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电动力学题库


1.半径为 R 的均匀磁化介质球,磁化强度为

,则介质球的总磁矩为

A. 答案:B

B.

C.

D. 0

2.下列函数中能描述静电场电场强度的是 A. 数) 答案: D 3.充满电容率为 的介质平行板电容器,当两极板上的电量 ( 很小),若电容器的 电容为 C,两极板间距离为 d,忽略边缘效应,两极板间的位移电流密度为: B. C. D. ( 为非零常

A. 答案:A

B.

C.

D.

4.下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度?式中的 为非零常数 A. 答案:A 5.变化磁场激发的感应电场是 A.有旋场,电场线不闭和 无旋场,电场线不闭和 答案: C 6.在非稳恒电流的电流线的起点.终点处,电荷密度 满足 B.无旋场,电场线闭和 C.有旋场,电场线闭和 D. (柱坐标) B. C. D.

A. 答案: D

B.

C.

D.

7.处于静电平衡状态下的导体,关于表面电场说法正确的是:

1

A.只有法向分量; 向分量 答案:A

B.只有切向分量 ; C.表面外无电场 ;

D.既有法向分量,又有切

8.介质中静电场满足的微分方程是

A. D. 答案:B 9.对于铁磁质成立的关系是 A. 答案:C B. C.

B.

; C.

D.

10.线性介质中,电场的能量密度可表示为

A. 答案:B

;

B.

;

C.

D.

11.已知介质中的极化强度 ;与 和

,其中 A 为常数,介质外为真空,介质中的极化电荷体密度 分别等于

垂直的表面处的极化电荷面密度

。答案: 0, A, -A =(5xy + )cos500t,空间的自由电荷体密度为 答案:

12.已知真空中的的电位移矢量

13.变化磁场激发的感应电场的旋度等于 14.介电常数为 的均匀介质球,极化强度 面极化电荷密度等于 答案 0,

。答案:

A 为常数,则球内的极化电荷密度为





2

15.一个半径为 R 的电介质球,极化强度为 为 ,介质中的电场强度等于 .

,则介质中的自由电荷体密度

答案: 22. 解: (1)由于电荷体系的电场具有球对称性,作半径为 的同心球面为高斯面,利用高斯定理



0<r< 时,

<r< 时,

r> 时, (2)介质内的极化电荷体密度

3

解: (1)由于磁场具有轴对称性,在半径为 r 的同轴圆环上,磁场 的切线方向,并与电流方向服从右手螺旋关系,应用

大小处处相等,方向沿环

当 r> 时,有

当 <r< 时,

当 r< 时,

4

( <r<

27.

5

6

图 1-41

7

8

9

图 1-43

第二章 静 电 场

1、泊松方程 适用于 A.任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; 答案: C 2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的是 A. 答案: B B. 和 C. D.

D.高频电场

3、真空中有两个静止的点电荷

,相距为 a,它们之间的相互作用能是 D.

A. B. C. 答案:A 4、线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ; 答案:B B. ; C.

D. 导体球相距为 a(a>> ),将他们

5.两个半径为 , 带电量分别是 ,且 接触后又放回原处,系统的相互作用能变为原来的

10

A. 答案: A

B.

C.

D.

6.电导率分别为 ,电容率为 势的法向微商满足的关系是 A. C. 答案:C 7、电偶极子 A. 在外电场 B. B. D.

的均匀导电介质中有稳恒电流,则在两导电介质分界面上电

中的相互作用能量是 C. D.

8、若一半径为 R 的导体球外电势为 为 。 答案: 9. 若一半径为 R 的导体球外电势为 面上的电荷密度为 . 球外电场强度为

为非零常数,球外为真空,则球面上的电荷密度

,a 为非零常数,球外为真空,则球 .

答案: , 10 、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 和 ;有导体时的边值关系是 和 。 答案: 11、设某一静电场的电势可以表示为 答案: 12.真空中静场中的导体表面电荷密度_______。 答案: 13.均匀介质内部的体极化电荷密度 答案: -(1)

;介质分界面上电势的边值关系是

,该电场的电场强度是_______。

总是等于体自由电荷密度

_____的倍。

14.电荷分布 激发的电场总能量 答案:全空间充满均匀介质 15.无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。

的适用于

情形.

