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用Jensen不等式证明两道数学竞赛题



上 海 中学数 学 ? 2 0 0 9年 第 1 0期 

用J e n s e n不 等 式 证 明 两 道 数 学 竞 赛 题 
7 4 2 5 0 0   甘 肃 省 陇 南师 范 高等 专科 学校  东洪 平 
来看 两道竞 赛题. 第一 道 : 设 a , b , c >0 , 试 
证 a n 6 6 c   c  

( a b c ) a 丁 + b + c



阶 和 二 阶导 数 为 :  

( 第 三 届 美 国数 学 奥 林 匹  克试题)   第二道 : 设 n , b , c , d, P >0 , 试证 a a b b c   c dd e e  
 ̄( ab c de )   地


厂( z ) 一 l n x +1 ,  ( - z ) 一 ÷,  
可见 , 函数 厂(  ) 一x l n x在 - z > 0时有 厂 
( z ) >O . 根据 J e n s e n不 等 式 有 

( 1 9 7 9年 青 海 省 中 学 数 学 竞 

赛题)   上述两道 竞赛 题 是 同一个 类 型 的 , 一 般 形 

厂 (   旦 
十…+ f ( a   ) ] ,  

) ≤  [ 厂 ( a 1 ) + 厂 ( a 2 )  
.1   ±  ±: : : ±垒   < 
一  

式为: 若 a l , a 2 , …, a   >0 , 则 口  口 ; z …a n “  
( 口 1 口2 …口  )  — 二 呈   一
. 

即  ±堕 ± 
咒 

下 面利 用 J e n s e n不 等 式来 证 明 这 个 命 题 的 
正确 性 .  

( a 1   1 n 口1 +n z 1 n 口 2 + … +n   l n a n ),  

J e n s e n 不等式 : 若_ 厂 (  ) 在[ n , 6 ] 上有 厂(  )   >o ( 或 厂( z ) <o ) , 则对 任意 X i ∈[ & , 6 ] ,  ( i 一  
1 , 2 …,  ) ∑  一 1 , 有 
i= 1  

l n (   ±  ±  l n ( a  ̄   a ; 。 …n a   ) ,  
亦即(  

)  + a z   叶  ” <  

= 

) “   + d 。   。 + Ⅱ n  

,( ∑ i Xi )   ( 或  ) ∑ ̄ i f( x i ) .  

( 注: J e n s e n不 等 式 的证 明见 参 考 文献 [ 1 ] )   证 明 :设 厂( z ) 一x l m: ,  > 0 , 求 得 ,(  ) 的 

n  n ;   …n :   ,   又因为 

i 

± 

,  

“ 2 2 ” ) , ( 3 、 3 、 3 ) 与( 1 、 3 、 5 ) ( 一 支图 : 顶点 3 、 3 、 5 ,  

当做 到 第 三 步 骤 完 毕 , 不 仅 做 完 了 所 有 摆  图, 同时 也 证 实 了 1 5 —2 4中 所 有 正 整 数 都 能 按  “ 老农卖瓜延续题” 摆 出 图, 共有 摆 图 1 0 0个 . 数  量之多 , 出于 一 般 人 想 像 . ( 注意 : 摆 图 中 未 出 现  个 总 和小 于 1 5或 大 于 2 4的 正 整 数 的 摆 图 ,  


总和“ 1 6 ” ; 另一 支 图 : 顶点 1 、 3 、 3 , 总 和“ 2 0 ” ) ,  
( 3 、 3 、 3 ) 与( 2 、 3 、 4 ) ( 一支图: 顶点 3 、 3 、 4, 总 和  “ 1 7 ” ; 另一支图 : 顶点 2 、 3 、 3 , 总 和“ 1 9 ” ) , ( 1 、 4 、   4 ) 与( 2 、 3 、 4 ) ( 一支图 : 顶点为 3 、 4 、 4, 总和“ 1 6 ” ;  

另一支 图 : 顶点 为 2 、 4 、 4, 总 和“ 1 7 ” ) , ( 2 , 2 , 5 ) 与  ( 2, 3 , 4 ) ( 一支 图: 顶点 2 、 2 、 4, 总 和“ 1 9 ” , 另 一 支 
图: 顶点 2 、 2 、 3 , 总 和“ 2 0 ” ) , ( 1 、 1 、 7 ) 与( 1 , 4 , 4 )   ( 顶点 1 、 1 、 4 , 总和“ 2 1 ” ) .  

无 形 中反 映 出按 老农 要 求 以及 “ 提升” 题 的 这 样 

的摆 图是 不 存 在 的 . )   这 里需 要指 出, 如 果 思 考 不 周 或 找 不 出摆 
图 规律 等 , 会 把 两 或 三 个 数 组 组 合 摆 图 忘 了或 

以上 1 3支 图 , 合计 3 9个 摆 图 , 总 和 分 别 为 
1 6 , 1 7, 1 9, 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 ( 正整数) .  

漏 掉不少. 此 趣 题 对 提 高 逻 辑 思 维 能 力 很 有 帮 
助.  

