1对称轴x = ?1 现证 f ( x )图象关于点 C ( ?1, 3)中心对称

(11 分)

(12 分)

设 M ( x, y )是y = f ( x )图象上任意一点 , 且M ( x, y )关于 C ( ?1, 3)对称的点为 N ( x 0 , y 0 )

? x + x0 ? 2 = ?1 ? 则? ? y + y0 = 3 ? 2 ?

? x 0 = ?2 ? x 得? ? y0 = 6 ? y

3 2 Q f ( x 0 ) = x 0 + 3 x 0 + x0 + 2

= (?2 ? x) 3 + 3(?2 ? x) 2 + (?2 ? x) + 2 = ?(8 + 12 x + 6 x 2 + x 3 ) + 3(4 + 4 x + x 2 ) ? x = ? ( x 3 + 3 x 2 + x + 2) + 6 = ?y + 6 = y0 即 y 0 = f ( x0 )

故 M 关于点 C ( ?1, 3)对称的点 N ( x 0 , y 0 )也在函数 y = f ( x )图象

∴函数 y = f ( x )图象关于点 C ( ?1, 3)对称
证明 2: 设 y = f ( x )图象的对称中心 ( m, n ) 则把 y = f ( x )图象按向量 b = ( ? m,? n )平移, 得到

(14 分)

y = g ( x )图象关于原点对称 , 即 y = g ( x )是奇函数

(12 分 )

Q g ( x ) = f ( x + m) ? n

= ( x + m) 3 + 3( x + m) 2 + ( x + m) + 2 ? n = ( x 3 + 3x 2 m + 3 xm 2 + m 3 ) + 3( x 2 + 2mx + m 2 ) + x + m + 2 ? n = x 3 + (3m + 3) x 2 + (3m 2 + 6m + 1) x + m 3 + 3m 2 + m + 2 ? 2 g (x) 是奇函数的充要条件是
?3m + 3 = 0 ? 3 2 ?m + 3m + m + 2 ? n = 0 ?m = ?1 得 ? ?n = 3
(14 分)

∴ y = f ( x )的图象关于点 ( ?1, 3)中心对称
21. (I)解:依题意, 直线 l 显然不平行于 坐标轴,故 y = k ( x + 1)可化为 x = 将x =

1 y ? 1. k

1 y ? 1代入x 2 + 3 y 2 = a 2 , 消去x ,得 k 1 2 ① ………………………… 3 分 ( 2 + 3) y 2 ? y + 1 ? a 2 = 0. k k ?=
2

由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点,得

4 1 ? 4( 2 ? 3)(1 ? a 2 ) > 0, 2 k k

整理得 (

1 + 3) a 2 > 3 , 2 k

3k 2 即a > . …………………………………………………… 5 分 1 + 3k 2
(II)解:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ). 由①,得 y1 + y 2 = 因为 AC = 2CB,

2k 1 + 3k 2 ? 2k 得y1 = ?2 y 2 ,代入上式,得 y 2 = . ……………8 分 1 + 3k 2

于是,△OAB 的面积 S =

1 3 | OC | ? | y1 ? y 2 |= | y 2 | 2 2

=

3| k | 3| k | 3 < = . ………………11 分 2 2 1 + 3k 2 3|k|
2

其中,上式取等号的条件是 3k = 1, 即k = ±

3 . ……………………12 分 3

由 y2 =

? 2k 3 , 可得y 2 = ± . 2 3 1 + 3k 3 3 3 3 这两组值分别代入①,均可解出 a 2 = 5. , y2 = ? 及k = ? , y2 = 3 3 3 3

将k =

所以,△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是 x 2 + 3 y 2 = 5. ………………14 分



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