11

答案: 16. 接地导体球外距球心 a 处有一点电荷 q, 导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等 于 . 答案: 17.无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案:无 18.镜象法的理论依据是_______,象电荷只能放在_______区域。 答案:唯一性定理, 求解区以外空间 19.当电荷分布关于原点对称时,体系的电偶极矩等于_______。 答案:零 20.一个内外半径分别为 R1、<, SPAN lang=EN-US>R2 的接地导体球壳,球壳内距球心 a 处有一个点 电荷,点电荷 q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。 答案: 21.一个半径为 R 的电质介球,极化强度为 P= ,电容率为 (1) 计算束缚电荷的体密度和面密度; (2) 计算自由电荷体密度; (3) 计算球内和球外的电势; (4) 求该带电介质球产生的静电场总能量。 解: (1)根据 ,

球面上的极化电荷面密度

(2)在球内自由电荷密度



的关系为

得 (3)球内的总电荷为 由于介质上极化电荷的代数和为零,上式中后两项之和等于零。

球外电势相当于将 Q 集中于球心时的电势

12

(r>R) 球内电势 ① 根据 得 ② 将②代入①式,得

= (4)求该带电介质球产生的静电场总能量:

22. 真空中静电场的电势为 解: 由静电势的方程 ,得

,求产生该电场的电荷分布

,因此电荷只能分布在 x=0 面上,设电荷面密度为 值关系

,根据边

28.在均匀外场中置入半径为

的导体球,试用分离变量法求下列两种情况的电势: ;

(1)导体球上接有电池,使球与地保持电势差 (2)导体球上带总电荷 Q。

解: (1)选导体球球心为坐标原点,E 方向为极轴 Z,建立球坐标系,并设 未放入导体前原点电势为 ,球外电势为 ,则 满足 ① = ②

13

= -E Rcos 由于电势 具有轴对称性,通解为



④ 将④代入②﹑③式比较 P 的系数,得

所以 (R 〉R ) 的第一﹑二项是均匀外电场的电势,第三项是导体接上电源后使球均匀带电而产生的球对称 电势,最后一项是导体球上的感应电荷在球外产生的点势。 (2)若使导体球带电荷 Q,则球外电势满足 ① = = -E (待定常量) Rcos ② ③ ④

同时满足要求 由于前三个关系与①中相同,故

⑤ 将⑤式代入④式中,得

解得 于是,得 31.空心导体球壳的内外半径为 势和电荷分布。 解: 选球心为原点, 令 和,即壳内外电势 和 ⑥ ,球中心置一偶极子 P,球壳上带电 Q,求空间各点电 之

, 电势等于球心电偶极子的电势与球壳内外表面上电荷的电势



14

② 电势满足的方程边界条件为 ③ ④ 有限 ⑤ ⑥ (待定) ⑦ ⑧ 由于电势具有轴对称性,并考虑 5,6 两式,所以设

将上式代入①,②两式后再利用⑦式解得

于是,得



代入⑧式可确定导体壳的电势

最后得到 ,

球壳内外表面的电荷面密度分别为

15

球外电势仅是球壳外表面上的电荷 Q 产生,这是由于球心的电偶极子及内表面的 生的电场相互抵消,其实球外电场也可直接用高斯定理求得:

在壳外产

34.半径为

的导体球外充满均匀绝缘介质 ,导体球接地,离球心为 a 处(a>

)置一点电荷

,试用分离变量法求空间各点电势,证明所得结果与镜像法结果相同。 解: (1)分离变量法:选球心为坐标原点,球心到 满足 的连线方向为 z 轴,设球外电势为 ,它

① 由于电势具有轴对称性,考虑③式,①式的解为 ④ 其中 是 到场点 P 的距离,将④代入②式,得 ⑤ 利用公式 ,将 用 展开,由于 ,故有

代入⑤式确定出系数

于是,得 ⑥ (2)镜像法 在球内球心与 的连线上放一像电荷代替球面上感应电荷在球外的电场,设 距球心为 B ,则 的电势满足①~③式,于是

16

利用边界条件②式可得



式中

代入⑦式结果与⑥式完全相同。

35.接地的空心导体球的内外半径为 和 ,在球内离球心为 a(a< )处置一点电荷 Q。用 镜像法求电势。导体球上的感应电荷有多少?分布在内表面还是外表面? 解:取球心为原点,原点与 Q 连线为 z 轴建立坐标系,并设球内电势为 ,它满足 ① ② ③ 由于电势具有轴对称性,故在 z 轴上 z=b(b>R )处放一像电荷 Q 代替球面感应电荷在球壳内 的电势,则 ④ 式中 r﹑r 分别是 Q﹑Q 到场点的距离

将④代入③,两边平方,比较系数,得

于是,球壳内电势

此解显然满足②式。

17

设导体球壳表面感应电荷总量为 q ,由于导体内 D=0,作一半径为 r(R <r< 根据高斯定理, ,所以

)的同心球面 s.

37.在接地的导体平面上有一半径为 a 的半球凸部(如图 2-37)半球的球心在导体平面上,点电 荷 Q 位于系统的对称轴上,并与平面相距为 b(b>a) ,试用电象法求空间电势。

解:如图 2.1,以球心为原点,对称轴为 Z 轴,设上半空间电势为 , 它满 足

① 为了使边界条件 1,2 满足,在导体界面下半部分空间 Z 轴放置三个像电荷: 处; 势为 ,位于 处; ,位于

,位于 z=-b 处.于是,导体上半空间界面电

38.有一点电荷 Q 位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内,它到两个平面的距离 为 a 和 b,求空间电势。 解:设 Q 位于 xOy 平面内,设 x>0 且 y>0 的直角区域为 ,其它区域电势为 0, 满足

18

为使以上边界条件全部满足,需要三个像电荷,他们是 于是 空间电势为

,位于(-a,-b,0);

.

