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扬州市 2014—2015 学年度第一学期期中调研测试试题
高 三 数 学 参 考 答 案
第一部分
1. A 4. ? 2 . 1? i 5.2 7. [0, 2] 8. x ?
2 3 . ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0
2 4
6.必要不充分
7 2
9.
2 ? 3
11 .
10.3
2 3
12 .
y ? ? 3x
13 .
25
14. (0, 2e) 15(1)由已知可得
f ( x) ? cos x ? 1 ? sin x ? 2 sin( x ? ) ? 1 , 4
……4 分 令 x?
?
?
4
2 5? [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) ; ……7 分 4 4
? [2k? ?
?
, 2 k? ?
?
3? ] , 得 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 2
(2) 由 (1)
x?
?
4
? [?
? 3?
4 , 4
? ? ? , f ? x ? ? 2 sin( x ? ) ? 1 . 因 为 x ? [ ? 2 2 4
……9 分
] 所 以 ,
],
? 4
当 sin( x ? ) ? 1 时 , 即
x?
π 时 , 4
时 ,
f ( x) 取 得 最 大 值
2 ?1;
当 sin( x ? ) ? ?
……12 分
? 4
? 2 , 即 x?? 2 2
……14 分
f ( x) 取 得 最 小 值
0.
16(1)由已知, f (? x) ? ? f ( x) ,即 则
?2? x ? 1 ?2 x ? 1 ? = , 2 x ?1 ? m 2? x ?1 ? m
-7-
?1 ? 2 x 2 ? m ? 2x
……4 分 所 以
=
?
?2 x ? 1 2 x ?1 ? m
,
(
x
2 ?
m ?1
x ?)R ) ? ( 对? 2
恒 0
成
立
,
所
以
m ? 2.
……7 分 (本小问也可用特殊值代入求解,但必须在证明函数为奇函数,否则只给 3 分)
(2)由 f ( x) ? ?
1 1 ? x , 2 2 ?1
设 x2 ? x1 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 函数, ( 或 解 : f '( x) ? 数, )
2x1 ? 2x2 ? 0 ,所以 f ( x) 在 R 上是减 (1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 )
?2 x ln 2 ? 0 , 所 以 f ( x) 在 R 上 是 减 函 (2 x ? 1)2
……10 分
由 f ( x) ? f (1 ? x) ? 0 ,得 f (1 ? x) ? f ( ?x) ,所以 1 ? x ? ? x ,得 x ? ? 所以 f ( x) ? f (1 ? x) ? 0 的解集为 {x | x ? ? } . ( 解) 本 小 问 也 可 直 接 代
1 , 2
1 2
入 求 ……14 分
2 17(1) 当 k ? 0 时, y ? b ,设 A, B 两点横坐标为 x1 , x2 ,则 x1,2 ? ? 4 ? b ,
1 b2 ? 4 ? b2 S ? ? | b | ?2 4 ? b 2 ?| b | ? 4 ? b 2 ? ? 2, 2 2
……4 分 当且仅当 | b |? 值为 2 ; (2) S ?
4 ? b2 ,即 b ? ? 2 时取等号,所以 ?OAB 的面积为 S 的最大
……7 分
? 1 3 ? OA ? OB ? sin ?AOB ? 3 , 则s , 所以 ?AOB ? 或 n i ?A O B ? 3 2 2
-8-
?AOB ?
2? ,……9 分 3
当 ?AOB ? ? 时 ?OAB 为正三角形,则 O 到 y ? kx ? 3 的距离 3
d?
3 k 2 ?1
? 3 ,得 k ? ? 2 , …11 分
当 ?AOB ?
? 2? 时 O 到 y ? kx ? 3 的距离为 R ? cos ? 1 ,即 d ? 3 3
3 k 2 ?1
?1,
得 k ? ?2 2 , ……13 分 经检验, k ? ? 2 , k ? ?2 2 均符合题意,所以所求直线为
y ? ? 2x ? 3, y ? ?2 2x ? 3 . ……14 分
18(1)如图 2, △ ABF 中, AB= 20 2 , ∠ ABF=135° ,BF= t ,AF= t , 由 余 弦
2
B F
1 5
定
2 B ?
理
,
A
2
?
