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高中数学必修一基本初等函数知识点与典型例题总结



指数函数
a>1 1、定义域 2、值域 .

y ? ax

(a > 0,a ? 1)
0<a<1

R.

R+

3、图象

y
1

y
1

o

r />
x

o

x

指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质:

a >1
图 象 y=1

y
(0,1)

0< a <1

y
(0,1)

y=1

o x o x 1.定义域: (??, ??) 性 2. 值域: (0, ??) 3.过点 (0,1) ,即x= 0 时,y= 1 质 4.在R上是 增函数 在R上是 减 函数

4.有理数指数幂的运算性质: (a>0, b>0, r, s?Q )

(1) a a ? a
r s
r s

r?s
rs

;
r

(2) (a ) ? a ;

(3) (ab) ? a b .
r r

6.第一象限中,指数函数底数与图象的关系
y ? bx y ? ax

y

y ? cx y ? dx

o

x=1

x

0? b ? a ?1? d ? c
图象从下到上,底数逐渐变大.

变式训练
【3】说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的图 象的关系,并画出它们的示意图.

(4) y ? 2 与 y ? 2
x

| x|

y

o

x

由 y=f(x) 的图象作 y=f(|x|) 的图象:保留y=f(x)中y 轴右侧部分,再加上这部分关于y轴对称的图形.

题 型 二 指数函数的图象及应用 x xa 【例 2】(1)函数 y= (0<a<1)图象的大致形状是 ( |x|

)

(2)若函数 y=ax+b-1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第 二、 三、 四象限,则 a, b 的取值范围是__________________.
x

(3)方程 2 =2-x 的解的个数是________.

题 型三

指数函数的性质及应用

【例3】设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1, 1]上 的最大值为14,求a的值.

1. 对数的概念 (1)对数的定义 如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底 x=logaN 其中____ a 叫做对数的底 N的对数, 记作_________, N 叫做真数. 数 ,____ (2) 几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a>0且a≠1) 10 底数为____ 底数为____ e 记法 loga N _______ lg N ______ ln N ______

2. 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①负数和零没有对数; ② logaa = 1; ③ loga1 = 0. (2) 积、商、幂的对数运算法则: ( a > 0,且 a ? 1,M > 0, N > 0) ① loga ( M ? N ) ? loga M ? log a N ; ② loga M ? loga M ? loga N ; N ③ loga M n ? nloga M (n ? R);
④ log a n M ? 1 log a M . n

2. 对数的性质与运算法则 (3)对数的重要公式 1) 对数的换底公式
log b log b ? (a, c ? (0,1) ? (1, ??), b ? 0) log a
c a c

2) 对数恒等式

a

loga N

? N (a ? 0且a ? 1,N ? 0)

3) 四个重要推论
lg b ln b n ? ; ② logam N ? n loga N ; m lg a ln a ③ loga b ? 1 ; ④ loga b ? logb c ? loga c. logb a ① log a b ?

3. 对数函数图象与性质
函 数

y = logax ( a>0 且 a≠1 )





定义域 值 域

单调性
过定点 趋 势

(0, +∞) R 增函数 (1,0)
底数越大,图象越靠近 x 轴

(0, +∞) R 减函数 (1,0)
底数越小,图象越靠近 x 轴

取值范围

0<x<1时, y<0 x>1时, y>0

0<x<1时, y>0 x>1时, y<0

4. 反函数 y=logax 互为反 指数函数y=ax与对数函数_________ 函数,它们的图象关于直线_________ y=x 对称.

5. 第一象限中,对数函数底数与图象的关系

y
y=1

o

x

图象从左 到右,底数逐渐 变大.

3个. 例4.方程 | x ? 2 |?| log 2 x | 的解有__
y

图象应用问题

y

o o
1 2 x

x

【1】方程 lg 0.5 ( x ? 1) ? x 2 ? 2 的解有__ 2 个.
【2】函数 y ? loga ( x ? 2) ? 1(a ? 0, 且a ? 1) 的 ( ?1,1) 图象恒过点_______.

练一练

练一练 2 个. 个数是_______
【3】已知0<a<1,方程a |x| = |log a x|的实根

y
1

o

x

【点评】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数时, 我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x)的图 像的交点的个数.

