2014—2015学年度江苏省扬州市高三第一学期期中考试高三数学试题

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扬州市 2014—2015 学年度第一学期期中调研测试试题

高 三 数 学 参 考 答 案
第一部分
1． A 4． ? 2 ． 1? i 5．2 7． [0, 2] 8． x ?
2 3 ． ?x ? R ， x ? 2 x ? 3 ? 0

2 4

6．必要不充分

7 2

9.

2 ? 3
11 ．

10．3

2 3

12 ．

y ? ? 3x

13 ．

25

14． (0, 2e) 15(1)由已知可得

f ( x) ? cos x ? 1 ? sin x ? 2 sin( x ? ) ? 1 , 4
……4 分 令 x?

?

?
4

2 5? [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) ； ……7 分 4 4

? [2k? ?

?

, 2 k? ?

?

3? ] ， 得 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 2

(2) 由 (1)

x?

?
4

? [?

? 3?
4 , 4

? ? ? , f ? x ? ? 2 sin( x ? ) ? 1 ． 因 为 x ? [ ? 2 2 4
……9 分

] 所 以 ，

]，
? 4

当 sin( x ? ) ? 1 时 ， 即

x?

π 时 ， 4
时 ，

f ( x) 取 得 最 大 值

2 ?1；
当 sin( x ? ) ? ?

……12 分

? 4

? 2 ， 即 x?? 2 2
……14 分

f ( x) 取 得 最 小 值

0．
16(1)由已知， f (? x) ? ? f ( x) ，即 则

?2? x ? 1 ?2 x ? 1 ? = ， 2 x ?1 ? m 2? x ?1 ? m

-7-

?1 ? 2 x 2 ? m ? 2x
……4 分 所 以

=

?

?2 x ? 1 2 x ?1 ? m

，

(

x

2 ?

m ?1

x ?)R ) ? ( 对? 2

恒 0

成

立

，

所

以

m ? 2．

……7 分 （本小问也可用特殊值代入求解，但必须在证明函数为奇函数，否则只给 3 分）

(2)由 f ( x) ? ?

1 1 ? x ， 2 2 ?1

设 x2 ? x1 ，则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 函数， （ 或 解 ： f '( x) ? 数， ）

2x1 ? 2x2 ? 0 ，所以 f ( x) 在 R 上是减 (1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 )

?2 x ln 2 ? 0 ， 所 以 f ( x) 在 R 上 是 减 函 (2 x ? 1)2
……10 分

由 f ( x) ? f (1 ? x) ? 0 ，得 f (1 ? x) ? f ( ?x) ，所以 1 ? x ? ? x ，得 x ? ? 所以 f ( x) ? f (1 ? x) ? 0 的解集为 {x | x ? ? } ． （ 解） 本 小 问 也 可 直 接 代

1 ， 2

1 2

入 求 ……14 分

2 17(1) 当 k ? 0 时， y ? b ，设 A, B 两点横坐标为 x1 , x2 ，则 x1,2 ? ? 4 ? b ，

1 b2 ? 4 ? b2 S ? ? | b | ?2 4 ? b 2 ?| b | ? 4 ? b 2 ? ? 2， 2 2
……4 分 当且仅当 | b |? 值为 2 ； (2) S ?

4 ? b2 ，即 b ? ? 2 时取等号，所以 ?OAB 的面积为 S 的最大

……7 分

? 1 3 ? OA ? OB ? sin ?AOB ? 3 ， 则s ， 所以 ?AOB ? 或 n i ?A O B ? 3 2 2
-8-

?AOB ?

2? ，……9 分 3

当 ?AOB ? ? 时 ?OAB 为正三角形，则 O 到 y ? kx ? 3 的距离 3

d?

3 k 2 ?1

? 3 ，得 k ? ? 2 ， …11 分

当 ?AOB ?

? 2? 时 O 到 y ? kx ? 3 的距离为 R ? cos ? 1 ，即 d ? 3 3

3 k 2 ?1

?1，

得 k ? ?2 2 ， ……13 分 经检验， k ? ? 2 ， k ? ?2 2 均符合题意，所以所求直线为

y ? ? 2x ? 3, y ? ?2 2x ? 3 ． ……14 分
18(1)如图 2， △ ABF 中， AB= 20 2 ， ∠ ABF=135° ,BF= t ,AF= t ， 由 余 弦
2

B F

1 5

定
2 B ?

理

，

A

2

?