F
? 2 A
1 5
c …3 分 Bo ? ,
1 5 2 ), 2
Fs
? A1
A 3 图2
F
5E
得 t 2 ? (20 2)2 ? ( t )2 ? 2 ? 20 2 ? t ? (?
2
B
D
得 3t ? 25t ? 2500 ? 0 , (t ? 25)(3t ? 100) ? 0 , 因 (秒) , 为
t?0
,
所
以
t?
100 3 100 3
45。
α 图2 C
……6 分
A
H E
答:若营救人员直接从 A 处入水救人, t 的值为 秒. ……7 分
(2)如图 3,AC ? 20 ? BD ? CH , 在 Rt CDH 中,CH ?
20 20 ,CD ? , tan ? sin ?
, 得
则
1 20 20 20 ? t ? 5 tan ? ? sin ? ? t 7 1
-9-
t?
50 7 ? cos ? (1 ? ), 17 sin ?
设 f (? ) ?
……10 分
7 ? cos ? 1 ? 7 cos? 1 ,则 f '(? ) ? ,令 f '(? ) =0,得 cos ? ? , 2 sin ? 7 sin ? ? 1 记 ? 0 ? (0, ) ,且 cos ? 0 ? , 2 7
则 当 ? ?( 0? ? )? 0, f (? ) 是 减 函 数 ; 当 ? ? ( ?0 , ? ) 时 , , 0 )时 , f ' (
f '( ? )? 0 , f (? ) 是增函数,
所 以 当 cos ? ?
1 时 , f (? ) 有 极 小 值 即 最 小 值 为 4 3 , 从 而 t 有 最 小 值 7
……15 分
50 (1 ? 4 3) 秒, 17
答 秒. :
t?
5 0 ? 7? c o s ( ?1 ) t 的 , 1 7 ?s i n
最
小
值
为
50 (1 ? 4 3) 17
……16 分
?c 1 ? , ? ?a 3 2 2 2 19(1) 依题意 ? 得 c ? 1, a ? 3 ,则 b ? a ? c ? 8 ,所以椭圆方程为 2 ?c ? a ? 10, ? c ?
x2 y 2 ? ? 1; 9 8
……4 分
(2)连结 PG、QG,∵ G (1,0) 为椭圆的右焦点,所以 PH ? 所
1 PG ? 3PG , e
以
PQ PH
= ……7 分 因 为
1 PQ 1 PG 2 ? QG 2 1 1 ? ? ? 1? 2 3 PG 3 3 PG PG 2
P ?[ G ? , a ? ]c, ?a [ 所
,
2以 c
,
4
- 10 -
PQ 3 15 ?[ , ]; PH 6 12
……10 分
方法 2:设 P( x, y) ,
PQ ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 = ? PH 9? x
=
x 2 ? 2 x ? 8(1 ? 9? x
x2 ) 9
1 9 1? 3 (9 ? x ) 2
……7 分
,
x ? [?3,3] ,
得
PQ PH
……10 分
?[
3 15 , ] 6 12
;
(3)设圆 M: ( x ? m) ? ( y ? n) ? r (r ? 0) 满足条件, N ( x, y)
2 2 2
其中点 (m, n) 满足
m2 n2 ? ? 1,则 x2 ? y 2 ? 2mx ? 2ny ? m2 ? n2 ? r 2 , 9 8
NF ? ( x ? 1) 2 ? y 2 , NT ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 12 ,
要 使
NF ? 2 NT
即
NF 2 ? 2 NT 2
……13 分
,
即
x2 ? y 2 ? 6x ? 1 ? 0 ,
代入 x ? y ? 2mx ? 2ny ? m ? n ? r ,
2 2 2 2 2
得 2(m ? 3) x ? 2ny ? m ? n ? 1 ? r ? 0 对圆 M 上点 N ( x, y) 恒成立,
2 2 2
?m ? 3 ? 0, ?m ? 3, m2 n2 ? ? ? ? 1, 只要使 ?n ? 0, 得 ?n ? 0, 经检验 m ? 3, n ? 0 满足 9 8 ?r 2 ? m2 ? n 2 ? 1, ?r 2 ? 10, ? ?
故存在以椭圆上点 M 为圆心的圆 M,使得过圆 M 上任意一点 N 作圆 G 的切线 (切点为 T)
- 11 -
都
满
足
NF ? 2 NT
,
圆
M
的
方
程
为
( x ? 3)2 ? y 2 ? 10 .
