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2013年广东省教研室推荐高考必做38套(29)(数学文)



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2011 年广东省教研室推荐高考必做 38 套(29) 数学文
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号, 在“座位号”列表内填写座位号,并用 2B 铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的, 答卷无效. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.考试必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 锥体的体积公式 V= Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。

1 3

第一部分
求的。

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要

1.若函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为 A,函数 g ( x) ? lg x , x ?[1,10] 的值域为 B,则 A ? B 为 A. (??,1] B. (??,1) C. [0,1] D. [0,1)

2.已知复平面内复数 z ? sin ? ? i cos ? (0 ? ? ? ? ) 对应的点 P 在直线 y ? 3x 上,则实数 ? 的值为

? ? D. 3 6 ? ? ? ? 3、已知向量 a ? ( 2,3 ) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,则 m 的值为
A.

5? 6

B.

2? 3

C.

A

1 2

B 2

C ?

1 2

D

?2

4、定义域为 R 的奇函数 f (x) A 没有零点 B 有且只有一个零点 C 至少一个零点 D 至多一个零点

2 5、设 a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数。则方程 x ? ax ? 2 ? 0 有两个不相等的实数根的概率为

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A

2 3

B

1 3

C

1 2

D

5 12

6、已知 0 ? x ? y ? 1 , m ? log2 x ? log2 y ,则有 A

m?0

B

0 ? m ?1

C

1? m ? 2

D

m?2

7、已知函数 y ? f ( x) sin x 的一部分图象如右图所示,则函数 f (x) 可以是 A

2 sin x

B 2 cos x D

C ? 2 sin x

? 2 cos x

8、使不等式 x2 ? 3x ? 0 成立的必要不充分条件是 A

0? x?3

B

0? x?4

C

0? x?2

D x ? 0 ,或 x ? 3

9、设 x 、 y 、 z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:① ②

x 、 y 、 z 均为直线;

x 、 y 是直线, z 是平面;③ z 是直线, x 、 y 是平面;④ x 、 y 、 z 均为平面。其中使“ x ⊥ z

且 y ⊥ z ? x ∥ y ”为真命题的是 A ③ ④ B ① ③ C ② ③ D ① ②

10、已知点 P (a, b) (ab ? 0) 是圆 O : x 2 ? y 2 ? r 2 内一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线,若直 线 n 的方程为 ax ? by ? r 2 ,则 A C

m ∥ n 且 n 与圆 O 相离 m 与 n 重合且 n 与圆 O 相离

B D

m ∥ n 且 n 与圆 O 相交 m ⊥ n 且 n 与圆 O 相离

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 个小题,满分为 20 分.其中第 11-13 题为必做题,每题 5 分,共 15 分;第 14-15 题为选做题,从中选做 1 题,每题 5 分,如果两题都做,只按前一题计分。 11、执行如下的程序框图输出的结果为____________
否 开始 A=1
2

K=1

B=2A+1

A=B

k=k+1

k>6?



输出A

结束

12、抛物线 y ? ?8x 的准线方程是______。 13、为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 明文 加密
x

密文

发送

解密 密文 明文

已知加密为 y ? a ? 2 (x 为明文、 y 为密文 ) ,如果明文“ 3 ”通过加密后得到密文为“ 6 再发送,接 受方通过解密得到明文“ 3 ” ,若接受方接到密文为“ 14 ” ,则原发的明文 是 。

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14、 (坐标系与参数方程) 在极坐标系中, P (2, 0) 与点 Q 关于直线 ? ? 点

?
3

对称, | PQ | =____________. 则

15、 (几何证明选讲)在三角形 ABC 中,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AB 上,且 AE∶EB=1∶2,AD 与 CE 相交于点 F,则

S?ABC (填最简分数或整数) ? ____________. S?FDC

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、 (本题满分 12 分) 函数 f ( x) ? cos( ? ) ? sin(? ? (1)求 f (x) 的周期; (2)求 f (x) 在 [ 0 , ? ) 上的减区间; (3)若 f (? ) ?

x 2

x ) , x?R。 2

? ? 2 10 , ? ? ( 0 , ) ,求 tan( 2? ? ) 的值。 2 4 5

17. (本小题满分 12 分) 右图是某市有关部门根据 地干部的月收入情况调查 出的样本频率分布直方图, 已知图中第一组的频数为4000. 据该图提供的信息解答下列问 (图中每组包括左端 点,不包括右端点,如第一组表 入在 [1000, 1500)
频率/组距

对 某 后 画 请 根 题 :

0.0008

0.0004 0.0003

示 收
0.0001 0 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

月收入(元)

(1)求样本中月收入在 [2500 , 3500) 的人数; (2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系,必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方 法抽出 100 人作进一步分析,则月收入在 [1500 , 2000) 的这段应抽多少人? (3)试估计样本数据的中位数.