3 、 选 三 个 数 组 组 合 —— 任 一 数 组 有 一 个 数  与 另 一 个 数 组 中一 个 或 两 个 数 相 同.  
经探索有( 1 、 3 、 5 ) 、 ( 1 、 、 4 、 4 ) 与( 2 、 3 、 4 ) ( 一  支图 : 顶点 1 、 2 、 5 , 总和“ 1 9 ” ) , ( 1 、 2 、 6 ) 、 ( 1 、 4 、 4 )   与( 2 、 3 、 4 ) ( 一 支图 : 顶点 1 、 2 、 4, 总和“ 2 0 ” ) , ( 1 、  

最后 , 提 一 下《 上海少年报 》 给 出“ 老 农 卖 瓜  趣题” 答 案时 , 写道 : “ 答案 有多种 , 介 绍一种 ( 即 

图3 ) ” , 似可 探 讨. 如果 限 于“ 老农 卖 瓜” 原文,   “ 限定 1 5个 瓜 分 成 六 堆 , 摆 成一 个 三 角 形 ( 顶  点、 中点 ) 每边 三 堆 , 使 人 从 每 边看 , 都 有 9个  瓜. ” 答 案仅有一 个 , 即图 3 ; 如 果把“ 老农 卖瓜”   题 提升为一般数学题 , 不 限定 数 1 5, 就不止 图 3   个答 案 , 还有 如 本 文 提 到 由 4个 “ 4 ” 、 2个 “ 1 ”  


3 、 5 ) 、 ( 1 、 2 、 6 ) 与( 2 、 2 、 5 ) ( 一支 图 : 顶点 1 、 2 、 5 ,   总和“ 1 9 ” ) , ( 1 、 3 、 5 ) 、 ( 1 、 2 、 6 ) 与( 2 , 3 , 4 ) ( 一 支 
图: 顶点 1 、 2 、 3总 和 “ 2 1 ” ) .  

以上五 支 图 , 每 支 图含 6个摆 图 , 合计 3 O个 .  

组成 摆 图( 一支图: 顶点 1 、 4 、 4 , 总和 “ 1 8 ” ) 3个等 .  

上 海 中学 数学 ? 2 0 0 9年 第 l O期 

巧 用 相 似 证 明双 曲线 性 质 
2 0 0 0 3 0   上 海 德 盛 文化 进 修 学校 高 中数 学 组  郝 囡  
数 学 问题 的解 决 方 法 非 常 多 , 数 形 结 合 往  往 会 得 到 意 想 不 到 的结 果 . 文[ 1 ] 中 作 者 提 出 了  关 于 双 曲 线 的 一 条 有 趣 的性 质 , 并 用 代 数 的 方  法证明 , 稍显繁琐. 现 将 定 理 摘 录如 下 :  


L 

y  

\  

2  

. 2  

定理 : 如图 1 , 双 曲线 山 _ 一  一1 ( 口 >o , 6 > 
2  

O ) 的 准线 为 L: - z 一  , F是 与 L 相 应 的焦 点 , BO  直 线 BF 与 L 相 交 于 Q, 贝  
值) .  



垂  

{ 一 

定 

图 1  

证明: 连结 B F, 交 直 线 L 于点 Q, 如图1 , 设  直 线 L 与 z轴 的交 点 为 N.  
显然 , △ F~Q∽ △ F OB, 所 以 

文[ 1 ] 中作 者 利 用 代 数 的 方 法 证 明 此 结 论 ,   现 笔 者 用 几 何 方 法证 明 并 推 广 .  









 

所 以( a 1 a 2 …以   )  —   一  三 n  n 2 a 。 …n a   .  

阶段和二 二 阶段导数 为 :  

另外 , 若用 J e n s e n不 等 式 去 证 明 下 面 的 常  见 不 等 式 也 是 很 简 单 的.   若 a+ b一 1 ,a > 0 ,b> 0 ,求 证 :  
ab -1 ?b a -1   2.  

厂 ( . r ) 一 ÷, 厂(   ) 一一壶,  
可见 , 函数 厂 ( z ) 一1 n x在 . z >o时有 厂( z )  
<O , 根据 J e n s e n不 等 式 有 :  

证 明 :a 6 — 1?b a 一 1 一a b 一( n +6 )?b a 一( 口 +   ) 一 
1   — b‘   ab a


厂   面   ) 一   1   喜   l n a   一   言 , ( n   )   l n (  
∑a   ) 一厂 (   ∑a k ) ,  





由上 面 证 明 过 程 中 的 
(  l _   三   _   ) 。   +Ⅱ z +…+。  
。a 1   na

由当 x >O时 , 厂( - z ) >0知 _ 厂 (  ) 为严 格增 
2   z… a   a   函数 ?  

得 : (  ) a + b   a a b b 专   a a b b  
仅当 n 一6 一÷ 时取等号) ,  

2 ( 当 且  
n  k


所 以,   厂   一  n   )  , ( 音 1   各 n ^ ) , √ ” 厂   H = 。 1 一  a k  
妻a   , 现 在 来 证 明 √ V   k 重 一   1 n   三 三 三 T 上   - _   . 1 上 —   .  .   上   .  




l …



口1  

。2  

口 

故a b   ? b 一  2 ( 当且仅 当n 一6 一÷ 时取 
等号) .   从 上 面 的 证 明 可 以看 出 , 用 J e n s e n不 等 式 

因为 a   , a z , …, n   >。 ,  

a l,  

, … ,   > 。,  

利用  

n 妻。   得:
k  

证 明 有 些 不 等 式 是 比较 简 单 的 , 下 面再 用 J e n s —   e n不 等 式 来 证 明一 个 重 要 不 等 式 .   证 明均 值 不 等 式 : 若 a l , a 2 , …, a   > 0则 
r —一   1  




4   n   ≤ 音 各  

参考文献 :   [ 1 ]华 东 师 范 大 学 数 学 系 . 数 学 分析 ( 上 册) [ M] . 北 
京: 高 等 教 育 出版 社 , 2 0 0 1 .  

证明: 设厂 ( z ) 一1 n x ,  > O , 求得 厂 (  ) 的 一 



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