题 型二

对数函数的图象与性质

【例 2】作出函数 y=log2|x+1|的图象,由图象指出函数的 单调区间, 并说明它的图象可由函数 y=log2x 的图象经过怎 样的变换而得到.
作出函数y=log2x的图象,将其关于y轴对 称得到函数y=log2|x|的图象,再将图象 向左平移1个单位长度就得到函数 y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,

函数 y=log2|x+1|的递减区间为(-∞, -1), 递增区间为(-1,+∞). 探究提高

作一些复杂函数的图象 ,首先应分析它可以从哪一个基 本函数的图象变换过来 .一般是先作出基本函数的图象 , 通 过平移、对称、翻折等方法,得出所求函数的图象.

思想与方法
数形结合思想在对数函数中的应用

(14分)已知函数f(x)=loga(ax-1) (a>0且a≠1). 求证:(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧; (2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0. x x-1>0,得 ax x>1, 证明 : (1) 由 a x x x x>1, 证明 : (1) 由 a - 1>0 ,得 a x x x x 证明 : (1) 由 a - 1>0 ,得 a >1 , 证明 : (1) 由 a - 1>0 ,得 a >1 , 证明:(1)由 a -1>0,得 a >1, ∴ 当 a >1 时 ,, x >0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, + ∞ ), ∴ 当 a >1 时 x >0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, + ∞ ), ∴ 当 a >1 时 , x >0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, + ∞ ), ∴ 当 a >1 时 , x >0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, + ∞ ), ∴当 a>1 时, x>0,即函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 此时函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的右侧; 此时函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的右侧; 此时函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的右侧; 此时函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的右侧; 此时函数 f(x)的图象在 y 轴的右侧; 当 0< a <1 时 ,,x <0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 ( - ∞ ,0), 当 0< a <1 时 x <0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 ( - ∞ ,0), 当 0< a <1 时 , x <0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 ( - ∞ ,0), 当 0< a <1 时 , x <0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 ( - ∞ ,0), 当 0<a<1 时,x<0,即函数 f(x)的定义域为(-∞,0), 此时函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的左侧. 此时函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的左侧. 此时函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的左侧. 此时函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的左侧. 此时函数 f(x)的图象总在 y 轴的左侧. ∴ 函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的一侧. ∴ 函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的一侧. ∴ 函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的一侧. ∴ 函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的一侧. ∴函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧.

[1 分 ] [1 分 ] [1 分 ] [1 分 ] [1 分] [3 分 ] [3 分 ] [3 分 ] [3 分 ] [3 分] [5 分 ] [5 分 ] [5 分 ] [5 分 ] [5 分] [6 分 ] [6 分 ] [6 分 ] [6 分 ] [6 分]

(2)设 A(x1, y1), B(x2, y2)是函数 f(x)图象上的任意两点, 且 x1<x2, y1 - y2 则直线 AB 的斜率 k= . [7 分] x1-x2 x1 x1 x2 a y1 ? y2 ? log a (a ? 1) ? log a (a ? 1) ? log a x2 ? 1 , [8分] a ?1
x x 1 2 x x x1 x2 1 2 ? 1. x x ? 0 ? a ? 1 ? a 1 ? 0 ? a 1 ? 1 ? a 22 ? 1. x x 1 x1 1 ?1 x a 1 1 a ?1 ? 0 ? ? 1 ∴ , ∴ y -y2 <0. 1 x 1 1-y2 2<0. 1 ∴ 0 ? ax , ∴ y 2 x2 1 2 2 ?1 x2 2 a ?1

x 1 x 1 x1 1 x >1 当 a 时,由 (1) 知 0< x < x , ? 1 ? a 1 1 2 1 当 a >1 时,由 (1) 知 0< x < x , 1 2 1 2 当 a>1 时,由(1)知 0<x1<x2, ?1 ? a

x

x 2 x 2 x2 2, x ? a 2 2 ?a ,

[9 分 ] 又 - <0 [11 分 1 2 又 x1 -x x2 <0, ,∴ ∴k k>0. >0. [9 分 分 ]] 1- 2<0 又x x x , ∴ k >0. [9 ] 1 2 x x x x 1 2 x x 1 2 x x2 1 1 2 x x a 当 0< <1 时,由 (1) 知 x < x <0 , ∴ a ? a x x 1 2 1 2 1 2 ? 1, a<1 时,由(1)知 x1 2 1 2 当 0<a < x <0 , ∴ a ? a ? 1, 1 2 x x 1 2 x x x1 x2 1 2 ? 1 >0. a ? 1 ? a x x ∴ [10 分 ] 1 2 1 2 ∴ >0. [10 分 ] ∴ a ? 1 ? a ? 1 >0. [10 分 [13 ]