F

? 2 A
1 5

c …3 分 Bo ? ，
1 5 2 )， 2

Fs

? A1

A 3 图2

F

5E

得 t 2 ? (20 2)2 ? ( t )2 ? 2 ? 20 2 ? t ? (?
2

B

D

得 3t ? 25t ? 2500 ? 0 ， (t ? 25)(3t ? 100) ? 0 ， 因 （秒） ， 为

t?0

，

所

以

t?

100 3 100 3

45。

α 图2 C

……6 分

A

H E

答：若营救人员直接从 A 处入水救人， t 的值为 秒． ……7 分

(2)如图 3，AC ? 20 ? BD ? CH ， 在 Rt CDH 中，CH ?

20 20 ，CD ? ， tan ? sin ?
， 得

则

1 20 20 20 ? t ? 5 tan ? ? sin ? ? t 7 1
-9-

t?

50 7 ? cos ? (1 ? )， 17 sin ?
设 f (? ) ?

……10 分

7 ? cos ? 1 ? 7 cos? 1 ，则 f '(? ) ? ，令 f '(? ) =0，得 cos ? ? ， 2 sin ? 7 sin ? ? 1 记 ? 0 ? (0, ) ，且 cos ? 0 ? ， 2 7
则 当 ? ?( 0? ? )? 0， f (? ) 是 减 函 数 ； 当 ? ? ( ?0 , ? ) 时 ， , 0 )时 ， f ' (

f '( ? )? 0 ， f (? ) 是增函数，
所 以 当 cos ? ?

1 时 ， f (? ) 有 极 小 值 即 最 小 值 为 4 3 ， 从 而 t 有 最 小 值 7
……15 分

50 (1 ? 4 3) 秒， 17
答 秒． ：

t?

5 0 ? 7? c o s ( ?1 ) t 的 ， 1 7 ?s i n

最

小

值

为

50 (1 ? 4 3) 17

……16 分

?c 1 ? , ? ?a 3 2 2 2 19(1) 依题意 ? 得 c ? 1, a ? 3 ，则 b ? a ? c ? 8 ，所以椭圆方程为 2 ?c ? a ? 10, ? c ?
x2 y 2 ? ? 1； 9 8
……4 分

(2)连结 PG、QG，∵ G (1,0) 为椭圆的右焦点，所以 PH ? 所

1 PG ? 3PG ， e
以

PQ PH

= ……7 分 因 为

1 PQ 1 PG 2 ? QG 2 1 1 ? ? ? 1? 2 3 PG 3 3 PG PG 2
P ?[ G ? , a ? ]c， ?a [ 所

，

2以 c

,

4

- 10 -

PQ 3 15 ?[ , ]； PH 6 12

……10 分

方法 2：设 P( x, y) ，

PQ ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 = ? PH 9? x
=

x 2 ? 2 x ? 8(1 ? 9? x

x2 ) 9

1 9 1? 3 (9 ? x ) 2
……7 分

，

x ? [?3,3] ，
得

PQ PH
……10 分

?[

3 15 , ] 6 12

；

(3)设圆 M： ( x ? m) ? ( y ? n) ? r (r ? 0) 满足条件， N ( x, y)
2 2 2

其中点 (m, n) 满足

m2 n2 ? ? 1，则 x2 ? y 2 ? 2mx ? 2ny ? m2 ? n2 ? r 2 ， 9 8

NF ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ， NT ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 12 ，
要 使

NF ? 2 NT

即

NF 2 ? 2 NT 2
……13 分

，

即

x2 ? y 2 ? 6x ? 1 ? 0 ，
代入 x ? y ? 2mx ? 2ny ? m ? n ? r ，
2 2 2 2 2

得 2(m ? 3) x ? 2ny ? m ? n ? 1 ? r ? 0 对圆 M 上点 N ( x, y) 恒成立，
2 2 2

?m ? 3 ? 0, ?m ? 3, m2 n2 ? ? ? ? 1， 只要使 ?n ? 0, 得 ?n ? 0, 经检验 m ? 3, n ? 0 满足 9 8 ?r 2 ? m2 ? n 2 ? 1, ?r 2 ? 10, ? ?
故存在以椭圆上点 M 为圆心的圆 M，使得过圆 M 上任意一点 N 作圆 G 的切线 （切点为 T）
- 11 -

都

满

足

NF ? 2 NT

，

圆

M

的

方

程

为

( x ? 3)2 ? y 2 ? 10 ．

……16 分

（本题也可直接求出轨迹方程后再说明圆心恰好在椭圆上） 20 (1) 函 数 的 定 义 域 是

(0, ??)

