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2015一轮复习数学第三章第七节课后限时自测



课后限时自测
(见学生用书第 261 页)

A组

基础训练

一、选择题 1. 如图 3-7-10 所示, 在河岸 AC 测量河的宽度 BC, 图中所标的数据 a, b, c,α ,β 是可供测量的数据.下面给出的四组数据中,对测量河宽较适宜的是 ( )

A.c 和 α C.c 和 β

【解析】 【答案】

图 3-7-10 B.c 和 b D.b 和 α 由题意知,对测量河宽较适宜的应是 AC 的距离和角 α ,故选 D. D

图 3-7-11 2.(2013·马鞍山模拟)甲船在岛 A 的正南 B 处,以 4 km/h 的速度向正北方 向航行,AB=10 km,同时乙船自岛 A 出发以 6 km/h 的速度向北偏东 60°的方 向驶去,当甲,乙两船相距最近时,它们所航行的时间为( ) A. h 14 5 B. 15 h 7 43 20

C.2h 【解析】

D.

设经过 th 甲船到达 D 处,乙船到达 C 处,则

? 5? ? ? AD=10-4t,AC=6t,t∈?0, ?, 2? ?

在△ACD 中,由余弦定理得 CD2 = AD2 + AC2 - 2AD·AC·cos ∠ CAD = (10 - 4t)2 + (6t)2 - 2(10 - 4t)×6t×cos 120°=28t2-20t+100, ∴CD=2 7t2-5t+25=2 5 ? 5? ? ?2 675 7?t- ? + , 28 ? 14?

∴当 t=

h 时,CD 最小. 14 A )

【答案】

π 3.△ABC 中,A= ,BC=3,则△ABC 的周长为( 3 A.4 ? π? ? ? 3sin?B+ ?+3 3? ? B.4

? π? ? ? 3sin?B+ ?+3 6? ?

? π? ? ? C.6sin?B+ ?+3 3 ? ?

? π? ? ? D.6sin?B+ ?+3 6 ? ? 3sin B,

AC 3 【解析】 在△ABC 中, 由正弦定理得: = , 化简得 AC=2 sin B 3 2 3 = ,化简得 AB=2 π?? ? ? 3 sin?π-?B+ 3 ?? ? ? ?? 2 3 + AC + AB = 3 + 2 3 sin B + 2 AB

? 2π ? ? ? -B?,所以三角形的周长为: 3sin? 3 ? ?

? 2π ? ? ? -B? = 3 + 3 3 sin ? ? 3 ?

3 sin B + 3cos B =

π? ? B + ? ? 6sin 6 ?+3.故选 D. ? 【答案】 D 4.在锐角△ABC 中,AB=2,B=2C,则 AC 的取值范围是( A.(2 C.(2 2,2 2,4) 由正弦定理,得 3) B.(2,2 D.(2,2 2) 3) )

【解析】

AB = , sin B sin C ∴AC= AB sin B 2sin 2C = =4cos C. sin C sin C

AC

由△ABC 是锐角三角形,得

? ?0<2C< 2 , π π ∴ <C< ? π 6 4 0<π-3C< , ? 2 ?
π ∴AC∈(2 2,2 3). ) 【答案】 A 5.E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ∠ECF=( A. 16 27 B. 2 3 C. 3 3 D. 3 4

【解析】

1 2 设 AC=1,则 AE=EF=FB= AB= , 3 3 AE2+AC2-2AC·AEcos 45°= 5 3 , 所以 cos ∠

由余弦定理得 CE=CF= CE2+CF2-EF2 4 ECF= = , 2CE·CF 5

所以 tan ∠ECF=

= cos ∠ECF

sin ∠ECF

?4?2 ? ? 1-? ? ?5? 4 5

3 = . 4

【答案】 D 二、填空题 6.在△ABC 中,AD 是其中线,已知 AB=6,AD=5,AC=8,则∠BAC 等于 ________. 【解析】 设 BC=2x,则 在△ABD 中,由余弦定理得: 36=x2+25-10xcos ∠ADB;① 在△ACD 中,由余弦定理得: 64=x2+25-10xcos ∠ADC,②

①+②得 100=2x2+50, 解得 x=5,∴BC=10. 在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠BAC=0,又 0°<∠BAC<180°, 所以∠BAC=90°. 【答案】 90°

图 3-7-12 7.如图 3-7-12,ABMN,BCKL,ACPQ 都是正方形,若 S△ANQ=1,则 S△CPK= ________. 【解析】 1 1 S△CPK= PC·KC·sin(π-∠ACB)= AC·BC·sin ∠ACB 2 2

1 1 1 = AC·AB·sin ∠BAC= AQ·AN·sin(π-∠BAC)= AQ·ANsin ∠QAN= 2 2 2 1. 【答案】 1

图 3-7-13 8.一角槽的断面如图 3-7-13,四边形 ADEB 是矩形,若 α =50°,β = 70°,AC=90 mm,BC=150 mm,则 DE 的长度等于________mm. 【解析】 连接 AB,则∠BAC=90°-α =40°,∠ABC=90°-β =20°,

