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课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理的应用



课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理的应用

1.在同一平面内中,在 A 处测得的 B 点的仰角是 50° ,且到 A 的距离为 2,C 点的俯 角为 70° ,且到 A 的距离为 3,则 B、C 间的距离为( A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 )

2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高

度,某 人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到 达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的高度是( A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m 3.(2012· 天津高考) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b =5c,C=2B,则 cos C=( 7 A. 25 7 B.- 25 7 C.± 25 ) 24 D. 25 )

4.(2013· 厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,其 中 a 为最大边,如果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角 A 的取值范围为( π? A.? ?0,2? π π? C.? ?6,3? π π? B.? ?4,2? π π? D.? ?3,2? )

5.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50° 方向直线航行,30 分钟 后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20° ,在 B 处观 察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B、C 两点间的距离是( A.10 2 海里 C.20 2 海里 B.10 3 海里 D.20 3 海里 )

6.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的 高度为海拔 18 km,速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯 角为 30° ,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75° ,则山顶的海 拔高度为(精确到 0.1 km)( )

A.11.4 B.6.6 C.6.5 D.5.6 7.(2012· 南通调研)“温馨花园”为了美化小区,给居民提供更 好的生活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植 草皮,已知这种草皮的价格是 120 元 /m2 ,则购买这种草皮需要 ________元.

8.(2012· 潍坊模拟)如图, 一艘船上午 9: 30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 的方向,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又 测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 的方向,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是 ________n mile/h. 9.(2013· 济南联考)江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部 在同一水平面上, 由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 60° ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距________m. 10. (2013· 沈阳模拟)如图,在△ABC 中,已知∠B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度: A、B、C 三地位于同一水平面上,在 C 处进行该仪器的垂直弹射, 观测点 A、B 两地相距 100 米,∠BAC=60° ,在 A 地听到弹射声音 2 的时间比 B 地晚 秒.在 A 地测得该仪器至最高点 H 时的仰角为 17 30° ,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速度为 340 米/秒) 12.(2012· 兰州模拟)某单位在抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之 间架设高压电线,测量人员在相距 6 km 的 C,D 两地测得∠ACD= 45° ,∠ADC=75° ,∠BDC=15° ,∠BCD=30° (如图,其中 A,B, C,D 在同一平面上),假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原 因,实际所需电线长度大约应该是 A,B 之间距离的 1.2 倍,问施工 单位至少应该准备多长的电线?

1. 某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上, 小山的高 BC 为 35 m, 在地面上有一点 A,测得 A,C 间的距离为 91 m,从 A 观测电视发射塔 CD 的视角(∠CAD)为 45° ,则这座电视发射塔的高度 CD 为________米.

2.2012 年 10 月 29 日,超级风暴“桑迪”袭击美国东部,如图, 在灾区的搜救现场, 一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处 发现一个生命迹象,然后向右转 105° ,行进 10 m 到达 C 处发现另一 生命迹象,这时它向右转 135° 后继续前行回到出发点,那么 x = ________.

3.(2012· 泉州模拟)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有 一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30° ,相距 10 海里的 C 处的乙船. (1)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; (2)设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援,其方向与 CA― →成 θ 角,求 f(x)=sin2θsin x + 3 2 cos θcos x(x∈R)的值域. 4 [答 题 栏] 1._________ 2._________ 3._________ 4._________ A级 5._________ 6._________ 7. __________ 8. __________ 9. __________ B级 1.______ 2.______





课时跟踪检测(二十四)

A级 1.选 D ∵∠BAC=120° ,AB=2,AC=3. ∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos ∠BAC =4+9-2×2×3×cos 120° =19. ∴BC= 19. 2.选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60° ,AC=h,AB= 100,BC= 3h, 根据余弦定理得, ( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos 60° , 即 h2+50h-5 000=0, 即(h-50)(h +100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 3. 选A sin C 由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B, 由正弦定理及 8b=5c 得 cos B= 2 sin B

4?2 c 4 7 = = ,所以 cos C=cos 2B=2cos2 B-1=2×? ?5? -1=25. 2b 5 4.选 D 由题意得 sin2A<sin2B+sin2C, 再由正弦定理得 a2<b2+c2,即 b2+c2-a2>0. b2+c2-a2 则 cos A= >0, 2bc π ∵0<A<π,∴0<A< . 2 π 又 a 为最大边,∴A> . 3

