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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第7课时 正弦定理和余弦定理



高考调研

高三数学(新课标版· 理)

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

第四章 三角函数

第四章

三角函数

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第7课时 正弦定理和余弦定理

第四章

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2012· 考纲下载
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角 形度量问题.

第四章

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请注意!

综合近两年的新高考试卷可以看出:三角形中的三角 函数问题已成为近几年的高考热点.不仅选择题中时有出 现,而且解答题也经常出现,故这部分知识应引起充分的 重视.

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1.正弦定理 b c a = sinB = sinC =2R sinA 其中 2R 为△ABC 外接圆直径 变式:a= 2RsinA,b=2RsinB ,c= 2RsinC . a∶b∶c= sinA ∶ sinB ∶ sinC

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2.余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA c2= a2+b2-2abcosC
a2+c2-b2 b2+c2-a2 2ac 变式:cosA= ;cosB= ; 2bc
a2+b2-c2 2ab cosC= .

b2= a2+c2-2accosB

sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA

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3.解三角形 1.已知三边 a、b、c 运用余弦定理可求三角 A、B、C. 2.已知两边 a、b 及夹角 C 运用余弦定理可求第三边 c. 3.已知两边 a、b 及一边对角 A. bsinA 先用正弦定理,求 sinB:sinB= a

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①A 为锐角时,若 a<bsinA,无解 ;若 a=bsinA,

一解;若 bsinA<a<b,两解;若 a≥b, 一解.
一解. ②A 为直角或钝角时,若 a≤b,无解 ;若 a>b,
4.已知一边 a 及两角 A,B(或 B,C)用正弦定理, 先求出一边,后求另一边.

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4.三角形常用面积公式 1 (1)S=2a·a(ha 表示 a 边上的高). h 1 1 1 abc (2)S= absinC= acsinB= bcsinA= . 2 2 2 4R 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为内切圆半径).

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1.(教材习题改编)在△ABC 中,若 a=2b· sinA,则 B 等于( ) B.45° 60° 或 D.30° 150° 或

A.30° 60° 或 C.60° 120° 或
答案 D

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π 2.(2011· 北京文)在△ABC 中,若 b=5,∠B=4,sin 1 A= ,则 a=________. 3
5 2 答案 3
解析 1 5×3 a b 5 2 根据正弦定理sin A=sin B,得 a= = 3 . 2 2

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3.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB 等于( 1 A. 4 2 C. 4
答案 B

)

3 B. 4 2 D. 3

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解析 ∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac, a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 ∴cosB= 2ac = =4. 4a2

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4.已知△ABC,a= 5,b= 15,∠A=30° ,则 c =( ) A.2 5 C.2 5或 5
答案 C

B. 5 D.均不正确

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a b bsinA 15 3 解析 = ,∴sinB= = · sin30° = . sinA sinB a 2 5 ∵b>a,∴B=60° 120° 或 . 若 B=60° ,C=90° ,∴c= a2+b2=2 5. 若 B=120° ,C=30° ,∴a=c= 5.

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5.(2011· 安徽理)已知△ABC 的一个内角为 120° ,并 且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为 ________.
答案 15 3
解析 不妨设角 A=120° c<b, a=b+4, , 则 c=b-4, b2+?b-4?2-?b+4?2 1 于是 cos 120° = =- ,解得 b=10, 2 2b?b-4? 1 所以 S=2bcsin 120° =15 3.
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题型一

利用正弦、余弦定理解斜三角形

例 1 (1)在△ABC 中,已知 a= 2,b= 3,A=45° ,求 B,C 及边 c. 【思路】 已知 a,b,A,由正弦定理可求 B,从而可求 C,c;

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【解析】 解法一

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a b 由正弦定理得 = , sinA sinB

b 3 3 2 3 ∴sinB= sinA= · sin45° = · = , a 2 2 2 2 ∵b>a,B>A=45° , ∴有两解 B=60° 120° 或 . ①当 B=60° 时,C=180° -(45° +60° )=75° , 6+ 2 a 2 c= · sinC= sin75° = . sinA sin45° 2

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②当 B=120° 时,C=180° -(45° +120° )=15° , 6- 2 a 2 c= · sinC= · sin15° = . sinA sin45° 2 解法二 由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccosA,∴c2- 6c+1=0 6+ 2 6± 2 ∴c= 2 .当 c= 2 时 a2+c2-b2 1 cosB= 2ac =-2.∴B=120° 6- 2 a2+c2-b2 1 当 c= 2 时,cosB= 2ac =2,∴B=60° .
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(2)(2011· 江苏)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c. π ①若 sin(A+ )=2cos A,求 A 的值; 6 1 ②若 cos A=3,b=3c,求 sinC 的值.