……16 分
(本题也可直接求出轨迹方程后再说明圆心恰好在椭圆上) 20 (1) 函 数 的 定 义 域 是
(0, ??)
,
当
a?6
时
,
6 2 x2 ? x ? 6 (2 x ? 3)( x ? 2) f ' ? x ? ? 2x ? ?1 ? ? x x x
令 去)
f '( x) ? 0
, 则
x?2
, (
x??
3 2
不 合 题 意 , 舍
……3 分
又 x ? (0, 2) 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减;
x ? (2, ??) 时 f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;
所 以 , 函 数 的 最 小 值 是
f (2) ? 2 ? 6ln 2 ;
(2) 立, 方法一: f ' ? x ? ? 2 x ? 小值点, 所 以 依 题 意
……5 分
f (1) ? 0
,
且
f (x ? )
……6 分
恒0
成
a 2x2 ? x ? a ?1 ? ? x ? 0 ? ,故 x ? 1 必是函数的极小值即最 x x
a ?1 a ?1
f '(1) ? 0
,
此
时
,
而
当
时
,
1 2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) f ' ? x ? ? 2x ? ?1 ? ? , x x x
当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增; 函 数
f ( x)
的 最 小 值 是
- 12 -
f( 1 ? ) ,0 即
f ( x) ? 0 恒 成
立;
2
……10 分
2
方法二: 若a ? 0, 当 x ? (0,1) 时,x ? x ? 0 ,ln x ? 0 , 不等式 x ? a ln x ? x ? 0 不成立, 若 a ? 0 ,设 f '( x) ? 0 ,得: x ?
1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ,或 x ? (舍去). 4 4
设t ?
1 ? 1 ? 8a , 4
若 0 ? t ? 1 ,则 f ( x ) 在 (t , ??) 上单调递增知, f (t ) ? f (1) ? 0 ,不合题意, 若 t ? 1 ,在 (0, t ) 上单调递减, ,则 f (t ) ? f (1) ? 0 ,不合题意. 即 t ? 1 ,所以 a ? 1; …10 分
2
…
2 方法三:不等式即为 x ? x ? a ln x ,分别作出 y ? x ? x ,和 y ? a ln x 的图象,
它们都过点 (1, 0) ,故函数 y ? x ? x ,和 y ? a ln x 在 (1, 0) 处有相同的切线,
2
可得 a ? 1 , 再证明,以下同方法 一; (3) ……11 分 证明: f ' ? x ? ? 2 x ? 由
2 1 2
……10 分
f '(
x1 ? 2 x2 )?k 3
3a a ? x +2 x2 ? 2 ? x1 +2 x2 ? ?1 , f '? 1 ? ? ?1 , ? x 3 x1 +2 x2 ? 3 ?
题 ,
x1 ? x ? x2 ? ? a ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? x ? x ? x2 ? 1 y ?y k? 1 2 ? ? 1 2? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 a ln
……13 分
- 13 -
x1 2 ? x1 +2 x2 ? x2 3a ? x +2 x2 ? 则 f '? 1 ? ? x1 +x2 ? ? ? ??k ? 3 x1 +2 x2 x1 ? x2 ? 3 ? a ln x1 x ?x 3( x ? x ) x a x ?x x2 3a ? 2 1? [ 1 2 ? ln 1 ] , ? 2 1? ? 3 x1 ? x2 x1 +2 x2 x2 3 x1 +2 x2 x1 ? x2 a ln
令
3 ? t ? 1? x1 ? ln t ? t ,则 t ? ? 0,1? ,设 g ? t ? ? t +2 x2
9
则: g ' ? t ? ?
? t +2 ?
2
? t ? 1?? t ? 4 ? ? 0 1 ? ?? , 2 t t ? t +2 ?
故 g ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递减. 所以: g ? t ? ? g ?1? ? 0 即
x ? x1 3( x1 ? x2 ) x a ? 0, 考虑到 a ? 0 , 故 2 ? ln 1 ? 0 , ? ? 0, x1 ? x2 , 3 x1 +2 x2 x2 x1 ? x2
以
所
f '(
x1 +2 x2 x ?x 3( x ? x ) x a )?k ? 2 1 ? [ 1 2 ? ln 1 ] ? 0 3 3 x1 ? x2 x1 +2 x2 x2
……16 分
即
f '(
x1 ? 2 x2 )?k . 3
- 14 -
第二部分(加试部分)
21 .由题意 A? ? ?? ,即 ? 得 ? ? 2, b ? 4 . ……10 分
?b???? ??1? ? ?1? ? ?? ? ??b ? 2 ? ?? ,解 ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ?1??3 ? ? ??1 ? ? ??1 ? ? ??? ? ??1 ? 3 ? ????