] 46. 不带电无穷长圆柱导体,置于均匀外电场 中,轴取为 z 方向,外电场垂直于 z 轴,沿 x 方 向,圆柱半径为 a,求电势分布及导体上的电荷分布。 解:选圆柱轴线处电势为零,则柱内电势 =0,在柱坐标系中柱外电势 (1) 其中 法得 为场点的柱坐标, 方向为 x 周,如图 2.14, 是极化电荷的电势,与上题同样的方

代入(1)式得, 根据边值关系,在 r=a 处, ,即

代入(2)式,得 导体柱面上电荷密度 47. 半径为的导体球置于均匀外电场 中, 求空间的电势分布, 导体的电偶极矩及表面电荷分布, 导体的电偶极矩及表面电荷分布。 解: 一球心为坐标原点,并设 得方向为 周,建立球坐标系,则导体球的电偶极矩 P 应与 方向 一致,设导体球电势 ,球外电势

在 R=R 球面上,电势满足

19

解得 球面上电荷密度

48.(1)两等量点电荷+q 间相距为 2d,在他们中间放置一接地导体球,如图 2-48 所示,证明点 电荷不受力的条件与 q 大小无关,而只与球的半径有关,给出不受力时半径 满足的方程; (2)

设导体球半径为 ,但球不再接地,而其电势为 ,求此时导体球所带电量 Q 及这是每一个点 电荷所受的力。 解: (1)选取球心为原点,两点电荷连线为 Z 轴,求外空间电势为 , 满足的边界条 件为

为了使上述条件满足,在球内 电场就是两个点电荷及

处放置两个像电荷

,空间任意一点

共同产生的,所以 q 受的力为

由题意知,当

时,上式变为

显而易知,上式与 无关,只与

有关,进一步整理得 不受力时

满足的方程为

(2)若导体球不接地,边界条件变为 置的 只能使球的电势为零,

,设此时导体球带电量为

,由(1)知,放

所受的力为零,因此还要在球心 O 放一电荷

20

则导体球的电势

解得 此时点电荷 所受的力为

根据(2)式,前三项之和等于零,于是

49. 一导体球壳不接地也不带电,内半径为 腔内离 为 a 处有一点电荷 (

,外半径为

,内外球心



不重合,球形空

) ,壳外离

为 b 处有一点电荷

,如图 2-49,且壳内外

分别充满电容率为 力。



的介质, 球壳内外电势及 ,壳外电势为 ,它们满足边界条件 (待定)

壳外电荷所受的

解:设球壳内外电势为

先来计算球外电势 ;在 式中 处放 分别是

,在

区域 ,可使

连线上放像电荷 于是

距球心

到场点的距离,R 为球心

到场点的距离。球壳电势

球内空腔中的电势

可表示为

21

其中 其中

可视为球壳接地时的电势,由镜像法知 是 关于内球面(半径为 )的像电荷 距 为 ,于是

式中

分别是

到腔内场点的距离。 对它的矢量和。即

所受的力等于

50. 一无限长圆柱形导体,半径为 ,将圆柱导体接地,离圆柱轴线 d 处( )有一与它平 行的无限长带电直线,线电荷密度为 ,求电势分布和作用在带电直线单位长度上的力。 解: 设距离圆柱轴线为 处(此处为像电荷与原电荷垂线的中点)的电势为零,则带电直线 在空间的电势 ,则像电荷与原电荷共同产生的电势为

式中

分别为场点到线电荷λ 及象电荷

的垂直距离,下面确定

和 b.

由于电势在圆柱面上满足

(已选 处电势为零,则导体圆柱电势

),即

将上式对 求微商,得

解得 于是,任意一点电势

象电荷在周围空间的电势,电场强度为

22

于是,带电直线λ 单位长度受的力为

上式中“-”号表示力为引力 51. 一导体球半径为 a,球内有一不同心的球形的半径为 b,整个导体球的球心位于两介质交界 面上,介质的电容率分别为 和 ,在球洞内距离洞心为 c 处有一点电荷 (1)求洞中点电荷受到的作用力; (2)求导体外和洞中的电势分布。 ,导体球带电为 。

解: (1)球洞中点电荷所受的力等于球洞内表面上不均匀分布的 给它的作用力(其它电荷对它的作用力为零) ,而内表面上的感应电荷在球洞中的场可用一位 于洞外且在 连线上像电荷 代替,位于距洞心 处。于是作用在 上的静电力

为 (2)先计算球外电势,根据前面分析,设球外电势具有球对称性, ,此解在介质分 界面满足边值关系,根据唯一性定理,此解是正确的,作一与导体球同心的球面, ,应用高斯 定理

将 于是得:

代入,解得

式中 R 是场点到导体球心的距离。 导体球的电势 球洞内的电势 根据(1)中的分析 于是 式中 r 为球洞内场点到洞中心的距离, 。 为r与 连线的夹角。

23

1.线性介质中磁场的能量密度为

A. 答案:A

B.