，

当

a?6

时

，

6 2 x2 ? x ? 6 (2 x ? 3)( x ? 2) f ' ? x ? ? 2x ? ?1 ? ? x x x
令 去）

f '( x) ? 0

， 则

x?2

， （

x??

3 2

不 合 题 意 ， 舍

……3 分

又 x ? (0, 2) 时 f '( x) ? 0 ， f ( x ) 单调递减；

x ? (2, ??) 时 f '( x) ? 0 ， f ( x) 单调递增；
所 以 ， 函 数 的 最 小 值 是

f (2) ? 2 ? 6ln 2 ；
(2) 立， 方法一： f ' ? x ? ? 2 x ? 小值点， 所 以 依 题 意

……5 分

f (1) ? 0

，

且

f (x ? )
……6 分

恒0

成

a 2x2 ? x ? a ?1 ? ? x ? 0 ? ，故 x ? 1 必是函数的极小值即最 x x
a ?1 a ?1

f '(1) ? 0

，

此

时

，

而

当

时

，

1 2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) f ' ? x ? ? 2x ? ?1 ? ? ， x x x
当 x ? (0,1) 时， f '( x) ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递减； 当 x ? (1, ??) 时， f '( x) ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递增； 函 数

f ( x)

的 最 小 值 是
- 12 -

f( 1 ? ) ，0 即

f ( x) ? 0 恒 成

立；
2

……10 分
2

方法二： 若a ? 0， 当 x ? (0,1) 时，x ? x ? 0 ，ln x ? 0 ， 不等式 x ? a ln x ? x ? 0 不成立， 若 a ? 0 ，设 f '( x) ? 0 ，得： x ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ，或 x ? （舍去）. 4 4

设t ?

1 ? 1 ? 8a ， 4

若 0 ? t ? 1 ，则 f ( x ) 在 (t , ??) 上单调递增知， f (t ) ? f (1) ? 0 ，不合题意， 若 t ? 1 ，在 (0, t ) 上单调递减， ，则 f (t ) ? f (1) ? 0 ，不合题意． 即 t ? 1 ，所以 a ? 1； …10 分
2

…

2 方法三：不等式即为 x ? x ? a ln x ，分别作出 y ? x ? x ，和 y ? a ln x 的图象，

它们都过点 (1, 0) ，故函数 y ? x ? x ，和 y ? a ln x 在 (1, 0) 处有相同的切线，
2

可得 a ? 1 ， 再证明，以下同方法 一； (3) ……11 分 证明： f ' ? x ? ? 2 x ? 由
2 1 2

……10 分

f '(

x1 ? 2 x2 )?k 3

3a a ? x +2 x2 ? 2 ? x1 +2 x2 ? ?1 ， f '? 1 ? ? ?1 ， ? x 3 x1 +2 x2 ? 3 ?
题 ，

x1 ? x ? x2 ? ? a ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? x ? x ? x2 ? 1 y ?y k? 1 2 ? ? 1 2? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 a ln
……13 分

- 13 -

x1 2 ? x1 +2 x2 ? x2 3a ? x +2 x2 ? 则 f '? 1 ? ? x1 +x2 ? ? ? ??k ? 3 x1 +2 x2 x1 ? x2 ? 3 ? a ln x1 x ?x 3( x ? x ) x a x ?x x2 3a ? 2 1? [ 1 2 ? ln 1 ] ， ? 2 1? ? 3 x1 ? x2 x1 +2 x2 x2 3 x1 +2 x2 x1 ? x2 a ln
令

3 ? t ? 1? x1 ? ln t ? t ，则 t ? ? 0,1? ，设 g ? t ? ? t +2 x2
9

则： g ' ? t ? ?

? t +2 ?

2

? t ? 1?? t ? 4 ? ? 0 1 ? ?? ， 2 t t ? t +2 ?

故 g ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递减. 所以： g ? t ? ? g ?1? ? 0 即

x ? x1 3( x1 ? x2 ) x a ? 0， 考虑到 a ? 0 ， 故 2 ? ln 1 ? 0 ， ? ? 0， x1 ? x2 ， 3 x1 +2 x2 x2 x1 ? x2
以

所

f '(

x1 +2 x2 x ?x 3( x ? x ) x a )?k ? 2 1 ? [ 1 2 ? ln 1 ] ? 0 3 3 x1 ? x2 x1 +2 x2 x2
……16 分

即

f '(

x1 ? 2 x2 )?k ． 3

- 14 -

第二部分（加试部分）
21 ．由题意 A? ? ?? ，即 ? 得 ? ? 2, b ? 4 ． ……10 分

?b???? ??1? ? ?1? ? ?? ? ??b ? 2 ? ?? ，解 ? ? ? ? ? ? ? ，所以 ? ? ? ? ?1??3 ? ? ??1 ? ? ??1 ? ? ??? ? ??1 ? 3 ? ????