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18、 (本题满分 14 分) 如图,一简单组合体的一个面 ABC 内接于圆 O, 径,四边形 DCBE 为平行四边形,且 DC ? 平面 ABC. (1)证明:平面 ACD ? 平面 ADE ; (2)若 AB ? 2 , BC ? 1 , tan ?EAB ? 体的体积 V.

AB 是圆 O 的直

3 ,试 2

求该简单组合

19、.(本小题满分 14 分) 已知以点 P 为圆心的圆过点 A -1,0) (3,4) ( 和B ,线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C、 D,且|CD|= 4 10 , (1) 求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程; (3)设点 Q 在圆 P 上,试探究使△QAB 的面积为 8 的点 Q 共有几个?证明你的结论.

20. (本小题满分 14 分) 某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场.如 是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组 一条宽 8 米的塑胶跑道,运动场除跑道外,其他地方均铺 知塑胶跑道每平方米造价为 150 元,草皮每平方米造价为

图,运动场 成.跑道是 设草皮.已 30 元

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(1)设半圆的半径 OA= r (米),试建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S( r ) (2)由于条件限制 r ?[30, 40] ,问当 r 取何值时,运动场造价最低?(精确到元)

21、 (本题满分 14 分) 1 函数 f (x) 对任意 x ? R 都有 f (x) + f (1-x) = 2 1 (1)求 f ( 2 )的值. (2)数列{an} 满足: an= f (0) + f ( (3) bn 令

1 2 n ?1 ) ? f ( ) ? ?? ? f ( ) ? f (1) ,数列{an} 是等差数列吗?请给予证明; n n n

?

4 4a n ? 1

2 2 2 2 , Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn , S n ? 32 ?

16 . 试比较 Tn 与 Sn 的大小. n

2011 年广东省教研室推荐高考必做 38 套 数学试卷(文科)参考答案及评分标准
一、选择题: (每题 5 分,共 50 分)

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题号 答案 提示:

1 C

2 A

3 D

4 C

5 A

6 A

7 D

8 B

9 C

10 A

1、∵A= (??,1] ,B=[0,1]∴A ? B= [0,1] ,故选 C. 2、由点 P 在上直线 y ? 3x 上得 ? cos ? ? 3sin ? ? tan ? ? ?

3 , ∵0 ?? ?? 3

∴ ??

5? ,故选 A. 6

3、 ma ? 4b ? (2m ? 4 , 3m ? 8) , a ? 2b ? (4, ?1) ,由 ?(2m ? 4) ? 4(3m ? 8) ? 0 ,得 m ? ?2 4、利用有关概念判断,或举 f ( x) ? sin x 去验证;
2 2 5、由方程 x ? ax ? 2 ? 0 有两个不相等的实数根,得 a ? 8 ? 0 ,故 a ? 3 , 4 , 5 , 6 ;

?

?

?

?

6、由 0 ? x ? y ? 1 ,得 0 ? xy ? 1 ,故 m ? log2 x ? log2 y ? log2 xy ? log2 1 ? 0 ; 7、代入验证, f ( x) ? ?2cos x 时, y ? f ( x)sin x ? ?2sin x cos x ? ? sin 2 x 符合图象;
2 8、由 x ? 3x ? 0 ,解得 0 ? x ? 3 ,要找的是 0 ? x ? 3 的必要不充分条件;

9、直接根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选;
2 2 2 2 2 2 10、由点 P (a, b) (ab ? 0) 是圆 O : x ? y ? r 内一点,得 a 2 ? b 2 ? | r | ,即 a ? b ? r ,直线 OP

的斜率为 k1 ?

b a 1 a 2 ,故直线 m 的斜率 k ? ? ? ? ,又直线 n : ax ? by ? r 的斜率是 k ? ? ,故 m a b k1 b
2

∥ n ,另一方面,圆心 O 到直线 n : ax ? by ? r 的距离为

d?

| ?r 2 | a 2 ? b2

?

