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2014—2015学年度江苏省扬州市高三第一学期期中考试高三数学试题



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扬州市 2014—2015 学年度第一学期期中调研测试试题

高 三 数 学 参 考 答 案
第一部分
1. A 4. ? 2 . 1? i 5.2

7. [0, 2] 8. x ?
2 3 . ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0

2 4

6.必要不充分

7 2

9.

2 ? 3
11 .

10.3

2 3

12 .

y ? ? 3x

13 .

25

14. (0, 2e) 15(1)由已知可得

f ( x) ? cos x ? 1 ? sin x ? 2 sin( x ? ) ? 1 , 4
……4 分 令 x?

?

?
4

2 5? [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) ; ……7 分 4 4

? [2k? ?

?

, 2 k? ?

?

3? ] , 得 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 2

(2) 由 (1)

x?

?
4

? [?

? 3?
4 , 4

? ? ? , f ? x ? ? 2 sin( x ? ) ? 1 . 因 为 x ? [ ? 2 2 4
……9 分

] 所 以 ,

],
? 4

当 sin( x ? ) ? 1 时 , 即

x?

π 时 , 4
时 ,

f ( x) 取 得 最 大 值

2 ?1;
当 sin( x ? ) ? ?

……12 分

? 4

? 2 , 即 x?? 2 2
……14 分

f ( x) 取 得 最 小 值

0.
16(1)由已知, f (? x) ? ? f ( x) ,即 则

?2? x ? 1 ?2 x ? 1 ? = , 2 x ?1 ? m 2? x ?1 ? m

-7-

?1 ? 2 x 2 ? m ? 2x
……4 分 所 以

=

?

?2 x ? 1 2 x ?1 ? m



(

x

2 ?

m ?1

x ?)R ) ? ( 对? 2

恒 0











m ? 2.

……7 分 (本小问也可用特殊值代入求解,但必须在证明函数为奇函数,否则只给 3 分)

(2)由 f ( x) ? ?

1 1 ? x , 2 2 ?1

设 x2 ? x1 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 函数, ( 或 解 : f '( x) ? 数, )

2x1 ? 2x2 ? 0 ,所以 f ( x) 在 R 上是减 (1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 )

?2 x ln 2 ? 0 , 所 以 f ( x) 在 R 上 是 减 函 (2 x ? 1)2
……10 分

由 f ( x) ? f (1 ? x) ? 0 ,得 f (1 ? x) ? f ( ?x) ,所以 1 ? x ? ? x ,得 x ? ? 所以 f ( x) ? f (1 ? x) ? 0 的解集为 {x | x ? ? } . ( 解) 本 小 问 也 可 直 接 代

1 , 2

1 2

入 求 ……14 分

2 17(1) 当 k ? 0 时, y ? b ,设 A, B 两点横坐标为 x1 , x2 ,则 x1,2 ? ? 4 ? b ,

1 b2 ? 4 ? b2 S ? ? | b | ?2 4 ? b 2 ?| b | ? 4 ? b 2 ? ? 2, 2 2
……4 分 当且仅当 | b |? 值为 2 ; (2) S ?

4 ? b2 ,即 b ? ? 2 时取等号,所以 ?OAB 的面积为 S 的最大

……7 分

? 1 3 ? OA ? OB ? sin ?AOB ? 3 , 则s , 所以 ?AOB ? 或 n i ?A O B ? 3 2 2
-8-

?AOB ?

2? ,……9 分 3

当 ?AOB ? ? 时 ?OAB 为正三角形,则 O 到 y ? kx ? 3 的距离 3

d?

3 k 2 ?1

? 3 ,得 k ? ? 2 , …11 分

当 ?AOB ?

? 2? 时 O 到 y ? kx ? 3 的距离为 R ? cos ? 1 ,即 d ? 3 3

3 k 2 ?1

?1,

得 k ? ?2 2 , ……13 分 经检验, k ? ? 2 , k ? ?2 2 均符合题意,所以所求直线为

y ? ? 2x ? 3, y ? ?2 2x ? 3 . ……14 分
18(1)如图 2, △ ABF 中, AB= 20 2 , ∠ ABF=135° ,BF= t ,AF= t , 由 余 弦
2

B F

1 5


2 B ?





A

2

?