a ? 1 ? 1 ,∴y -y <0. 又 x -x <0,∴k>0. ∴ 1-y2 2<0. 又 x1 1-x2 2<0,∴k>0. ∴ x , ∴ y x2 1 2
x1 x 1

a ?1

∴函数 函数 f (x x) 0. [12 [14 分 分] ] ∴ f( )图象上任意两点连线的斜率都大于 图象上任意两点连线的斜率都大于 0.
批阅笔记

说到数形结合思想,我们更多的会想到以 “形”助“数”来解决问题.事实上,本题是以 “数”来说明“形”的问题,同样体现着数形结 合的思想.本题的易错点是: ①找不到证明问题的切入口.如第(1)问,很 多考生不知道求其定义域. ②不能正确进行分类讨论.若对数或指数的 底数中含有参数,一般要进行分类讨论.

一般地,函数 y ? x? ? x是自变量,?是常数? 叫做幂函数

y

y ? x, y ? x , y ? x ,
2 3

y?x , y?x
的图象.

1 2

?1

O

x

幂函数的性质
()所有的幂函数在( 1 0,+?)上都定义,且图象 都经过( 1,1); (2)如果? ? 0,则图象过原点,且在[0,+?)上 为增函数;

? 3? 如果?<0,则幂函数图象在区间? 0,+? ? 上
是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点 时,图象在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋向于+? 时,图象在x轴上方无限地逼近x轴;

? 4?

当? 为奇数时,幂函数为奇函数;

当? 为偶数时,幂函数为偶函数.

1 x2 ? 2 x 1、 求函数 y ? ( ) 的单调区间, 3 并指出其单调性.

设y=f(t),t=g(x),则 (1)当f(t)和g(x)的单调性相同时, f[g(x)]为增函数; (2)当f(t)和g(x)的单调性相反时, f[g(x)]为减函数;

a f ?x? ? x ? x

a .函数 f ? x ? ? x ? (a>0)的大致图像 x
y

2 a ? a
0

a ?2 a

x

利用所掌握的函数知识,探究函数 a (a>0)的性质. f ?x? ? x ?
x

1. 定义域 2.奇偶性

(-∞,0) ∪(0 ,+∞) 奇函数 f(-x)=-f(x)

a 3.确定函数 f ? x ? ? x ? (a>0)的单调区间 x

⑴. 当x∈ (0 ,+∞)时,确定某单调区间
任取x1 ,x2 ? (0, ? ?), x1 <x2 . a a 则 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? x2 ? ? ( x1 ? ) x2 x1 a ( x1 ? x2 ) ( x1 x2 ? a ) ? ( x2 ? x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) x1 x2 x1 x2

上式中 x2 ? x1 ? 0,为使上式符号确定,

对任意 x1 ? x2 , x1 x2 ? a或 x1 x2 <a都成立.

当x1 x2 >a时,由x1 ,x2是任意的,知x1 ,x2可 无限接近.而x1 ,x2在同一个区间取值, 知x1 ,x2 ? ( a,+?)时,x1 x2 >a都成立. 此时,f(x2 )>f ( x1 ). 所以x ? ( a,+?)时,f(x)是增函数. 同时可知,x ? (0, a )时,f(x)是减函数.

⑵. 当x∈ (-∞,0)时,确定某单调区间
由f ? x ? 是奇函数,图像关于原点对称. 所以f ? x ? 在( ? ?,- a )是增函数, 在(- a ,0)是减函数.

a 综上,函数 f ? x ? ? x ? (a>0)的单调 x 区间是 f x 在(- a ,0),(0, a )是减函数. ? ?
在( ? ?,- a ),( a ,+?)是增函数,

单调区间的分界点为: a的平方根

a 5.函数f ? x ? ? x ? (a>0)的值域 x

? ??, ?2

? 2 a , ?? a? ? ? ?

?

7 1.已知函数 f ? x ? ? x ? x
(1).x ? ?1, 2? , 求f ? x ?的值域.
(2).x ? ? 2, 4? , 求f ? x ?的最小值.

(3).x ? ? ?7, ?3? , 求f ? x ?的值域.

7 解:函数f (x ) ? x ? 在 0, 7 , ? 7,0 递减 x ? 递增 在? 7 , ? ? , ?? , ? 7 ? ?
(1).在x ? ?1, 2? 是减函数 ? f (2) ? f ( x) ? f (1) 1 即 ? f ( x) ? 8 2 ?1 ? ? 值域为 ? , 8 ? ?2 ?

