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第三章函数的应用章小结



第三章 函数的应用 小结1

本章小结
一、本章基本知识扫描

1.函数与方程的紧密联系,体现在函数y=f(x) 的零点与相应方程f(x)=0的实数根的联系上.本章从 二次函数与一元二次方程之间的联系展开讨论.通过 对具体问题的分析我们还讨论了零点存在的条件:闭 区间上连续不断的函数,若端点处的函数值异号,则 在相应的开区间内函

数必有零点.注意:这里的条件 (端点处的函数值异号)仅是闭区间上连续不断的函 数在所处的区间内有零点的充分条件,端点处的函数 值不异号或者同号也可能存在零点.

2.请回顾二分法求方程近似解的一般步骤. 给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值 的步骤如下: 1.确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精 确度ε; 2.求区间(a,b)的中点c; 3.计算f(c);

4.判断: (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); (3)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). 5.判断:区间长度是否达到精确度ε? 即若|a-b|<ε,则得到零点近似值; 否则重复2——5.

3.不同函数模型能够刻画现实世界不同的变 化规律. 例如,指数函数、对数函数以及幂函数就是常 用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.请你 说说这三种函数模型的增长差异.

在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1), y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增 长速度不同,而且不在同一个‘档次’上,随着x的 增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远 远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增 长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当 x>x0时,就有logax<xn<ax.

对于函数,y=ax(0<a<1),y=logax(0<a<1)和 y=xn(n<0)在区间(0,+∞)上都是减函数,存在一个x0, 当x>x0时,xn>ax>logax(n<0,0<a<1).

4.函数模型应用一方面是利用已知函数模型 解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型,并 利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋 势进行预测.请你结合实例说明函数模型解决问题 的基本过程. 函数模型是运用数学工具对实际问题的数量 侧面所作的刻画,它的呈现形式可以是函数、方 程,也可以是计算程序乃至图表和图象等.

函数模型解决问题的基本过程即一般步骤是: (1)分析问题,作假设.为简化问题一般要对有 关陈述作假设,使问题明确,分析问题包括变量设 置、单位的选用等; (2)建立函数模型或者确定已知函数模型; (3)求解函数模型(包括画图、列表、证明、 制作软件); (4)讨论验证和修正模型.

5.函数的应用与初中学习的列方程解应用题是有差 别的. 虽然两者都是解决实际问题的数学方法,但列方程 解应用题是解经过加工提炼出来的、比较明确的问题, 给出的条件一般是充分的;而函数的应用一般直接来自 实际问题,问题的条件往往不充分,有时要收集数据来 支撑问题.函数的应用如建模问题,需要作一系列假设从 而使问题更加明确,结果需要讨论和验证,分析较为复 杂,而列方程解应用题一般不需要假设条件,且验证也 比较简单,只需求出答案.

用函数模型解决实际问题的过程中,往往 涉及复杂的数据处理,需要大量使用信息技术. 因此,在函数应用的学习中要注意充分发挥信 息技术的作用.

课堂例题
例1. 某种放射性元素的原子数N随时间t的变化 规律是N=N0e-λt,其中N0,λ是正的常数. (1)说明函数是增函数还是减函数; (2)把t表示为原子数N的函数; N0 (3)当 N ? 时,求t的值.
2

? 1? 解:由已知可得 N ? N 0 ? ? ? . ?e ?

t

因为λ是正常数,e>1,所以eλ>1, 1 即 0? ? 1,

e?

? 1? 又N0是正常数,所以 N ? N 0 ? e ? ? .是关于t的减函数. ? ?

t

( 2) N ? N 0e

? ?t

, 因 为e

? ?t

N ? ,所以 N0

N ? ?t ? ln , N0


N t ? ? ln . ? N0 1

N0 ( 3)当N ? 时, 2
N0 1 N 1 1 1 1 2 t ? ? ln ? ? ln ? ? l n ? l n 2. ? N0 ? N0 ? 2 ?

例2. 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数 量分别是1万件、1.2万件、1.3万件,为了估测以后每 个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函 数模拟该产品的月产量y与月份x的关系,模拟函数可以 选用二次函数或函数y=abx+c(其中a,b,c为常数).已 知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函 数作为模拟函数较好,并说明理由.

例3. 某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入) 为0.5万元,但每生产一台,需要增加可变成本(即另 增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500 x2 台,销售的收入函数为 R( x ) ? 5 x ? (0 ? x ? 5(单位:万 ) 2 元),其中x是产品售出的数量(单位:百台). (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大? (3)年产量是多少时,工厂才不亏本?

巩固练习
1. 点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为l的 图形运动一周,O,P两点连线的距离y与点P走过的 路程x的函数关系如图,那么点P所走的图形是 ( ) y

O

l 2

x

P
O

P O (B) P P O

(A)

O (C)

(D)

2. 列车从A地出发直达500km外的B地,途中要经 过离A地200km的C地.假设列车匀速前进,5h后从A地 到达B地,试画出列车与C地的距离(单位:km)关于 时间(单位:h)的函数图象.