r2 ?| r | ,故 n 与圆 O 相离。 |r|

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分) 11、127; 12、 x ? 2 ; 13、4; 14、 2 3 ;15、4。 提示:
x 3 13、依题意 y ? a ? 2 中,当 x ? 3 时, y ? 6 ,故 6 ? a ? 2 ,解得 a ? 2 ,所以加
x 密为 y ? 2 ? 2 ,因此,当 y ? 14 时,由 14 ? 2 ? 2 ,解得 x ? 4 。
x

三、解答题: (满分80分)

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16、 (本题满分 12 分)

x x x x x ? ) ? sin ? cos ? 2 sin ( ? ) 2 2 2 2 2 4 2? ???? 4 分 ? f (x) 的周期 T ? ? 4? 1 2 ? x ? 3 (2)由 ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 2 2 4 2 ? 5 得 ? 4k? ? x ? ? ? 4k? , k ? Z 。又 x ? [ 0 , ? ) , 2 2 ? 5 7? 3 ? x ? ? ;令 k ? ?1 ,得 ? ? x ? ? ? (舍去) 令 k ? 0 ,得 2 2 2 2
解: (1) f ( x) ? cos( ? ) ? sin(? ? ∴ f (x) 在 [ 0 , ? ) 上的减区间是 [ (3)由 f (? ) ?

?

2

,? )。

???? 8 分

? ? 2 10 2 10 ,得 sin ? cos ? , 2 2 5 5
8 3 ,∴ sin ? ? 5 5

∴ 1 ? sin ? ? 又? ? ( 0 ,

?
2

) ,∴ cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ?

9 4 ? , 25 5
3 4 ? 24 , 9 7 1? 16 2?
???? 12 分

sin ? 3 2 tan? ? ,∴ tan2? ? ∴ tan ? ? ? cos ? 4 1 ? tan2 ?

24 ?1 31 ? 4 ? 7 ∴ tan( 2? ? ) ? ?? 。 ? 24 4 17 1 ? tan2? tan 1? 4 7 tan2? ? tan

?

17.解: (1)∵月收入在 [1000 ,1500) 的频率为 0.0008 ? 500 ? 0.4 ,且有4000人 ∴样本的容量 n ?

4000 ? 10000 ------------------------------2分 0.4

月收入在 [1500 , 2000) 的频率为 0.0004 ? 500 ? 0.2 月收入在 [2000 , 2500) 的频率为 0.0003 ? 500 ? 0.15 月收入在 [3500 , 4000) 的频率为 0.0001? 500 ? 0.05 ∴月收入在 [2500 , 3500) 的频率为; 1 ? (0.4 ? 0.2 ? 0.15 ? 0.05) ? 0.2 ----4分 ∴样本中月收入在 [2500 , 3500) 的人数为: 0.2 ?10000 ? 2000 -------6分

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(2)∵月收入在 [1500 , 2000) 的人数为: 0.2 ?10000 ? 2000 ,---------------------------7 分 ∴再从 10000 人用分层抽样方法抽出 100 人,则月收入在 [1500 , 2000) 的这段应抽取

100 ?

2000 ? 20 (人) ----------------------------------------------------9分 10000

(3)由(1)知月收入在 [1000, 2000) 的频率为: 0.4 ? 0.2 ? 0.6 ? 0.5 ------------------10 分

0.5 ? 0.4 ? 1500 ? 250 ? 1750 (元)----------12 分 0.0004 18.解: (1)证明:∵ DC ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ∴ DC ? BC . -----------2 分 ∵AB 是圆 O 的直径 ∴ BC ? AC 且 DC ? AC ? C ∴ BC ? 平面 ADC. ---------------------------------------------------------------4 分
∴样本数据的中位数为: 1500 ? ∵四边形 DCBE 为平行四边形 ∴DE//BC ∴ DE ? 平面 ADC ------------------------------------------------------------------6 分 又∵ DE ? 平面 ADE ∴平面 ACD ? 平面 ADE -------------------------7 分 (2)解法1:所求简单组合体的体积: V ? VE ? ABC ? VE ? ADC -----9 分 ∵ AB ? 2 , BC ? 1 , tan ?EAB ? ∴ BE ? 3 , AC ? ∴ VE ? ADC ?

EB 3 ? AB 2

AB2 ? BC 2 ? 3 -------------11 分

1 1 1 S?ADC ? DE ? AC ? DC ? DE ? -------12 分 3 6 2 1 1 1 VE ? ABC ? S?ABC ? EB ? AC ? BC ? EB ? ---------13 分 3 6 2 ∴该简单几何体的体积 V ? 1 -------------------------------14 分
解法2:将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱---8 分 如图∵ AB ? 2 , BC ? 1 , tan ?EAB ? ∴ BE ? 3 , AC ?