?

?? ??

?

(2).分析知x ? 7 ? ? 2, 4 ? , f ( x)的最小值为f ( 7)
(3).在x ? ? ?7, ?3? 是增函数 ? f (?7) ? f ( x) ? f (?3) 16 16 ? ? 即-8 ? f ( x) ? ? ? x ? ? ?7, ?3? 值域为 ? ?8, - ? 3 3? ?

? f ( x )在x ? ? 2, 4 ? 最小值为2 7

2.已知函数 f ? x ? ? 2 ,求f(x)的最小值,并 x ?4 求此时的x值.
解:原函数化为f ? x ? ?
2

x ?5
2
2

x ? 4 ?1 x ?4
2

? x ?4?
2

1 x ?4
2

1 令t ? x ? 4 ? y=t+ ,(t ? 2) 此函数在 ?1,+? ? 递增 t 1 5 ? y min ? 2 ? ? , 此时t ? 2 ? 2 ? x 2 ? 4 ? x ? 0 2 2 5 即f ? x ? ? 时, x ? 0 2

3.建筑一个容积为800米3,深8米的长方体 水池(无盖).池壁,池底造价分别为a元/米2 和2a元/ 米2.底面一边长为x米,总造价为y. 写出y与x的函数式,问底面边长x为何值时 总造价y最低,是多少? 解:长方体底面积S=100米 ,
2

100 底面另一边长为 x

池壁总面积为8 ? (2 x ?

200 2 )米 x

200 总造价y ? 100 ? 2a ? (2 x ? ) ?8? a x 100 ? 200a ? 16a ( x ? ) ( x ? 0) x
100 函数t ? ( x ? ) 在 ? 0,10? 是减函数, x 在 ?10,+? ? 是增函数 ? 在x=10时,t最小值为20 ? y min ? 520 a (元)

答:底面一边长为10米时,总造价最低,为520a元.

函数图象与变换 1.平移变换 (1)水平方向的变换: y=f(x+a)的图象可由y=f(x)的图象沿x轴向左平移(a>0)或向右平 移(a<0)|a|个单位而得到.

(2)竖直方向的变换: y=f(x)+b的图象可由y=f(x)的图象沿y轴向上平移(b>0)或向下平 移(b<0)|b|个单位而得到.

2.对称变换 (1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. (4)y=|f(x)|的图象是保留y=f(x)图象中位于x轴上方的部分及 与x轴的交点,将y=f(x)的图象中位于x轴下方的部分翻折到x 轴上方去而得到. (5)y=f(|x|)的图象是保留y=f(x)中位于y轴右边部分及与y轴的 交点,去掉y轴左边部分而利用偶函数的性质,将y轴右边部 分以y轴为对称轴翻折到y轴左边去而得到.

[例 1] 作出下列函数的图象: (1)y= 2-x ;(2)y=|x2-2x|;(3)y=x2-2|x|. x-1

2-x x-2 x-1-1 1 (1)原函数 y= =- =- =-1+ , x-1 x-1 x-1 x-1 1 因此,先作函数 y=x 的图象,再将其向右、向下各平移 1 个 2-x 单位,得函数 y= 的图象,如图所示. x-1

[例 1] (1)y=

作出下列函数的图象: 2-x ;(2)y=|x2-2x|;(3)y=x2-2|x|. x-1

(2) 先作函数 y= x 2- 2 x 的位于 x 轴上方的图象,再 作 x 轴下方图象关于 x 轴对称的图象,得函数 y = |x2-2x|的图象,如图所示.

[例 1] (1)y=

作出下列函数的图象: 2-x ;(2)y=|x2-2x|;(3)y=x2-2|x|. x-1

(3) 先作函数 y= x 2- 2 x 位于 y 轴右边的图象,再作 关于y轴对称的图象,得到函数y=x2-2|x|的图 象,如图所示.

抽象函数问题
概念 题型特点 解题思路 抓住函数中的某 些性质,通过局 部性质或图象的 局部特征,利用 常规数学思想方 法(如类比法、 赋值法添、拆项 等)。

没有具体给出函 数解析式但给出 某些函数特性或 相应条件的函数

高考题和平时的 模拟题中经常出 现。 抽象性较强; 综合性强; 灵活性强; 难度大。

一、研究函数性质“赋值” 策略 对于抽象函数,根据函数的概念和 性质,通过观察与分析,将变量赋 予特殊值,以简化函数,从而达到 转化为要解决的问题的目的。
C. ?
1 2 1 2

【例 1】若奇函数 f ( x) ( x ? R) ,满足 f (2) ? 1, f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (1) 等于( ) A.0 B. 1 D.