C.

D.

2.稳恒磁场的泊松方程 A.介质分区均匀 C.各向同性线性介质 答案:D 3.引入磁场的矢势的依据是 A. 答案:D 4.电流 处于电流 ; B. ;

成立的条件是 B.任意介质 D.介质分区均匀且

C.

;

D.

产生的外磁场中, 外磁场的矢势为

,则它们的相互作用能为

A. 答案:A 5.对于一个稳恒磁场 A. C.

B.

C.

D.

,矢势

有多种选择性是因为 时只确定了其旋度而没有定义 散度;

的旋度的散度始终为零; B.在定义 的散度始终为零;

答案: B 6.磁偶极子的矢势 和标势 分别等于

A.

B.

24

C. 答案:C

D.

7 答案:、用磁标势解决静磁场问题的前提是 A.该区域没有自由电流分布 该区域每一点满足 答案:B B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域 D. 该区域每一点满足 . C.

8.已知半径为 圆柱形空间的磁矢势 为 .

(柱坐标),该区域的磁感应强度

答案: 9.稳恒磁场的能量可用矢势表示为 .

答案:

10.分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是 示 .

.在经典物理中矢势的环流



答案:

或求解区是无电流的单连通区域 ,空间矢势 的解析表达

11. 无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为 式 .

答案: 12.磁偶极子的矢势 等于 ;标势 等于 .

25

答案:

13.在量子物理中, 矢势 场物理量的 . 答案:相因子,

具有更加明确的地位,其中

是能够完全恰当地描述磁

14.磁偶极子在外磁场中受的力为 答案: 15.电流体系 , 的磁矩等于 .

,受的力矩

.

答案: 16.无界空间充满磁导率为 达式 . 均匀介质,该区域分布有电流,密度为 ,空间矢势 的解析表

答案:

26

第四章 电磁波的传播 1.电磁波波动方程 ,只有在下列那种情况下成立 A.均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 2.电磁波在金属中的穿透深度 A.电磁波频率越高,穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 波频率越高,穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案: C 3.能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征 A.有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案:A 4.绝缘介质中,平面电磁波电场与磁场的位相差为 A. B. C.0 D. 答案:C 5.下列那种波不能在矩形波导中存在 A. 答案:C 6.平面电磁波 A. B. 、 C. 、 三个矢量的方向关系是 B. D. 沿矢量 方向 的方向沿矢量 的方向 D.

C. 电磁

沿矢量 方向

C. 的方向垂直于 答案:A 7.矩形波导管尺寸为 ,若

,则最低截止频率为

A. 答案:A

B.

C.

D.

8.亥姆霍兹方程 对下列那种情况成立 A.真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波 C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波 D. 介质中的一般电磁波 答案:C 9.矩形波导管尺寸为 ,若 ,则最低截止频率为

A. B. C. 答案:A 10.色散现象是指介质的———————是频率的函数. 答案:

D.

27

11.平面电磁波能流密度

和能量密度 w 的关系为—————。

答案: 12.平面电磁波在导体中传播时,其振幅为—————。 答案: 13.电磁波只所以能够在空间传播,依靠的是—————。 答案:变化的电场和磁场相互激发 14..满足条件———————导体可看作良导体,此时其内部体电荷密度等于—————。 答案: , 0, 15.波导管尺寸为 0.7cm×0.4cm,频率为 30×109HZ 的微波在该波导中能以————波模传播。 答案: 波 表示)为———,它对时间的平均值为 16..线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度(用电场 —————。

答案: , 17.平面电磁波的磁场与电场振幅关系为—————。它们的相位————。 答案: ,相等 18.在研究导体中的电磁波传播时,引入复介电常数 ————,其中虚部是 中平面电磁波的解析表达式为————。 答案: ,传导电流, ,

————

的贡献。导体

19.矩形波导中,能够传播的电磁波的截止频率 ——————,当电磁波的频率 该波不能在其中传播。若 b>a,则最低截止频率为————,该波的模式为————。

满足———时,

答案: 20.全反射现象发生时,折射波沿 答案:平行于界面 21.自然光从介质 1(

, < , 方向传播.



)入射至介质 2(

),当入射角等于

时,反射波是完全偏振波.