π π? 因此得角 A 的取值范围是? ?3,2?. 5.选 A 如图所示,由已知条件可得,∠CAB=30° ,∠ABC =105° , ∴∠BCA=45° . 1 又 AB=40× =20(海里), 2 20 BC ∴由正弦定理可得 = . sin 45° sin 30° 1 20× 2 ∴BC= =10 2(海里). 2 2 1 50 000 6.选 B ∵AB=1 000×1 000× = m, 60 3 AB 50 000 ∴BC= · sin 30° = m. sin 45° 3 2 50 000 ∴航线离山顶 h= ×sin 75° ≈11.4 km. 3 2 ∴山高为 18-11.4=6.6 km. 1 7. 解析: 三角形空地的面积 S= ×12 3×25×sin 120° =225, 故共需 225×120=27 000 2 元. 答案:27 000 8.解析:设航速为 v n mile/h, 1 在△ABS 中 AB= v,BS=8 2,∠BSA=45° , 2 1 v 2 8 2 由正弦定理得 = ,则 v=32. sin 30° sin 45° 答案:32 9.解析:如图,OM=AOtan 45° =30(m), ON=AOtan 30° = 3 ×30=10 3(m), 3

在△MON 中,由余弦定理得, MN= 900+300-2×30×10 3× 3 2

= 300=10 3(m). 答案:10 3 10.解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,

AD2+DC2-AC2 由余弦定理得 cos∠ADC= 2AD· DC = 100+36-196 1 =- ,∴∠ADC=120° , 2 2×10×6

∴∠ADB=60° . 在△ABD 中,AD=10,∠B=45° ,∠ADB=60° , AB AD 由正弦定理得 = , sin B sin ∠ADB AD· sin ∠ADB ∴AB= sin B 3 10× 2 10sin 60° = = =5 6. sin 45° 2 2 2 11.解:由题意,设 AC=x,则 BC=x- ×340=x-40, 17 在△ABC 中,由余弦定理得 BC2=BA2+CA2-2BA· CA· cos ∠BAC, 即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得 x=420. 在△ACH 中,AC=420,∠CAH=30° ,∠ACH=90° , 所以 CH=AC· tan ∠CAH=140 3. 答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 3米. 12.解:在△ACD 中,∠ACD=45° ,CD=6,∠ADC=75° , 所以∠CAD=60° . CD AD 因为 = , sin ∠CAD sin ∠ACD CD×sin ∠ACD 所以 AD= = sin ∠CAD 6× 2 2 =2 6. 3 2

在△BCD 中,∠BCD=30° ,CD=6,∠BDC=15° , 所以∠CBD=135° . CD BD 因为 = , sin ∠CBD sin ∠BCD CD×sin ∠BCD 所以 BD= = sin ∠CBD 1 6× 2 =3 2. 2 2

又因为在△ABD 中,∠BDA=∠BDC+∠ADC=90° ,

所以△ABD 是直角三角形. 所以 AB= AD2+BD2= ?2 6?2+?3 2?2= 42. 6 42 所以电线长度至少为 l=1.2×AB= (单位:km) 5 6 42 答:施工单位至少应该准备长度为 km 的电线. 5 B级 1.解析:AB= 912-352=84, 5 1+ 12 CD+35 BC 35 5 17 tan∠CAB= = = .由 =tan(45° +∠CAB)= = 得 CD=169. AB 84 12 84 5 7 1- 12 答案:169 2.解析:∵由题知,∠CBA=75° ,∠BCA=45° , ∴∠BAC=180° -75° -45° =60° , ∴ x 10 10 6 = .∴x= m. sin 45° sin 60° 3

10 6 答案: m 3 3.解:(1)连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2×20×10cos 120° =700. ∴BC=10 7,即所求距离为 10 7海里. (2)∵ sin θ sin 120° = , 20 10 7 3 . 7 4 . 7

∴sin θ=

∵θ 是锐角,∴cos θ= f(x)=sin2θsin x+ =

3 2 3 3 cos θcos x= sin x+ cos x 4 7 7

2 3 ? π? sin?x+6?, 7

2 3 2 3? ∴f(x)的值域为?- . ? 7 , 7 ?



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