EB 3 ? AB 2

AB2 ? BC 2 ? 3 -------------10 分
1 S ?ADC ? DE -----------------------------12 分 3

∴ V ? VACB? FDE ? VE ? ADF = S ?ACB ? DC ?

1 1 AC ? CB ? DC ? AC ? DC ? DE 2 6 1 1 = ? 3 ?1? 3 ? ? 3 ? 3 ?1 ? 1 -----------------------------------------------14 分 2 6 ?
19、 (本题满分 14 分) 解: (1)∵ k AB ? 1 ,AB 的中点坐标为(1,2)

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∴直线 CD 的方程为: y ? 2 ? ?( x ? 1) 即 x ? y ? 3 ? 0 ------------------------3 分 (2)设圆心 P (a, b) ,则由 P 在 CD 上得 a ? b ? 3 ? 0 -----------------①--------4 分 又直径|CD|= 4 10 ,∴|PA|= 2 10 ∴ (a ? 1)2 ? b2 ? 40 ----------------------------------------------②-------7 分 ①代入②消去 a 得 b2 ? 4b ? 12 ? 0 , 解得 b ? 6 或 b ? ?2 当 b ? 6 时 a ? ?3 ,当 b ? ?2 时 a ? 5 ∴圆心 P (-3,6)或 P (5,-2) ∴圆 P 的方程为: ( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 40 或 ( x ? 5)2 ? ( y ? 2)2 ? 40 --------------------10 分 (3)∵|AB|= 42 ? 42 ? 4 2 -----------------------------------------------11 分 ∴当△QAB 面积为 8 时,点 Q 到直线 AB 的距离为 2 2 又圆心到直线 AB 的距离为 4 2 ,圆 P 的半径 r ? 2 10 ,且 4 2 ? 2 2 ? 2 10 ∴圆上共有两个点 Q,使△QAB 的面积为 8.-------------------------------------14 分 20.解: (1)塑胶跑道面积

S ? ? [r 2 ? (r ? 8)2 ] ? 8 ?
?

10000 ? ? r 2 ?2 2r

80000 ? 8? r ? 64? -----------------------------------------------6 分 r
∴0 ? r ?

2 ∵ ? r ? 10000

100

?

--------------------------------------7 分

(2)设运动场的造价为 y 元

y ? 150 ? (

80000 80000 ? 8? r ? 64? ) ? 30 ? (10000 ? ? 8? r ? 64? ) r r

80000 ? 8? r ) ? 7680? -----------------------------------------11 分 r 80000 80000 ? 8? r ∵ f '(r ) ? 8? ? 令 f (r ) ? r r2 ? 300000 ? 120 ? (
当 r ??30,40? 时 f '(r ) ? 0 ∴函数 y

? 300000 ? 120 ? (

80000 ? 8? r ) ? 7680? 在 [30, 40] 上为减函数.------13 分 r

∴当 r ? 40 时, ymin ? 636510 .

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即运动场的造价最低为 636510 元.----------------------------------------14 分 21、 (本题满分 14 分) 解: (1)因为 f ( ) ? f (1 ? 所以 f ( ) ? (2)令 x ?

1 2

1 1 1 1 ) ? f( )? f( ) ? . 2 2 2 2

1 2

1 .-----------------------------------4 分 4

1 1 1 1 1 n ?1 1 )? . ,得 f ( ) ? f (1 ? ) ? ,即 f ( ) ? f ( n n 2 n n n 2 1 n ?1 a n ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) , n n n ?1 1 ) ? ? ? f ( ) ? f (0) 又 a n ? f (1) ? f ( n n
两式相加 :

1 n ?1 n ?1 2a n ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] ? 所 n n 2 n ?1?1 n ?1 1 n ?1 ? ? 以 an ? . 故 数 列 {an} 是 等 差 数 , n ? N , 又 a n ?1 ? a n ? 4 4 4 4
列.-----------------------------------9 分 (3) bn ∴

?

4 4a n ? 1

?

4 , n

2 2 2 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

? 16 (1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 ) 2 2 3 n

? 16 1 ? [

1 1 1 ? ??? ] ----------12 分 1? 2 2?3 n(n ? 1)
1 1 1 1 1 ) ? ( ? ) ??? ( ? )] 2 2 3 n ?1 n

? 16[1 ? (1 ?

? 16 ( 2 ?
所以 Tn

1 16 ) ? 32 ? ? Sn n n

? S n -----------------------------------14



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