22
. ……3 分 (1) 由 题
r n ?r Tr ?1 ? Cn x (
3r n? r 1 r )r ? Cn ( ) x 2 (r ? 0,1, 2, ???, n) 2 2 x
1
意
,
1 1 1 2 1 2 Cn ( ) ? Cn ( ) 2 2
,
解
得
n ? 5;
……5 分
(2) Tr ?1 ? C5 ( ) x
r r
1 2
5?
3r 2
(r ? 0,1, 2,3, 4,5) , 当 r ? 0 , 2 时 , 4 为 有 理
……7 分
项, 即
1 1 5 1 5 T1 ? C50 ( )0 x5 ? x5 , T3 ? C52 ( ) 2 x 2 ? x 2 , T5 ? C54 ( ) 4 x ?1 ? 2 2 2 2 16 x
……10 分 23 .如图,以 {DA, DC, DS} 为正交基底,建立空间直角坐标系 z 则
S E
.
D ? xyz ,
A(2,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), S (0,0, 2), E(0,0, 2?) , ……2 分
(1)当 ? ?
1 时, E(0,0,1), AE ? (?2,0,1), SB ? (2, 2, ?2) 2
cos ? AE, SB ??
AE ? SB 15 , ?? 5 | AE | ? | SB |
A x
D
y C B
所 以 异 面 直 线 AE 与 SB 所 成 角 的 余 弦 值 为
- 15 -
15 ; …5 分 5
(2) DC ? (0, 2,0) 是平面 AED 的一个法向量, 设
n ? ( x, y, z)
是 是 平 面
AEC
的 一 个 法 向 量 ,
C ? A ( 2 ?,
则 ?
2 C , 0 E ? ) ? , ?,
( 0 ,
, 得 x?
2 , 2
y ??
)
z 取 x?? , 则 ,
? ? n ? CA ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?n ? CE ? ?2 y ? 2? z ? 0
, , 1 ) ……8 分
n ? (? ? ,
因为二面角 C ? AE ? D 的大小为 60 , 0 ? ? ? 1 , 所以 cos ? DC, n ??
DC ? n 2? 1 ? ? , 2 | DC | ? | n | 2? ? 1 ? 2 2
1 2
, 所 以
得
?2 ?
??
24
2 . 2
. ……2 分 证 明 (1)
k k ?1 k ? Cn ? n ? Cn ?1
……10 分
;
过
程 ……4 分 (2)①由二项分布得: EX ? 1? Cn p(1 ? p)
1 n?1 2 ? 2 ? Cn p(1 ? p)n?2 ? n n ? n ? Cn p
0 n?1 1 n ?2 n?1 n ? n ? Cn ? n ? Cn .... ? n ? Cn ?1 p(1 ? p) ?1 p(1 ? p) ?1 p 0 n?1 1 n ?2 n?1 n?1 ? np[Cn ? Cn .... ? Cn ] ?1 (1 ? p) ?1 p(1 ? p) ?1 p
? np(1 ? p ? p) n?1 ? np
- 16 -
;
……6 分 ②因为 k Cn ? k ? kCn ? k ? nCn?1 ,
2 k k k ?1
而 kCn?1 所
k ?1
?1 k ?1 k ?2 k ?1 ? ? k ? 1? Ck n ?1 ? Cn ?1 ? ? n ? 1? Cn ? 2 ? Cn ?1 (k ≥ 2) ,
以
2
,
k k? k? k k 2 Ck n p ? [n(n ? 1)Cn ? 2 ? nCn ?1 ] p
……8 分
?2 k ?2 ?1 k ?1 ? np ? Ck ? k 2Ckn pk ? n ? n ? 1? p 2 ? Ckn? 2p n ?1 p
k ?1 n
n
n
k ?2
k ?1
? n ? n ? 1? p2 (1 ? p)n?2 ? np(1 ? p)n?1 ? np(1 ? np)(1 ? p)n?2
……10 分
.
- 17 -