F

? 2 A
1 5

c …3 分 Bo ? ,
1 5 2 ), 2

Fs

? A1

A 3 图2

F

5E

得 t 2 ? (20 2)2 ? ( t )2 ? 2 ? 20 2 ? t ? (?
2

B

D

得 3t ? 25t ? 2500 ? 0 , (t ? 25)(3t ? 100) ? 0 , 因 (秒) , 为

t?0







t?

100 3 100 3

45。

α 图2 C

……6 分

A

H E

答:若营救人员直接从 A 处入水救人, t 的值为 秒. ……7 分

(2)如图 3,AC ? 20 ? BD ? CH , 在 Rt CDH 中,CH ?

20 20 ,CD ? , tan ? sin ?
, 得



1 20 20 20 ? t ? 5 tan ? ? sin ? ? t 7 1
-9-

t?

50 7 ? cos ? (1 ? ), 17 sin ?
设 f (? ) ?

……10 分

7 ? cos ? 1 ? 7 cos? 1 ,则 f '(? ) ? ,令 f '(? ) =0,得 cos ? ? , 2 sin ? 7 sin ? ? 1 记 ? 0 ? (0, ) ,且 cos ? 0 ? , 2 7
则 当 ? ?( 0? ? )? 0, f (? ) 是 减 函 数 ; 当 ? ? ( ?0 , ? ) 时 , , 0 )时 , f ' (

f '( ? )? 0 , f (? ) 是增函数,
所 以 当 cos ? ?

1 时 , f (? ) 有 极 小 值 即 最 小 值 为 4 3 , 从 而 t 有 最 小 值 7
……15 分

50 (1 ? 4 3) 秒, 17
答 秒. :

t?

5 0 ? 7? c o s ( ?1 ) t 的 , 1 7 ?s i n









50 (1 ? 4 3) 17

……16 分

?c 1 ? , ? ?a 3 2 2 2 19(1) 依题意 ? 得 c ? 1, a ? 3 ,则 b ? a ? c ? 8 ,所以椭圆方程为 2 ?c ? a ? 10, ? c ?
x2 y 2 ? ? 1; 9 8
……4 分

(2)连结 PG、QG,∵ G (1,0) 为椭圆的右焦点,所以 PH ? 所

1 PG ? 3PG , e


PQ PH

= ……7 分 因 为

1 PQ 1 PG 2 ? QG 2 1 1 ? ? ? 1? 2 3 PG 3 3 PG PG 2
P ?[ G ? , a ? ]c, ?a [ 所



2以 c

,

4

- 10 -

PQ 3 15 ?[ , ]; PH 6 12

……10 分

方法 2:设 P( x, y) ,

PQ ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 = ? PH 9? x
=

x 2 ? 2 x ? 8(1 ? 9? x

x2 ) 9

1 9 1? 3 (9 ? x ) 2
……7 分



x ? [?3,3] ,


PQ PH
……10 分

?[

3 15 , ] 6 12



(3)设圆 M: ( x ? m) ? ( y ? n) ? r (r ? 0) 满足条件, N ( x, y)
2 2 2

其中点 (m, n) 满足

m2 n2 ? ? 1,则 x2 ? y 2 ? 2mx ? 2ny ? m2 ? n2 ? r 2 , 9 8

NF ? ( x ? 1) 2 ? y 2 , NT ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 12 ,
要 使

NF ? 2 NT



NF 2 ? 2 NT 2
……13 分





x2 ? y 2 ? 6x ? 1 ? 0 ,
代入 x ? y ? 2mx ? 2ny ? m ? n ? r ,
2 2 2 2 2

得 2(m ? 3) x ? 2ny ? m ? n ? 1 ? r ? 0 对圆 M 上点 N ( x, y) 恒成立,
2 2 2

?m ? 3 ? 0, ?m ? 3, m2 n2 ? ? ? ? 1, 只要使 ?n ? 0, 得 ?n ? 0, 经检验 m ? 3, n ? 0 满足 9 8 ?r 2 ? m2 ? n 2 ? 1, ?r 2 ? 10, ? ?
故存在以椭圆上点 M 为圆心的圆 M,使得过圆 M 上任意一点 N 作圆 G 的切线 (切点为 T)
- 11 -







NF ? 2 NT





M









( x ? 3)2 ? y 2 ? 10 .