答案: 22.迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是————. 答案: 24.考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为 沿 轴方向传播. (1)求合成波,证明波的振幅不是常数,而是一个波; (2)求合成波的相位传播速度和振幅传播速度. 解 电磁波沿 z 方向传播,并设初相相同,即 和 的线偏振平面波,他们都

28

= 其中 所以 用复数表示 显然合成波的振幅不是常数,而是一个波,高频波( 相速由 =常数确定 )受到了低频波( )调制。 , ; ,

群速即波包的传播速度,由等振幅面方程

=常数确定,求导,得

26.有一可见平面光波由水入射到空气,入射角为 60°.证明这时将会发生全反射,并求折射波 沿表面传播的相速度和透入空气的深度.设该波在空气的波长为 为 . 解 设入射角为 xOz 平面, 界面为 得平面。 由折射定律得, 临界角 , 水的折射率



所以当平面光波以 折射波电场为

入射时,将会发生全反射。此时折射波沿 x 方向传播,波矢量的 z 分量

所以,相速度 透入空气得深度

28.有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿 轴传播,一个波沿 方向偏振,另一个沿 y 方向 偏振,但相位比前者超前 ,求合成波的偏振. 反之,一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振? 解 偏振方向在 x 轴上的波可记为

29

在 y 轴上的波可记为 合成波为 所以合成波振幅为 ,是一个圆频率为 的沿 z 轴方向传播的右旋圆偏振波。反之,一个 的线偏振的合成。

圆偏振可以分解为两个偏振方向垂直,同振幅,同频率,相位差为 30.已知海水的 入深度. 解: 件

,试计算频率 为 50,106 和 109HZ 的三种电磁波在海水中的投 ,106 ,109 的电磁波,满足条

取电磁波以垂直于海水表面的方式入射,对于 50

故海水对上述频率的电磁波可视为良导体, (注意在高频电磁场作用下,海水的 电情形下海水的 透射深度 )

,而在静

( 1) ( 2) ( 3)

时, 时, 时, 满足的方程及边界条件。

34.写出矩形波导管内磁场 解 对于定态波,磁场为 由麦克斯韦方程组

得 ① 又由于 ② 将②式代入①中,得

30

即为矩形波导管内磁场 由 ,得

满足的方程。

③ 利用 和电场的边界条件 ,可得

对 x=0, 面, 对 x=0,b 面,

,由上式得 ,同理得

④ ⑤

④、⑤式可写成 35.有理想导体制成的矩形波导管,横截面宽为 a,高为 b,设管轴与 z 轴平行。 (1)证明波导管内不能传播单色波 (2)求 波的管壁电流和传输功率 (1)

解: (1)单色波的电场为: 该波的磁场为

(2)

37.频率为 的微波, 在 0.7cm×0.4cm 的矩形波导管中能以什么波模传播?在 0.7cm× 0.6cm 的矩形波导管中能以什么波模传播? 解: (1) 根据截至频率 ,波导为 0.7cm×0.4cm

当 时, 时, 时, 此波可以以 和



两种波模传播。

31

38.一个波导管横截面是以等腰直角三角形,直角边长为 a,管壁为理想导体,管中为真空,试 求波导管内允许传播的电磁波波型,截止频率。

解答:如图,建立直角坐标系,波导管中电场满足方程

边界条件为:

(1) (2) (3)

( 1) , (2)两式和矩形波导的边界条件相同,通解为:

(4) 其中

此解同时满足 即 同时由边界条件(3)中, 得 (5)

由(5)式得:

,再由(3)中在

得:

于是得出:

32

其中

截止频率 由

波型为

波。

得: 由上式看出,若令 ,则必须有 A=0,,于是 ,故不存在 波。 39.一对无限大的平行理想导体板,相距为 b,电磁波沿平行于板面的 z 方向传播,设波在 x 方 向是均匀的,求可能传播的波模和每种波模的截至频率。 解 在导体板之间传播的电磁波满足亥姆霍兹方程





的任意一个直角分量,由于

在 x 方向上是均匀的,所以

在 y 方向由于有金属板作为边界,是取驻波解;在 z 方向是无界空间,取行波解。 通解: 由边界条件 和 确定常数,得出

33

其中 又由 得 独立,与 令 ,得截至频率 发布时间: 【2011-04-26】 第五章 电磁波辐射 阅读:168 次 无关。

1.电磁势的达朗贝尔方程成立的规范换条件是 A. B. C. D.

答案:B 2.真空中做匀速直线运动的电荷不能产生 A.电场 B.磁场 C.电磁辐射 D.位移电流 答案:C 3.B 4.B 3.关于电磁场源激发的电磁场,以下描述不正确的是 A. 电磁作用的传递不是瞬时的,需要时间; B. 电磁场在传播时需要介质; C. 场源的变化要推迟一段时间才能传递至场点; D. 场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的. 4.一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性,其满足的条件是 A.波长与天线相比很短 B. 波长与天线相比很长 C. 波长与天线近似相等 D. 天线具有适当的形状 答案:B 5.严格的讲,电偶极辐射场的 A.磁场、电场都是横向的 B. 磁场是横向的,电场不是横向的 C. 电场是横向的, 磁场不是横向的 D. 磁场、电场都不是横向的 答案:B 6.对电偶极子辐射的能流,若设θ 为电偶极矩与场点到偶极子中心连线的夹角,则平均能流为 零的方向是 A. ; B. ; 答案:D 7.电偶极辐射场的平均功率 A.正比于场点到偶极子距离的平方 C. 与场点到偶极子距离的无关 答案:C C. D.