解:对于 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,令 x ? ?1 ,得 f (1) ? f (?1) ? f (2) 即 f (1) ? ? f (1) ? 1 ,
1 从而 2 f (1) ? 1 ,所以 f (1) ? ,选 D。 2

(1)令x=?,-2,-1,0,1,2,?等特殊值求 抽象函数的函数值; (2)令x=x2,y=x1或y= 抽象函数的单调性;
1 x1

,且x1<x2,判断

(3)令y=-x,判断抽象函数的奇偶性; (4)换x为x+T,确定抽象函数的周期;
1 x x (5)用x= 2 + 2 或 x 换为x等来解答抽象

函数的其它一些问题.

【 例 2 】 设 对 任 意 实 数 x1 、 x2 , 函 数 y ? f ( x) ( x ? R, x ? 0) 满 足

f ( x1) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) 。
( 1)求证: f (1) ? f (?1) ? 0 ; ( 2)求证: y ? f ( x) 为偶函数。

解: (1)令 x1 ? x2 ? 1 ,得 f (1) ? f (1) ? f (1?1) ? f (1) ,所以 f (1) ? 0 。 令 x1 ? x2 ? ?1 ,得 f (?1) ? f (?1) ? f (1) ? 0 ,所以 f (?1) ? 0 。 (2)令 x1 ? x2 ? x ,得 2 f ( x) ? f ( x 2 ) , 令 x1 ? x2 ? ?x ,得 2 f (?x) ? f ( x 2 ) ,从而我们有: f (? x) ? f ( x) , 所以, y ? f ( x) 为偶函数。

例3: 已知f ( x) 对一切x,y, 满足

时f ( x) ? 1 0 ? f ( x) ? 1; 求证: (1) x ? 0时,
(2) f ( x)在R上为减函数

f (0) ? 0,f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)且当x ? 0

证明: ? 对一切x,y ? R 有f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)
且f (0) ? 0 令x ? y ? 0 ,得f (0) ? 1
现设x ? 0则 ? x ? 0 那么f (? x) ? 1
令y ? ? x得
? f (? x) ?

f (0) ? f ( x) ? f ( ? x) ? 1
1 ? 1 ? 0 ? f ( x) ? 1 f ( x) 设x1,x2 ? R且x1 ? x2 则0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,

f ( x2 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即f ( x)为减函数。

二、求参数范围“穿脱”策略 加上函数符号即为“穿”,去掉函数符 号即为“脱”。对于有些抽象函数,可 根绝函数值相等或者函数的单调性,实 现对函数符号的“穿脱”,以达到简化 的目的。
都有
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (2) ? 1.

【例 3】 已知函数 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的增函数, 且满足对于任意的正实数 x 、y ,

(1)求 f (8) 的值; (2)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3.

【例 3】已知函数 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的增函数,且满足对于任意的正 实数 x 、 y ,都有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (2) ? 1.
(1)求 f (8) 的值; (2)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3.
解: (1) f (2) ? 1 ? f (4) ? 2 ? f (8) ? 3 (2) f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 ? f ( x) ? f ( x ? 2) ? f (8) ? f ( x) ? f [8( x ? 2)] 由函数 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的增函数,则 x ? 8( x ? 2) 即 x ?
16 , 7

?x ? 0 16 ( 2 , )。 x ? 2 依题设,有 ? ,? ,从而不等式的解集为 7 ?x ? 2 ? 0

三、 “模型”策略 模型化策略,就是根据题目给定的关系大胆猜想抽象函数的生成原始模型,作 出目标猜想,利用模型函数的有关性质去探索解题方法。对于选择、填空题,可用 模型函数解决;对于解答题则可以起到启迪思路并起验证作用。

知识再现:
? 1、抽象函数关系式

相应的模型函数
y=ax+b y=a(x-m)2+n y=ax(a>0且

? ? ? ? ? ?

f(x+y)=f(x)+f(y)-b f(m-x)=f(m+x) f(x+y)=f(x)f(y) f(xy)=f(x)+f(y) f(x/y)=f(x)-f(y) f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

a ?) 1 1 y=logax(a>0且 a ?)
同上

温 故 知 新

一、一次函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y)
x, y都有 例1:已知函数f ( x)对任意的实数
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)且当x ? 0时 f ( x) ? 0,f (?1) ? ?2求f ( x)在 [?2, 1] 上的值域

解:由f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)得, f ( x) ? f ( x ? y ) ? f ( y )
任取x1 , x2且x1 ? x2
则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? y) ? f ( y) ? [ f ( x2 ? y) ? f ( y)]

? f ( x1 ? y) ? f ( x2 ? y) ? f ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 则根据题意有 f ( x1 ? x2 ) ? 0

令y ? ? x, 则f (0) ?