22

． ……3 分 (1) 由 题

r n ?r Tr ?1 ? Cn x (

3r n? r 1 r )r ? Cn ( ) x 2 (r ? 0,1, 2, ???, n) 2 2 x

1

意

，

1 1 1 2 1 2 Cn ( ) ? Cn ( ) 2 2

，

解

得

n ? 5；

……5 分

(2) Tr ?1 ? C5 ( ) x
r r

1 2

5?

3r 2

(r ? 0,1, 2,3, 4,5) ， 当 r ? 0 , 2 时 , 4 为 有 理
……7 分

项， 即

1 1 5 1 5 T1 ? C50 ( )0 x5 ? x5 , T3 ? C52 ( ) 2 x 2 ? x 2 , T5 ? C54 ( ) 4 x ?1 ? 2 2 2 2 16 x
……10 分 23 ．如图，以 {DA, DC, DS} 为正交基底，建立空间直角坐标系 z 则
S E

．

D ? xyz ，

A(2,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), S (0,0, 2), E(0,0, 2?) ， ……2 分
(1)当 ? ?

1 时， E(0,0,1), AE ? (?2,0,1), SB ? (2, 2, ?2) 2

cos ? AE, SB ??

AE ? SB 15 ， ?? 5 | AE | ? | SB |
A x

D

y C B

所 以 异 面 直 线 AE 与 SB 所 成 角 的 余 弦 值 为

- 15 -

15 ； …5 分 5
(2) DC ? (0, 2,0) 是平面 AED 的一个法向量， 设

n ? ( x, y, z)

是 是 平 面

AEC

的 一 个 法 向 量 ，

C ? A ( 2 ?,
则 ?

2 C , 0 E ? ) ? , ?，

( 0 ,
， 得 x?

2 , 2
y ??

)
z 取 x?? ， 则 ，

? ? n ? CA ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?n ? CE ? ?2 y ? 2? z ? 0
， , 1 ) ……8 分

n ? (? ? ,

因为二面角 C ? AE ? D 的大小为 60 ， 0 ? ? ? 1 ， 所以 cos ? DC, n ??

DC ? n 2? 1 ? ? ， 2 | DC | ? | n | 2? ? 1 ? 2 2
1 2
， 所 以

得

?2 ?

??
24

2 ． 2
． ……2 分 证 明 (1)
k k ?1 k ? Cn ? n ? Cn ?1

……10 分

；

过

程 ……4 分 (2)①由二项分布得： EX ? 1? Cn p(1 ? p)
1 n?1 2 ? 2 ? Cn p(1 ? p)n?2 ? n n ? n ? Cn p

0 n?1 1 n ?2 n?1 n ? n ? Cn ? n ? Cn .... ? n ? Cn ?1 p(1 ? p) ?1 p(1 ? p) ?1 p 0 n?1 1 n ?2 n?1 n?1 ? np[Cn ? Cn .... ? Cn ] ?1 (1 ? p) ?1 p(1 ? p) ?1 p

? np(1 ? p ? p) n?1 ? np
- 16 -

；

……6 分 ②因为 k Cn ? k ? kCn ? k ? nCn?1 ，
2 k k k ?1

而 kCn?1 所

k ?1

?1 k ?1 k ?2 k ?1 ? ? k ? 1? Ck n ?1 ? Cn ?1 ? ? n ? 1? Cn ? 2 ? Cn ?1 (k ≥ 2) ，

以
2

，

k k? k? k k 2 Ck n p ? [n(n ? 1)Cn ? 2 ? nCn ?1 ] p

……8 分
?2 k ?2 ?1 k ?1 ? np ? Ck ? k 2Ckn pk ? n ? n ? 1? p 2 ? Ckn? 2p n ?1 p
k ?1 n

n

n

k ?2

k ?1

? n ? n ? 1? p2 (1 ? p)n?2 ? np(1 ? p)n?1 ? np(1 ? np)(1 ? p)n?2
……10 分

.

- 17 -