B. 反比于场点到偶极子距离的平方 D. 反比于场点到偶极子距离

34

8.若一电流 =40

t

,则它激发的矢势的一般表示式为

=——————。

答案: 9.变化电磁场的场量 答案: 和 , 不变, 当辐射频 与势( 、 )的关系是 =—————, =—————。

10.真空中电荷只有做—————运动时才能产生电磁辐射; 若体系电偶极矩振幅 率有由 时变为 3 ,则偶极辐射总功率由原来的 p 变为—————。 答案:加速,81P0 11.势的规范变换为
————



————



答案: , 12. 洛仑兹规范辅助条件是 ———— ;在此规范下,真空中迅变电磁场的势 ——————. 答案: 13.真空中一点电荷电量 , ,

满足的微分方程是

,它在空间激发的电磁标势为______________.

答案: 14.一均匀带电圆环,半径为 R,电荷线密度为 ,绕圆环的轴线以角速度 辐射场的电场强度为 . 答案: 零 15.真空中某处有点电荷 答案: 16.已知自由空间中电磁场矢势为 答案: , ,波矢为 ,则电磁场的标势

匀速转动,它产生的

那么决定离场源 r 处 t 时刻的电磁场的电荷电量等于

.

17.真空中电荷 距场点 ,则场点 0.2 秒时刻的电磁场是该电荷在 秒时刻激发的. 答案: 0.17s 18.电偶极子在 方向辐射的能流最强. 答案:过偶极子中心垂直于偶极距的平面 19.稳恒的电流 (填写“会”或“不会”)产生电磁辐射. 答案:不会 20.已知体系的电流密度 ,则它的电偶极矩对时间的一阶微商为 .

35

答案: 21.短天线的辐射能力是由 答案:辐射电阻 ,

来表征的,它正比于

22.真空中, 电偶极辐射场的电场与磁场(忽略了

的高次项)之间的关系是

.

答案: 23.电磁场具有动量,因此当电磁波照射到物体表面时,对物体表面就有 . 答案: 辐射压力 32.设有一球对称的电荷分布,以频率 沿径向作简谐振动,求辐射场, 并对结果给以物理解释. 解: 题设中并未说明体系的线度 是否满足 作偶极辐射,故以推断迟势公式求出矢势

,因此不能看 和 .取

,再讨论

电荷的对称中心为原点,场点位矢 的方向为轴,如图 5.1 由于电荷分布是球对称,且沿径向做简谐运动,因此电流 场点 P 处的矢势

① 对于辐射区, ,故①式分母中的 ② 与 的比较,此处不能忽略,考虑电流分

②式中指数部分 能否用 布的对称性,

代替,显然取决于

只有 方向的分量.将近似条件代入①式,得

③ ③式中 因而辐射场 是一与 无关的常数.

36

33.一飞轮半径为 R,并有电荷均匀分布在其边缘上,总电量为 Q.设此飞轮以恒定角速度 旋 转,求辐射场. 解:题中并未已知飞轮的几何线度 与 的关系,故也不能看作偶极辐射,应作一般讨论,由 于电荷匀速转动,因此等效为一稳恒电流. 由于飞轮以恒定角速度 转动,形成的电流

式中 为电荷线密度与时间 无关,形成的电流也是稳恒的.稳恒的电荷分布和电流分布只能 产生稳恒的电场和磁场,而不会发生辐射,故辐射场 35.如图 5-2,一电偶极矩为 与平均能流密度. 解 : 将 电 偶 极 的偶极子与 Z 轴夹角为 矩 分 解 为 , ,以角频率 互 相 垂 . 绕 Z 轴旋转,计算辐射场 直 的 电 偶 极 子

写成复数形式为



用球坐标表示

于是辐射场

36.半径为 旋转,设

的均匀永磁体,磁化强度为 ,求辐射场和能流.

,球以恒定角速度

绕通过球心而垂直于

的铀

37

解:

由于

,即

,辐射可认为是偶极辐射,此题实际上是求解旋转的磁偶极矩

的辐射场,只要将此体系的磁矩表示两个互相垂直的振荡磁偶极子磁矩之和,求出 及 , 便可得到和. 如图 5-3 所示,以球心为原点,以转轴 为轴,建立球坐标系,旋转的磁矩可分解为两个 互相垂直,相差为 的线振动. 图 5 3 ① 式中 ,是磁体的总磁矩. 由附录中直角坐标系矢量与球坐标系矢量的变换

代入①中,得

② ③ 利用电偶极辐射公式, ,作以下代换

即得磁偶极辐射



⑤ 平均能流

⑥.