?函数f ( x)在x ? R为增函数
f ( x) ? f (? x) 又令x ? y ? 0

得f (0) ? 0 ? f ( ? x ) ? ? f ( x ) 故,f (1) ? ? f (1) ? 2 f ( ?2) ? 2 f ( ?1) ? ?4

? f ( x)在[?2, 1]上的值域为: [?4, 2]

解法2:设x1 ? x2且x1,x2 ? R
? f ( x2 ? x1 ) ? 0
则x2 ? x1 ? 0 由条件知当, x ? 0时,f ( x) ? 0,

又? f ( x2 ) ? f [(x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)为x ? R的增函数。

已知函数f ( x)对任意x, y ? R有 例2: f ( x) ? f ( y ) ? 2 ? f ( x ? y ),当x ? 0时,f ( x) ? 2 f (3) ? 5, 求不等式f ( a 2 ? 2a ? 2) ? 3的解集。

f ( x) ? f ( x ? y ) ? f ( y ) ? 2 由f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ? 2得, 解:
任取x1 , x2且x1 ? x2 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? y) ? f ( y) ? 2 ? [ f ( x2 ? y) ? f ( y) ? 2]

? f ( x1 ? y) ? f ( x2 ? y) ? f ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 则根据题意有 f ( x1 ? x2 ) ? 0
?函数f ( x)在x ? R为增函数

又f (3) ? f (2 ? 1) ? f (2) ? f (1) ? 2 ? 3 f (1) ? 4 ? 5

? f (1) ? 3 则f (a 2 ? 2a ? 2) ? f (1)

即a 2 ? 2a ? 2 ? 1
? ?1 ? a ? 3

因此不等式 f (a 2 ? 2a ? 2) ? 3的解集为: {a | ?1 ? a ? 3}

二. 指数函数模型:f(x+y)=f(x)?f(y)
例3: 已知f ( x) 对一切x,y, 满足
时f ( x) ? 1 0 ? f ( x) ? 1; 求证: (1) x ? 0时,
(2) f ( x)在R上为减函数

f (0) ? 0,f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 且当x ? 0

证明: ? 对一切x,y ? R 有f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)
且f (0) ? 0 令x ? y ? 0 ,得f (0) ? 1
现设x ? 0则 ? x ? 0 那么f (? x) ? 1
令y ? ? x得
? f (? x) ?

f (0) ? f ( x) ? f ( ? x) ? 1
1 ? 1 ? 0 ? f ( x) ? 1 f ( x) 设x1,x2 ? R且x1 ? x2 则0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,

f ( x2 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即f ( x)为减函数。

三. 对数函数模型:f(x?y)=f(x)+f(y) 已知函数f ( x)满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y ), ( x ? 0) 例 4:
1.求证:f (1) ? f (?1) ? 0; 2.求证:f ( x) ? f (? x); 3.若f ( x)在(0,??)上是增函数,解不等式
f ( x) ? f ( x ? 1 )?0 2

解:1.令x ? y ? 1得f (1) ? 0 再令x ? y ? ?1得f (?1) ? 0
2.令y ? ?1得f ( x) ? f (? x) 3. 由f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)得 : ? f ( x) ? f ( y) ? f ( xy) 1 1 令y ? 代入上式得 : ? f ( x) ? f ( ) x x 1 1 1 1 由f ( x) ? f ( x ? ) ? 0得 : f ( x ? ) ? ? f ( x) 即f ( x ? ) ? f ( ) 2 2 2 x 因为f ( x)在(0,??)为增函数得:

x ? 0

1 ?0 2 1 1 x? ? 2 x x?

1 1 ? 15 解得: ? x ? 2 4

四、 “数形”策略 一般地讲,抽象函数的图象为示意图居多,有的示意图可能只能根据题意作出 n 个孤立的点,但通过示意图却使抽象变形象化,有利于观察、对比、减少推理、减小 计算量等好处。



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