3. 设计4个杯子的形状,使得在向杯中匀速 注水时,杯中水面的高度h随时间t变化的图象分 别与下列图象相符合. h h

O (1)

t

O (2)

t

h

h

O (3)

t

O (4)

t

4. 借助计算器或计算机,用二分法求函数
1 f(x)=lgx和 g( x ) ? x 交点的横坐标(精确度0.1).

5. 如图,有一块半径为2的半圆钢板,计划剪裁 成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是⊙O的直径, 上底CD的端点在圆周上,写出这个梯形周长y和腰长x 间的函数解析式,并求出它的定义域. D C

A

O

B

课后作业

课本第112页复习参考题A组第5、9题; 课本第113页复习参考题B组第1、2题

第三章 函数的应用 小结2

一、选择题(每小题只有一个正确选项) 1. 方程x-1=lgx必有一个根的区间是( A (A)(0.1,0.2) (B)(0.2,0.3) (C)(0.3,0.4) (D)(0.4,0.5) )

?1? 2. 函 数y ? ? ? 与 函 数 y ? l g x的 图 象 的 交 点 的 ? 2? 横坐标(精确度 0.1) 约 是 ( D ) ( A)1.3 ( B )1.4 (C )1.5 ( D )1.6

x

3. 如果一个立方体的体积在数值上等于V,表面面 积在数值上等于S,且V=S+1,那么这个立方体的 一个面的边长(精确度0.01)约为( C ) (A)5.01 (B)5.08 (C)6.03 (D)6.05

4. 实数a,b,c是图象连续不断的函数y=f(x)定 义域中的三个数,且满足a<b<c,f(a)·f(b)<0, f(b)·f(c)<0,则函数y=f(x)在区间(a,c)上的零点个 D 数为( ) (A)2 (B)奇数 (C)偶数 (D)至少是2

5. 假设银行1年定期的年利率为2%,某人为观看 2008年的奥运会,从2001年元旦开始在银行存款1万 元,存期1年,第二年元旦再把1万元和前一年的存款 本利和一起作为本金再存1年定期存款,以后每年元 旦都这样存款,则到2007年年底,这个人的银行存款 共有(精确到0.01万元)( B ) (A)7.14万元 (B)7.58万元 (C)7.56万元 (D)7.50万元

6. 若方程ax-x-a=0有两个解,则a的取值范 A 围是( )

( A)(1,??) ( B)(0,1) (C )(0,??) ( D)?

二、填空题 7. 函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0,+∞)上增长 2 y=x 较快的一个是____________________

8. 若方程x3-x+1=0在区间(a,b)(a,b是整数, -3 且b-a=1)上有一根,则a+b=________________

9. 某商品进货单价为30元,按40元一个销售, 能卖40个;若销售单位每涨1元,销售量减少一个, 要获得最大利润时,此商品的售价应改为每个 55 ____________ 元.

10. 已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b) (b-a=0.1)上有唯一的零点,如果用?二分法?求这 个零点(精确度0.0001)的近似值,那么将区间(a,b) 10 等分的次数至少是__________

三、解答题

11.截止到1999年年底,我国人口约13亿.如 果经过30年后,我国人口不超过18亿,那么人口 年平均增长率不应超过多少(精确到0.01)?

解:设人口年平均增长率为r,经过x年后,我国 人口数字为y亿. 1999年年底,我国人口约13亿; 经过1年(即2000年),人口数为 13+13×r=13(1+r)(亿); 经过2年(即2001年),人口数为 13(1+r)+13(1+r)×r=13(1+r)2(亿);

经过3年(即2002年),人口数为 13(1+r)2+13(1+r)2×r=13(1+r)3(亿); …… 所以,经过x年,人口数为 y=13(1+r)x(亿).

当x=30时,若y=18,则有 18=13(1+r)30. 由计算器解得r≈0.01. 所以,当人口年平均增长率超过1%时,经过 30年后,我国人口数字不超过18亿.

12. 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场 调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与 上市时间t(单位:天)的数据如下表:

时间t
种植成本Q

50
150

110
108

250
150

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函 数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系. Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最 低时的上市天数及最低种植成本.

解:(1)由提供的数据知道,描述西红柿种植 成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函 数,从而用Q=at+b, Q=a·bt,Q=a·logbt中的任意一 个进行描述时都应有a≠0,而此时上述三个函数均为 单调函数,这与表格所提供的数据不吻合.所以,只 能选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述.

所以,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变 1 2 3 225 化关系的函数为 Q ? t ? t? .
200 2 2

1 ? ? a ? 200 , 解上述方程组得 ? 3 ? ?b ? ? , 2 ? ? c ? 225 . ? 2 ?

以表格所提供的三组数据分别代如Q=at2+bt+c,得到 ?150 ? 2500a ? 50b ? c , ? a ? 110b ? c , ?108 ? 12100 ?150 ? 62500 a ? 250b ? c . ?

3 ? 2 ( 2)当t ? ? ? 150天 时 , 西 红 柿 种 植 成 最 本低为 ? 1 ? 2? ? ? ? 200?

1 3 225 2 Q? ? 150 ? ? 150? ? 100 ( 元 / 102 kg) . 200 2 2



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