38

37.带电粒子 作半径为 的非相对论性圆周运动, 回旋频率为 , 求远处的辐射电磁场和辐射 能流. 解: 由于粒子作非相对论性圆周运动, ,即 ,可看作电偶极辐射,带电粒 子做圆周运动,相当于一个旋转电偶极子,电偶极矩振幅 偶极矩 分解为两个振动互相垂直,相位差为 将 时刻电偶极矩分解为 ,与上一题方法相似,将电 ,便可得 , .

的振荡电偶极子,求解出 ①

由于 图 5.3 代入①式,得

② ③ 将③代入到电偶极子辐射场公式



式中

. 照射到一个绝缘介质球上 ( 在 方向),引起介质球极 远大于球半径 ,求

39.设有线偏振平面波

化,极化矢量 是随时间变化的,因而产生辐射.设平面波的波长 介质球所产生的辐射场和能流. 解: 题中给出的条件 ,意味着在介质球中各处,电场

中的指数因子

可以忽略,即忽略来球内不同点电场的相位差,某一时刻 相当于处于一

39

均匀电场 中,该时刻的场为似稳场,类似于静场的方法求解极化电荷的电偶极矩,另一 方面 ,辐射可近似为偶极辐射. 设外场 第二项 极化电荷的极化强度 沿极轴方向,由第二章例题 2(郭硕鸿,电动力学.第二版 P68.)球外电势 中的

,即放在均匀外场中的介质球极化后,极化电荷在球外的电势, ,得到

总电偶极矩

将上式的

换成

,于是,系统的电偶极矩

因此,偶极辐射场及平均能流密度

40

1.一高速运动的粒子,速度为 0.6 ,观察者测得它的寿命与静止时的寿命之比为 A. 0.8 B. 1.25 C. 0.64 D. 1.0 答案:B 2.某一粒子以速度 (c 为真空中的光速)相对于观察者 A 运动,另一观察者 B 以速度

相对于 A 运动,则 B 观测到粒子的速度为 A. 答案:B B. C. D.

3.相对于观察者运动的直杆,测的其长度是静止长度的

倍,它的运动速率是

A. B. C. D. 答案:B 4.在惯性系 中有一个静止的等边三角形薄片 P,现令 P 相对于 系以速度 v 作匀速直线运动,且 v 的方向在三角形薄片 P 确定的平面上,若因相对论效应而使在 系测量薄片 P 恰为一等腰直角三角 形,则可判定 v 的方向是 A.沿等边三角形任意一条高的方向 B. 沿等边三角形任意一条边 C. 沿等边三角形任意一个角的平分线 答案: A 5.飞船静止时体积为 能是 A. 答案:C B. ,平均密度为 ,相对于地面以 高速飞行时, 地面参考系测得它的动

C.

D. 为

6.两个质子以 质子的静止质量) A.

的速率从一共同点反向运动,那么每个质子相对共同点的动量和能量( B. D. ,则它增加的质量约为原有质量的 C. D.

C. 答案:A 7.把静止的电子加速到动能为 A. 答案: D B.

8.两个质量都是 的小球,其中一个静止,另一个以 则碰撞后合成小球的静止质量为 A. 答案:B B. C. D.

运动,它们做对心碰撞后粘在一起,

9.静止长度为 杆,沿其长度方向以速度 为 30o,观察者测得的杆长是—————。

匀速运动, 与观察者所在的参考系的 x 轴的夹角

答案: , 10.如果把一个电子加速,使它的质量变为静止质量的 2 倍,这电子的速度将是————.相对论动能是
————。

41

答案:

,

电子获得得动能 T=

9.静止长度为 杆,沿其长度方向以速度 轴的夹角为 30o,观察者测得的杆长是—————。 答案: ,

匀速运动, 与观察者所在的参考系的 x

10.如果把一个电子加速,使它的质量变为静止质量的 2 倍,这电子的速度将是————.相对 论动能是————。

答案:

, 电子获得得动能 T=

11.相对论的两个基本原理为________,______。 答案:光速不变原理,狭义相对性原理. 12.静止质量为 m0 的粒子,以速度 0.8c 运动,则粒子的相对论动能为 .

答案: 13.一运动员进行 100 米比赛,由起点到终点用了 10 秒,在与运动员同方向运动,飞行速度 为 0.6c 的飞船上观测,运动员跑过的距离是 经历的时间是 ,速度大小等于 . 答案: , 12.5 秒, 0.6c

14.物体所带的电荷量为 ,在相对于该带电体以速度 运动的参考系中观察,它的电量是 _______. 答案: 15.在惯性系 中作匀速圆周运动,其轨迹方程为 , 惯性系 相对于 v 沿 x 方向运动,则在 中观察, 质点的运动,轨迹为_______. 以速度

答案: 16.物体静止时的体积为 ,当它以速度 运动时 , 体积为_______.