……16 分

(本题也可直接求出轨迹方程后再说明圆心恰好在椭圆上) 20 (1) 函 数 的 定 义 域 是

(0, ??)





a?6





6 2 x2 ? x ? 6 (2 x ? 3)( x ? 2) f ' ? x ? ? 2x ? ?1 ? ? x x x
令 去)

f '( x) ? 0

, 则

x?2

, (

x??

3 2

不 合 题 意 , 舍

……3 分

又 x ? (0, 2) 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减;

x ? (2, ??) 时 f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;
所 以 , 函 数 的 最 小 值 是

f (2) ? 2 ? 6ln 2 ;
(2) 立, 方法一: f ' ? x ? ? 2 x ? 小值点, 所 以 依 题 意

……5 分

f (1) ? 0





f (x ? )
……6 分

恒0



a 2x2 ? x ? a ?1 ? ? x ? 0 ? ,故 x ? 1 必是函数的极小值即最 x x
a ?1 a ?1

f '(1) ? 0

















1 2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) f ' ? x ? ? 2x ? ?1 ? ? , x x x
当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增; 函 数

f ( x)

的 最 小 值 是
- 12 -

f( 1 ? ) ,0 即

f ( x) ? 0 恒 成

立;
2

……10 分
2

方法二: 若a ? 0, 当 x ? (0,1) 时,x ? x ? 0 ,ln x ? 0 , 不等式 x ? a ln x ? x ? 0 不成立, 若 a ? 0 ,设 f '( x) ? 0 ,得: x ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ,或 x ? (舍去). 4 4

设t ?

1 ? 1 ? 8a , 4

若 0 ? t ? 1 ,则 f ( x ) 在 (t , ??) 上单调递增知, f (t ) ? f (1) ? 0 ,不合题意, 若 t ? 1 ,在 (0, t ) 上单调递减, ,则 f (t ) ? f (1) ? 0 ,不合题意. 即 t ? 1 ,所以 a ? 1; …10 分
2



2 方法三:不等式即为 x ? x ? a ln x ,分别作出 y ? x ? x ,和 y ? a ln x 的图象,

它们都过点 (1, 0) ,故函数 y ? x ? x ,和 y ? a ln x 在 (1, 0) 处有相同的切线,
2

可得 a ? 1 , 再证明,以下同方法 一; (3) ……11 分 证明: f ' ? x ? ? 2 x ? 由
2 1 2

……10 分

f '(

x1 ? 2 x2 )?k 3

3a a ? x +2 x2 ? 2 ? x1 +2 x2 ? ?1 , f '? 1 ? ? ?1 , ? x 3 x1 +2 x2 ? 3 ?
题 ,

x1 ? x ? x2 ? ? a ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? x ? x ? x2 ? 1 y ?y k? 1 2 ? ? 1 2? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 a ln
……13 分

- 13 -

x1 2 ? x1 +2 x2 ? x2 3a ? x +2 x2 ? 则 f '? 1 ? ? x1 +x2 ? ? ? ??k ? 3 x1 +2 x2 x1 ? x2 ? 3 ? a ln x1 x ?x 3( x ? x ) x a x ?x x2 3a ? 2 1? [ 1 2 ? ln 1 ] , ? 2 1? ? 3 x1 ? x2 x1 +2 x2 x2 3 x1 +2 x2 x1 ? x2 a ln


3 ? t ? 1? x1 ? ln t ? t ,则 t ? ? 0,1? ,设 g ? t ? ? t +2 x2
9

则: g ' ? t ? ?

? t +2 ?

2

? t ? 1?? t ? 4 ? ? 0 1 ? ?? , 2 t t ? t +2 ?

故 g ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递减. 所以: g ? t ? ? g ?1? ? 0 即

x ? x1 3( x1 ? x2 ) x a ? 0, 考虑到 a ? 0 , 故 2 ? ln 1 ? 0 , ? ? 0, x1 ? x2 , 3 x1 +2 x2 x2 x1 ? x2




f '(

x1 +2 x2 x ?x 3( x ? x ) x a )?k ? 2 1 ? [ 1 2 ? ln 1 ] ? 0 3 3 x1 ? x2 x1 +2 x2 x2
……16 分



f '(

x1 ? 2 x2 )?k . 3

- 14 -

第二部分(加试部分)
21 .由题意 A? ? ?? ,即 ? 得 ? ? 2, b ? 4 . ……10 分

?b???? ??1? ? ?1? ? ?? ? ??b ? 2 ? ?? ,解 ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ?1??3 ? ? ??1 ? ? ??1 ? ? ??? ? ??1 ? 3 ? ????