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π π 【解析】 ①由题设知 sin Acos +cos Asin =2cos 6 6 A.从而 sin A= 3cos A,所以 cosA≠0,tan A= 3.因为 π 0<A<π,所以 A= . 3 1 ②由 cos A=3,b=3c 及 a2=b2+c2-2bccos A,得 a2=b2-c2.

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π 故△ABC 是直角三角形,且 B=2.所以 sin C=cos A 1 =3.
π 1 【答案】 ①3 ②3

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(3)△ABC 的三个内角 A, C 所对的边分别为 a, B, b, b c,asin Asin B+bcos A= 2a,则a=(
2

)

A.2 3 C. 3

B.2 2 D. 2

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【解析】 由正弦定理,得 sin2Asin B+sin Bcos2 A= 2sin A,即 sin B· 2A+cos2A)=2sin A,所以 sin B= 2 (sin b sin B sin A.∴a=sin A= 2.
【答案】 D

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探究 1

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(1)在已知三角形两边及其中一边的对角,求

该三角形的其他边角的问题时, 首先必须判明是否有解, (例 b 如在△ABC 中,已知 a=1,b=2,A=60° ,则 sinB= sinA a = 3>1,问题就无解),如果有解,是一解,还是二解. (2)正、 余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系, 也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系. (3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确 定.
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思考题 1 (2012· 山东师大附中)在△ABC 中,a,b, cosB b c 分别是角 A、B、C 对边的长,且满足 =- . cosC 2a+c (1)求角 B 的值; (2)若 b= 19,a+c=5,求 a,c 的值.

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【解析】 (1)由正弦定理得 a b c sinA=sinB=sinC=2R ∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. cosB -b cosB sinB 代入cosC= 得cosC=- . 2a+c 2sinA+sinC 即 2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0. 2sinAcosB+sin(B+C)=0.

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在△ABC 中,有 A+B+C=π,即 sinA=sin(B+C). ∴2sinAcosB+sinA=0. 1 2π ∵sinA≠0,∴cosB=- ,从而 B= . 2 3 (2)由余弦定理有 b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB). 1 即 19=5 -2ac(1-2).∴ac=6.
2

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?ac=6 ? 由? ?a+c=5 ?

,得

?a=2 ? ? ?c=3 ?

?a=3 ? 或? ?c=2 ?

.

答案

?a=2 ?a=3 ? ? 2π (1)B= 3 (2)? 或? ?c=3 ?c=2 ? ?

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题型二
例2

面积问题

△ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且

b2+c2-a2+bc=0, (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3,求 S△ABC 的最大值; asin?30° -C? (3)求 的值. b-c

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【思路】 (1)由 b2+c2-a2+bc=0 的结构形式,可 联想余弦定理,求出 cosA,从而求出 A 的值. (2)由 a= 3及 b2+c2-a2+bc=0,可求出关于 b,c 的关系式,利用不等式,即可求出 bc 的最大值,进而求 出 S△ABC 的最大值. (3)由正弦定理可实现将边化为角的功能,从而达到 化简求值的目的.

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b2+c2-a2 -bc 1 【解析】 (1)∵cosA= = =- , 2bc 2bc 2 ∴A=120° . (2)由 a= 3,得 b2+c2=3-bc, 又∵b2+c2≥2bc(当且仅当 c=b 时取等号), ∴3-bc≥2bc(当且仅当 c=b 时取等号). 即当且仅当 c=b=1 时,bc 取得最大值为 1.