42

答案: 17.尺与 系的 轴成 角,如果该米尺与 系的 轴成 角, 则 系相对与 系的速

度 v 的大小是_______. 答案:0.816c 18.某高速运动的粒子的动能等于其静止质量的 n 倍, 则该粒子运动速率为真空光速

的_______倍, 其动量为

的_______倍,其中

为粒子的静止质量, C 为真空光速.

答案:

,

19.某宇宙飞船以 0.8c 的速度离开地球,若地球上接收它发出的两个信号之间的时间间隔 为 10S,则宇航员测出的相应时间间隔为_______秒. 答案:3.33S 20.一宇航员要到离地球 5 光年的星球去旅行,如果宇航员希望把这路程缩短为 3 光年,则 他所乘的火箭相对于地球的速度应为_______. 答案: 0.8c

22.设两根互相平行的尺,在各自静止的参考系中的长度均为 ,它们以相同速率 v 相对于 某一参照系运动,但运动方向相反,且平行于尺子,求站在一根尺上测量另一根尺的长度. 解:设尺子 A 的静止系为 的速度为 u,相对于 ,尺子 B 的静止系为 ,如图 6.1 所示,并设尺子 B 相对于 系

(尺子 A)的速度为

,由已知条件可知

故由洛伦兹速度变换,有

43

因此,在

系中得到尺子 B 的长度为 图 6.1

由相对性原理,站在 B 上(

系)观测尺子 A 的长度也是

23.静止长度为 的车厢,以速度 v 相对于地面 s 运行,车厢的后壁以速度 小球,求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间. 解: 设地面参考系为 ,固定在车厢上的参考系为 6.2,并设小球相对于地面,车厢速度为 ,则

向前推出一个

, 系沿 系的 x 轴正向运动,如图

图 6.2 而车厢又以速度 v 相对于地面运动,因此在 系中,小球相对于车厢的速度为

44

并且在 系中测得车厢的长度

,故 系中的观察者测得小球运动时间为

或利用 计算,此式中是 地面观察者测得的小球运动过的距离, 到同样的结果.

也可得

另解: 在 系中, 小球处于车厢后壁的时空坐标为 在车厢参考系 洛伦兹变换为 中,两事件的时空坐标分别为 ,

,到达前壁的时空坐标为 .





系中测得车厢长度

,小球运动时间为

于是由变换中的第二式,得地面上测得小球的运动时间为

24.一辆以速度 v 运动的列车上的观察者,在经过某一高大建筑物时,看见某避雷针上跳起 一脉冲电火花,电光迅速传播,先后照亮了铁路线上的两铁塔.求列车上观察者看到的两铁 塔被电光照亮的时刻差.设建筑物及两铁塔都在一直线上,与列车前进方向一致,铁塔到建 筑物的地面距离都是 . 解: 设地面参考系为 系,建筑物位于坐标原点。铁塔位于其两边,列车静止于 参考系 中, 系沿 系的 x 轴正向运动,并且在 时刻,列车中观察者经过 系原点,此

45

时发出电火花,并设 系中照亮的铁塔的事件为



,由题设知



系中,两事件发生的时间



26.在坐标系 中,有两个物体都以速度 u 沿 x 轴运动,在 系看来,它们一直保持距离 l 不 变.今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动,他看到这两个物体的距离是多少? 解: 设观察者静止于 系中,两物体在相对其静止的参考系中之间的距离为 ,如图 6.3 在 系中,两物体相距为 ,但它们均以速度 u 沿 系的 x 轴运动,故有

图 6.3



并且,物体相对观察者

系的运动速度为

46



中观察者认为两物体间距离应是

27.一把直尺相对于 坐标系静止,直尺与 x 轴交角 ,今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动, 他看到直尺与 x 轴交角 有何变化? 解: 设直尺在静止的参考系中的长度为 ,故有

当观察者以速度 v 沿 x 轴运动,在观察者看来,直尺的长度在 x,y 两个方向的投影为

因此,观察者看到的直尺与 x 轴夹角



28.两个惯性系 和

中各放置若干时钟,同一惯性系中的诸时钟同步,

相对于 以速

度 v 沿 x 轴方向运动.设两系原点相遇时, ,问处于 系中某点(x,y,z)处的时钟 与 系中何处的时钟相遇时,指示的时刻相同?读数是多少? 解: 由洛伦兹变换

① 当 系位于 的时钟与 系位于 同,即 时,从①式的第四式,得 的时钟相遇,而且两时钟指示的时刻相

47

将此式代入①式中的第一式,得这两个时钟的位置关系以及它们的读数

48


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