∴∠C=180°-40°-20°=120°, ? 1? ? ? ∴AB2= AC2 + BC2 -2×AC×BC×cos 120 °= 902 + 1502- 2×90×150× ?- ? 2 ? ? 2 2 =90 +150 +90×150=44 100, ∴AB=210,故 DE=210. 【答案】 210 三、解答题

9.在△ABC 中,设 AD 为 BC 边上的高,且 AD=BC,b,c 分别表示角 B,C b c 所对的边长,试求 + 的取值范围. c b 【解】 b c 由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A, 1 ∴ + = = c b bc b2+c2 a2+2bccos A bc = a2 bc +2cos A= 1 2 a·AD 2 +2cos A=sin A bcsin A sin A +2cos A= 5sin(A+φ )≤ bc · =2, cb 5. 5.

b c 又 + ≥2 c b

b c 所以,2≤ + ≤ c b 10.

图 3-7-14 某人在 M 汽车站的北偏西 20°的方向上的 A 处,观察到点 C 处有一辆汽车 沿公路向 M 站行驶.公路的走向是 M 站的北偏东 40°.开始时,汽车到 A 的距离 为 31 千米,汽车前进 20 千米后,到 A 的距离缩短了 10 千米.问汽车还需行驶 多远,才能达到 M 汽车站? 【解】 设汽车前进 20 千米后到达 B 处,在△ABC 中,AC=31,BC=20, AB=21,由余弦定理得 cos C= AC2+BC2-AB2 23 = , 2AC·BC 31 432 , 312

则 sin2C=1-cos2C= 12 31 3

所以 sin C=



所以 sin ∠MAC=sin(120°-C)=sin 120°cos C-cos 120°sin C= ? 23 ? ? 1? 12 3 35 3 × -?- ?× = . 31 ? 2? 31 62 在△MAC 中,由正弦定理得 MC= ACsin ∠MAC 31 35 3 = × =35, sin ∠AMC 62 3 2 从而有 MB=MC-BC=15. 答:汽车还需要行驶 15 千米才能到达 M 汽车站. B组 能力提升

3 2

1.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车 的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差, 则第一辆车与第二辆车的距 离 d1 和第二辆车与第三辆车的距离 d2 之间的关系为( ) A.d1>d2 B.d1=d2 C.d1<d2 D.不能确定大小 【解析】 如图所示,设∠BAC=∠CAD=α ,

在△ABC 中,由正弦定理,得 d1 sin α d2 sin α = . sin B AC sin D AC

在△ACD 中,由正弦定理,得 =

两式相除,得 d1 sin D = d2 sin B 又 B+D<π,则 D<π-B, π? ? 0 , ? ? 由于 D,π-B∈ 2 ?,所以 0<sin D<sin(π-B)=sin B. ?

d1 ∴ <1,即 d1<d2. d2 【答案】 C 2. 有一长为 1 的斜坡, 它的倾斜角为 20°, 现高不变, 将倾斜角改为 10°, 则斜坡长可表示为________.

【解析】 如图所示,∠ABC=20°,AB=1,∠ADC=10°, ∴∠ABD=160°. 在△ABD 中,由正弦定理 AB = , sin 160° sin 10° AD

∴AD=AB·

sin 160° sin 20° = =2cos 10°. sin 10° sin 10°

【答案】 2cos 10° 3. 如图 3-7-15, 矩形 ABCD 是机器人踢球的场地, AB=170 cm, AD=80 cm, 机器

图 3-7-15 人先从 AD 中点 E 进入场地到点 F 处,EF=40 cm,EF⊥AD.场地内有一小球 从点 B 向点 A 运动,机器人从点 F 出发去截小球.现机器人和小球同时出发,它 们均作匀速直线运动, 并且小球运动的速度是机器人行走速度的 2 倍.若忽略机 器人原地旋转所需的时间,则机器人最快可在何处截住小球? 【解】 设该机器人最快可在点 G 处截住小球, 点 G 在线段 AB 上. 连接 FG. 设 FG=x cm.根据题意,得 BG=2x cm.

则 AG=AB-BG=(170-2x)cm. 连接 AF,在△AEF 中,EF=AE=40 cm,EF⊥AD, 所以∠EAF=45°,AF=40 2cm.

于是∠FAG=45°. 在△AFG 中,由余弦定理,得 FG2=AF2+AG2-2AF·AGcos ∠FAG. 所以 x2=(40 2)2+(170-2x)2-2×40 2×(170-2x)×cos 45°.

解得 x1=50,x2=

370 . 3 230 cm(不合题意,舍去). 3

所以 AG=170-2x=70 cm 或 AG=-

答:该机器人最快可在线段 AB 上离 A 点 70 cm 处截住小球.



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