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1 3 ∴S△ABC=2bcsinA≤ 4 , 3 ∴S△ABC 的最大值为 4 . a b c (3)由正弦定理得, = = =2R, sinA sinB sinC asin?30° -C? 2RsinAsin?30° -C? ∴ = b-c 2RsinB-2RsinC sinAsin?30° -C? = sinB-sinC

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? 3?1 3 3 3 ? ? 2 ?2cosC- 2 sinC? 4 cosC-4sinC 1 ? ? = = = . 2 sin?60° -C?-sinC 3 3 cosC- sinC 2 2

3 1 【答案】 (1)120° (2) (3) 4 2

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探究 2 (1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的, 解题 时要根据具体题目合理运用,有时还需要交替使用. (2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理,出现一次 式,一般要考虑正弦定理. (3)在求三角形面积时,通过正、余弦定理求一个角, 两边乘积,是一常见思路.

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思考题 2 (2011· 山东理)在△ABC 中,内角 A,B,C cos A-2cos C 2c-a 的对边分别为 a,b,c.已知 = b . cos B sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B=4,b=2,求△ABC 的面积 S.

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a b c 【解析】 (1)由正弦定理, sin A=sin B=sin C=k, 设 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 b = = , ksin B sin B cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = . cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A. sin C 因此sin A=2.
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sin C (2)由 =2 得 c=2a. sin A

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1 由余弦定理 b =a +c -2accos B 及 cos B=4, b=2,
2 2 2

1 得 4=a +4a -4a ×4.解得 a=1,从而 c=2.
2 2 2

1 15 又因为 cos B= ,且 0<B<π,所以 sin B= , 4 4 1 1 15 15 因此 S=2acsin B=2×1×2× 4 = 4 .
15 【答案】 (1)2 (2) 4
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题型三

判断三角形性状

例 3 在△ABC 中,a,b,c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试判断该 三角形的形状. 【分拨】 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化 为边边关系或角角关系.

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【解析】 方法一 已知即 a2[sin(A-B)-sin(A+B)] =b2[-sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA, 由正弦定理,即 sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA, ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0, ∴sin2A=sin2B,由 0<2A,2B<2π, 得 2A=2B 或 2A=π-2B, 即△ABC 是等腰三角形或直角三角形.
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方法二 同方法一可得 2a2cosAsinB=2b2cosBsinA, 由正、余弦定理,即得 b2+c2-a2 2 a2+c2-b2 a2b =b a , 2bc 2ac ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0, ∴a=b 或 c2=a2+b2, ∴三角形为等腰三角形或直角三角形.
【答案】 三角形为等腰三角形或直角三角形
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【误区警示】

方法一:本题容易由 sin2A=sin2B

只得出 2A=2B 而漏掉 2A=π-2B. 方法二:对于 a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)若采用 约分只得出 a2=b2 而漏解.

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探究 3 三角形形状的判定方法 (1)通过正弦定 理和余 弦定理,化边为角 ( 如 a= 2RsinA,a2+b2-c2=2abcosC 等),利用三角变换得出三 角形内角之间的关系进行判断. 此时注意一些常见的三角 等式所体现的内角关系,如 sinA=sinB?A=B;sin(A- π B)=0?A=B;sin2A=sin2B?A=B 或 A+B=2等.

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a (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如 sinA= , 2R b2+c2-a2 cosA= 2bc 等,通过代数恒等变换,求出三条边之 间的关系进行判断. (3)注意无论是化边还是化角,在化简过程中出现公 因式不要约掉,否则会有漏掉一种形状的可能.

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思考题 3 (1)在△ABC 中,已知 acosA=bcosB,则 △ABC 为( )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

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cosA b 【解析】 方法 1 由 acosA=bcosB 得 = . cosB a b sinB cosA sinB 由正弦定理得 = ,所以 = , a sinA cosB sinA 即 sinAcosA=sinBcosB,故 sin2A=sin2B. 因为角 A、B 为三角形的内角,所以 2A=2B,或 2A π =π-2B,所以 A=B 或 A+B=2,即△ABC 为等腰三角 形或直角三角形,所以选 C.