22

. ……3 分 (1) 由 题

r n ?r Tr ?1 ? Cn x (

3r n? r 1 r )r ? Cn ( ) x 2 (r ? 0,1, 2, ???, n) 2 2 x

1





1 1 1 2 1 2 Cn ( ) ? Cn ( ) 2 2







n ? 5;

……5 分

(2) Tr ?1 ? C5 ( ) x
r r

1 2

5?

3r 2

(r ? 0,1, 2,3, 4,5) , 当 r ? 0 , 2 时 , 4 为 有 理
……7 分

项, 即

1 1 5 1 5 T1 ? C50 ( )0 x5 ? x5 , T3 ? C52 ( ) 2 x 2 ? x 2 , T5 ? C54 ( ) 4 x ?1 ? 2 2 2 2 16 x
……10 分 23 .如图,以 {DA, DC, DS} 为正交基底,建立空间直角坐标系 z 则
S E



D ? xyz ,

A(2,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), S (0,0, 2), E(0,0, 2?) , ……2 分
(1)当 ? ?

1 时, E(0,0,1), AE ? (?2,0,1), SB ? (2, 2, ?2) 2

cos ? AE, SB ??

AE ? SB 15 , ?? 5 | AE | ? | SB |
A x

D

y C B

所 以 异 面 直 线 AE 与 SB 所 成 角 的 余 弦 值 为

- 15 -

15 ; …5 分 5
(2) DC ? (0, 2,0) 是平面 AED 的一个法向量, 设

n ? ( x, y, z)

是 是 平 面

AEC

的 一 个 法 向 量 ,

C ? A ( 2 ?,
则 ?

2 C , 0 E ? ) ? , ?,

( 0 ,
, 得 x?

2 , 2
y ??

)
z 取 x?? , 则 ,

? ? n ? CA ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?n ? CE ? ?2 y ? 2? z ? 0
, , 1 ) ……8 分

n ? (? ? ,

因为二面角 C ? AE ? D 的大小为 60 , 0 ? ? ? 1 , 所以 cos ? DC, n ??

DC ? n 2? 1 ? ? , 2 | DC | ? | n | 2? ? 1 ? 2 2
1 2
, 所 以



?2 ?

??
24

2 . 2
. ……2 分 证 明 (1)
k k ?1 k ? Cn ? n ? Cn ?1

……10 分





程 ……4 分 (2)①由二项分布得: EX ? 1? Cn p(1 ? p)
1 n?1 2 ? 2 ? Cn p(1 ? p)n?2 ? n n ? n ? Cn p

0 n?1 1 n ?2 n?1 n ? n ? Cn ? n ? Cn .... ? n ? Cn ?1 p(1 ? p) ?1 p(1 ? p) ?1 p 0 n?1 1 n ?2 n?1 n?1 ? np[Cn ? Cn .... ? Cn ] ?1 (1 ? p) ?1 p(1 ? p) ?1 p

? np(1 ? p ? p) n?1 ? np
- 16 -



……6 分 ②因为 k Cn ? k ? kCn ? k ? nCn?1 ,
2 k k k ?1

而 kCn?1 所

k ?1

?1 k ?1 k ?2 k ?1 ? ? k ? 1? Ck n ?1 ? Cn ?1 ? ? n ? 1? Cn ? 2 ? Cn ?1 (k ≥ 2) ,


2



k k? k? k k 2 Ck n p ? [n(n ? 1)Cn ? 2 ? nCn ?1 ] p

……8 分
?2 k ?2 ?1 k ?1 ? np ? Ck ? k 2Ckn pk ? n ? n ? 1? p 2 ? Ckn? 2p n ?1 p
k ?1 n

n

n

k ?2

k ?1

? n ? n ? 1? p2 (1 ? p)n?2 ? np(1 ? p)n?1 ? np(1 ? np)(1 ? p)n?2
……10 分

.

- 17 -



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