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b2+c2-a2 a2+c2-b2 方法 2 将 cosA= 2bc ,cosB= 2ac 代入 b2+c2-a2 a2+c2-b2 已知条件, a· 2bc =b· 2ac .去分母, a2(b2 得 得 +c2-a2)=b2(a2+c2-b2).整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)= 0,所以 a2=b2 或 a2+b2-c2=0,即 a=b 或 a2+b2=c2, 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形,故选 C.
【答案】 C

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(2)在△ABC 中,A、B、C 是三角形的三个内角,a、 b、c 是三个内角对应的三边,已知 b2+c2=a2+bc. ①求角 A 的大小; 3 ②若 sinBsinC=4,试判断△ABC 的形状,并说明理 由.

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【解析】 ①在△ABC 中,余弦定理,可得 cosA= b2+c2-a2 1 2 2 2 2bc ,由已知,得 b +c -a =bc,∴cosA=2. π ∵0<A<π,故 A= . 3 π 2π ②∵A+B+C=π,A=3,∴C= 3 -B. 3 2π 3 由 sinBsinC=4,得 sinBsin( 3 -B)=4,

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2π 2π 3 即 sinB(sin cosB-cos sinB)= , 3 3 4 3 1 2 3 2 sinBcosB+2sin B=4, 3 1 3 sin2B+ (1-cos2B)= , 4 4 4

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3 1 π 2 sin2B-2cos2B=1,∴sin(2B-6)=1. π π 7π π π π 又∵- <2B- < ,∴2B- = ,即 B= . 6 6 6 6 2 3

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π ∴C=3,也就是△ABC 为等边三角形.
π 【答案】 ① ②等边三角形 3

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题型四
例4

解三角形的应用

设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为

a,b,c,a=2bsin A. (1)求 B 的大小; (2)求 cos A+sin C 的取值范围.

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【解析】 (1)由 a=2bsin A,根据正弦定理得 sin A 1 =2sin Bsin A,所以 sin B= , 2 π 由△ABC 为锐角三角形可得 B=6. 5π 5π (2)由(1)可知 A+C=π-B= 6 ,故 C= 6 -A. 5π 故 cos A+sin C=cos A+sin( 6 -A) π 1 3 =cos A+sin( +A)=cos A+ cos A+ sin A 6 2 2
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3 3 3 1 = cos A+ sin A= 3( cos A+ sin A) 2 2 2 2 π = 3sin(A+3), π 5π π 由△ABC 为锐角三角形可得, 0<C<2, 0< 6 -A<2, 故 π 5π π π π 解得 <A< ,又 0<A< ,所以 <A< . 3 6 2 3 2

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2π π 5π 1 π 3 故 <A+ < ,所以 <sin(A+ )< , 3 3 6 2 3 2 3 π 3 所以 2 < 3sin(A+3)<2,即 cos A+sin C 的取值范围 3 3 为( , ). 2 2

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探究 4

三角形中三角恒等变换的基本思路是根据

正余弦定理, 把目标式中的边或角转化, 借助内角和定理, 减少三角恒等变换中的角.

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思考题 4 (2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所 对的边分别为 a,b,c.已知 sinA+sinC=psinB(p∈R),且 1 2 ac= b . 4 5 (1)当 p=4,b=1 时,求 a,c 的值; (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围.

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【解析】 (1)由题设并利用正弦定理, 5 ? ?a+c=4, 得? ?ac=1, 4 ? ?a=1, ? 1 ? ?a= , 解得? 1 或? 4 ?c=4, ?c=1. ? ?

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(2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accosB= 1 2 1 2 (a+c) -2ac-2accosB=p b -2b -2b cosB,
2 2 2

3 1 3 2 即 p = + cosB,因为 0<cosB<1,得 p ∈( ,2), 2 2 2
2

6 由题设知 p>0,所以 2 <p< 2.

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1.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途 径:(1)化边为角,(2)化角为边;并常用正弦(余弦)定理实 施边、角转换. 2. 用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量 数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等.

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3.在判断三角形形状或解斜三角形中,一定要注意 解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.如: (1)A+B+C=π. (2)在三角形中大边对大角,反之亦然. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第 三边. (4)△ABC 中,A,B,C 成等差数列的充要条件是 B =60° .

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请做:课时作业(二十三)

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